משפט בולצאנו-ויירשטראס

באנליזה מתמטית, משפט בולצאנו־ויירשטראס קובע כי לכל סדרה אינסופית חסומה של נקודות ב-$\mathbb {R} ^{n}$ קיימת תת-סדרה מתכנסת. ניסוח אחר (ושקול) של המשפט קובע כי לכל קבוצה אינסופית חסומה של נקודות ב-$\mathbb {R} ^{n}$ קיימת נקודת הצטברות.

המשפט הוכח לראשונה על ידי ברנרד בולצאנו ב-1817 כטענת עזר בדרך להוכחת משפט ערך הביניים. חשיבות המשפט לא הוכרה אז והוא נשכח, עד שכחמישים שנה מאוחר יותר קרל ויירשטראס הוכיח אותו שוב באופן בלתי תלוי.

הרעיון האינטואיטיבי שעומד מאחורי המשפט הוא שאם קיימת קבוצה שיש בה אינסוף נקודות, והאיברים שלה לא יכולים "לברוח" רחוק מדי, לפחות חלק מהם אמורים להיות קרובים מאוד זה לזה. המשפט מראה בצורה קונסטרוקטיבית כיצד ניתן למצוא את הסדרה או נקודת ההצטברות המבוקשות, אך זו אינה דרך מעשית, מאחר שהיא מבוססת על תהליך אינסופי של חלוקת הקטע החסום לחלקים קטנים והולכים.

המשפט שקול ללמה של קנטור ולמשפט היינה-בורל, כלומר: כל אחד ממשפטים אלו ניתן להוכחה באמצעותו, וניתן להוכיח אותו מכל אחד ממשפטים אלו.

במרחבים מטריים כלליים המשפט אינו נכון עוד, אך הקשר בינו ובין הכללת משפט היינה בורל נשמר. מרחב שמקיים את התכונה שעליה מצביע משפט היינה בורל נקרא מרחב קומפקטי, ואילו מרחב שמקיים את התכונה של משפט בולצאנו ויירשטראס (כלומר, לכל סדרה של נקודות בו יש תת-סדרה מתכנסת) נקרא מרחב קומפקטי סדרתית - ובמרחבים מטריים, שני המושגים הללו שקולים. במעבר למרחבים טופולוגיים כלליים שקילות זו אינה נשמרת.

הוכחה

נציג כאן את הוכחת המשפט עבור סדרה חסומה ב-$\mathbb {R}$. ההכללה ל-$\mathbb {R} ^{n}$ היא טכנית אך אינה מסובכת. נשתמש בלמה של קנטור לצורך ההוכחה.

תהא $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה חסומה, אז קיים $M>0$ כך ש-$\forall n:x_{n}\in [-M,M]$. נסמן $a_{0}=-M,b_{0}=M$. כעת, נחצה את הקטע לשניים, כלומר נביט בשני הקטעים הסגורים $\left[a_{0},{\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}\right],\left[{\frac {a_{0}+b_{0}}{2}},b_{0}\right]$. כיוון שהסדרה אינסופית בהכרח יש אינסוף איברים של הסדרה לפחות באחד משני הקטעים הללו (אחרת שני הקטעים מכילים מספר סופי של אברי הסדרה ואיחודם הוא קבוצה סופית). נבחר את הקטע הזה ונסמן אותו בתור $[a_{1},b_{1}]$. כעת נוכל לחלק גם את הקטע $[a_{1},b_{1}]$ באותו אופן, וכן הלאה.

נמשיך בתהליך הבנייה הזה בצורה אינדוקטיבית, ונקבל סדרה של קטעים $[a_{k},b_{k}]$ המקיימת את התכונות הבאות:

1. כל הקטעים סגורים.
2. כל קטע מוכל בקטעים הקודמים לו.
3. סדרת אורכי הקטעים שואפת לאפס.
4. כל קטע מכיל אינסוף נקודות של $x_{n}$.

כל התכונות פרט לשלישית נובעות ישירות מדרך בניית הקטעים. כדי להיווכח בשלישית נשים לב כי מכיוון שאורכו של כל קטע הוא חצי מאורכו של הקטע הקודם לו, הרי שהנוסחה הכללית לאורכם של הקטעים היא ${\frac {M}{2^{k-1}}}$ עבור קטע מספר $k$ - וזוהי סדרה ששואפת לאפס.

אם כן, כל תנאי הלמה של קנטור מתקיימים, ולכן קיימת נקודה יחידה $c$ כך ש-$\bigcap _{k=0}^{\infty }[a_{k},b_{k}]=\left\{c\right\}$. נבנה תת-סדרה המתכנסת ל-$c$ בצורה אינדוקטיבית: בשלב ה-$k$ נבחר איבר אחד $y_{k}$ של הסדרה המקורית מהקטע $[a_{k},b_{k}]$, כך שהאינדקס שלו בסדרה המקורית יהיה גדול מהאינדקס של כל הנקודות שבחרנו עד עתה. ניתן לעשות זאת בשל התכונה הרביעית של הקטעים, לפיה בכל קטע יש מספר אינסופי של איברים מהסדרה, ולכן בפרט אפשר למצוא כזה שהאינדקס שלו גדול מהמקסימום (הסופי) של אינדקסי האיברים שנבחרו עד עתה.

כעת, נשים לב כי בהינתן קטע $[a_{k},b_{k}]$ הוא מכיל את כל האיברים מתת הסדרה החל מהמקום ה-$k$ ואילך (כי כולם שייכים לקטעים שמוכלים בו). כמו כן, המרחק הגדול ביותר בין שתי נקודות השייכות לקטע זה אינו עולה על אורך הקטע, ${\frac {M}{2^{k-1}}}$. לכן, המרחק בין כל נקודות תת-הסדרה החל מהמקום ה-$k$ ואילך מהנקודה $c$ אינו עולה על ${\frac {M}{2^{k-1}}}$, ומספר זה שואף לאפס. לכן תת-הסדרה שבנינו שואפת ל-$c$, ובכך הושלמה ההוכחה.

הוכחה נוספת

אפשר להוכיח את המשפט באמצעות שילוב של שתי טענות על סדרות ממשיות.

ראשית, לכל סדרה ממשית יש תת-סדרה מונוטונית, עולה או יורדת (במובן החלש). הוכחה: לאיבר של הסדרה שהוא קטן או שווה לכל איבר שבא אחריו נקרא "זעירון". אם יש בסדרה אינסוף זעירונים, הם מרכיבים סדרה מונוטונית עולה. אחרת, נתרחק בסדרה עד למקום שממנו והלאה אין זעירונים - לכל איבר יש איבר קטן יותר שבא אחריו. סדרה של איברים כאלה, שכל אחד קטן מקודמו, היא מונוטונית יורדת.

שנית, כל סדרה מונוטונית חסומה - מתכנסת (אל החסם העליון או התחתון שלה, בהתאמה לסוג הסדרה).

לבסוף, לסדרה חסומה במרחב ה-$n$-ממדי יש תת-סדרה שבה הרכיבים הראשונים מהווים סדרה מונוטונית; לזו יש תת-סדרה שבה הרכיבים השניים מהווים סדרה מונוטונית, וכן הלאה. מכיוון שהמימד סופי, מתקבלת תת-סדרה שבה ההטלה לכל רכיב היא סדרה מונוטונית, המתכנסת - ולכן תת-הסדרה עצמה מתכנסת.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משפט בולצאנו-ויירשטראס בוויקישיתוף

• משפט בולצאנו-ויירשטראס, באתר MathWorld (באנגלית)