פונקציה קמורה

דוגמה לפונקציה קמורה

במתמטיקה, פונקציה ממשית היא פונקציה קמורה בקטע מסוים, אם לכל שתי נקודות על גרף הפונקציה (שערך ה-$\,x$ שלהן נמצא בקטע), הקו המחבר ביניהן נמצא מעל לגרף הפונקציה (או עליו). הפונקציה נקראת קמורה כי היא תוחמת מלמטה קבוצה קמורה.

לפונקציות קמורות יש חשיבות רבה באנליזה פונקציונלית, בעיקר במספר אי-שוויונות יסודיים בתחום זה כמו אי-שוויון ינסן.

יש להבחין בין פונקציה קמורה לפונקציה קעורה. במערכת החינוך התיכוני בישראל נקראת הפונקציה גם "פונקציה קעורה כלפי מעלה".

הגדרה מתמטית

בהינתן קטע ממשי $I\subseteq \mathbb {R}$ ופונקציה $f:I\to \mathbb {R}$, הפונקציה $f$ תקרא פונקציה קמורה אם ורק אם לכל $\!\,x,y\in I$ ולכל $\!\,0\leq \lambda \leq 1$ מתקיים אי השוויון:

$\ f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)$.

באופן שקול, ניתן לנסח את תכונה זו כך שלכל $\ x<u<y$ בקטע, מתקיים:

$(y-x)f(u)\leq (y-u)f(x)+(u-x)f(y)$

תכונות

אם $\ f$ פונקציה קמורה המוגדרת בקטע $\ I$ אזי לכל $\,x_{1},x_{2}\ldots ,x_{n}$ בקטע $\ I$ ולכל $\,n$ סקלרים $\ \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}$ המקיימים $\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}=1$ מתקיים:

$f\left(\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}x_{k}\right)\leq \sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}f(x_{k})$

ניתן להוכיח זאת באינדוקציה על $n$.

לאי-שוויון זה קיימת גרסה רציפה והיא אי-שוויון ינסן:

אם $\ f$פונקציה קמורה המוגדרת בקטע $\ I$ ו-$\ g:[0,1]\to \mathbb {R}$ פונקציה אינטגרבילית אזי:

$f\left(\int _{0}^{1}{g(x)dx}\right)\leq \int _{0}^{1}{f(g(x))dx}$

קמירות במובן החלש ובמובן החזק

פונקציה המקיימת את התנאי $\lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)\geq f(\lambda x+(1-\lambda )y)$ שתואר להלן, לכל $\ x,y$ בקטע ולכל $\ 0\leq \lambda \leq 1$, היא קמורה במובן החלש. פונקציה קמורה במובן החזק היא כזו שמקיימת את התנאי החזק יותר, $\ \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)>f(\lambda x+(1-\lambda )y)$ לכל $\ x\neq y$ בקטע ולכל $\ 0<\lambda <1$. בדרך כלל אין מבחינים בין שתי הגרסאות, וקוראים "קמורה" גם לפונקציה קמורה במובן החלש.

לדוגמה, פונקציה ליניארית היא קמורה במובן החלש, וגם קעורה במובן החלש; רק פונקציה ליניארית יכולה להיות קמורה וקעורה בעת ובעונה אחת (ואף זאת, במובן החלש בלבד). הוספה של פונקציה ליניארית לפונקציה $\,f$ אינה משנה את הקמירות של $\,f$.

קמירות בקטע וקמירות מקומית

שלא כמו רציפות או גזירות, לקמירות אין משמעות בנקודה אחת, אלא רק בקטע. אומרים שהפונקציה קמורה מקומית ב-$\,x$ (או קמורה בנקודה $\,x$), אם קיימת סביבה של $\,x$ שבה הפונקציה קמורה.

משפט: אם הפונקציה $\,f$ קמורה בקטעים פתוחים $\ I$ ו- $\ J$ שאינם זרים, אז היא קמורה גם באיחוד שלהם $\ I\cup J$.

הוכחה: נתונות הנקודות $\ x<y\in I\cup J$. צריך להוכיח שהקו המחבר את $\ (x,f(x))$ ל- $\ (y,f(y))$ נמצא מעל לגרף הפונקציה. אם שתי הנקודות $\ x,y$ שייכות לאותו קטע I או J, התוצאה נובעת מן ההנחה על קמירות בכל קטע בנפרד. אחרת, נבחר נקודה כלשהי $\ z\in I\cap J$. אם הנקודה $\ (z,f(z))$ נמצאת מעל לקו, אפשר לבחור נקודות סמוכות מימין ומשמאל ל- $\ z$ שנמצאות בחיתוך $\ I\cap J$, ולהגיע לסתירה. לכן הנקודה $\ (z,f(z))$ מתחת לקו, ובעזרתה אפשר להוכיח שכל נקודות הגרף נמצאות מתחת לקו.

מסקנה: אם $\ f$ קמורה מקומית בכל נקודה בקטע סגור או פתוח $\,I$, אז היא קמורה בכל הקטע.

טענה זו אינה מובנת מאליה, משום שקמירות בקטע אינה מוגדרת כקמירות (מקומית) בכל נקודה שלו. מקמירות מקומית נובע שכל נקודה מוכלת בסביבה שבה הפונקציה קמורה ולכן הגרף שלה נמצא מעל הקווים שמחברים נקודות "קרובות זו לזו" בגרף - אבל לא ברור מדוע תכונה זו מתקיימת לכל שתי נקודות בקטע.

הוכחת המסקנה: ראשית נניח שהקטע סגור. אפשר לכסות אותו בקטעים פתוחים שהפונקציה קמורה בכל אחד מהם, ומכיוון שקטע סגור הוא קומפקטי, לכיסוי זה קיים תת-כיסוי סופי. כעת אפשר לסיים באינדוקציה לפי המשפט הקודם. אם הקטע פתוח, אז לכל שתי נקודות $\ x,y$ בו קיים קטע סגור המוכל ב- $\,I$, ועליו חלה ההוכחה של המקרה הסגור.

הקשר בין קמירות ורציפות

• פונקציה ממשית הקמורה בקטע $\,I$ רציפה בכל נקודה בפנים $\,I$. הוכחה. תהיינה x<y<z נקודות השייכות לקטע. נסמן ב-A,B,C את הנקודות המתאימות להן על גרף הפונקציה. אז הגרף בקטע [x,z] כלוא בין הישרים AB ו-BC; מכאן שהפונקציה רציפה ב-y.
• אם סדרת פונקציות ממשיות וקמורות מתכנסת נקודתית לפונקציה $\,f$, אזי גם $\,f$ פונקציה קמורה בקטע (ובפרט רציפה בפנים הקטע).
• פונקציה ממשית היא קמורה אם ורק אם היא רציפה והאפיגרף שלה היא קבוצה קמורה.

הקשר בין קמירות ונגזרת ראשונה

• נניח ש-$\,f$ קמורה (אפילו במובן החלש) בקטע $\,I$.
  • בכל נקודה בפנים של $\,I$ יש ל-$\,f$ נגזרת מימין ונגזרת משמאל;
  • הנגזרות מימין ומשמאל מקיימות $\,f'_{-}(a)\leq f'_{+}(a)$ (הנגזרת קיימת בנקודה אם הנגזרות האלה שוות);
  • לכל a<b בקטע מתקיים $\,f'_{+}(a)\leq f'_{-}(b)$;
  • בפרט, הנגזרת מימין והנגזרת משמאל הן פונקציות עולות.
  • מכאן נובע שהפונקציה גזירה בקטע, פרט לקבוצה ממידה אפס; ושהנגזרת רציפה פרט לקבוצה ממידה אפס.
• אם $\,f$ גזירה בקטע פתוח, אזי $\,f$ קמורה בו אם ורק אם הנגזרת $\,f'$ היא פונקציה עולה.
• אם $\ f$ גזירה בסביבת הנקודה $\ x_{0}$, אז $\ f$ קמורה ממש בסביבת $\ x_{0}$ אם ורק אם $\ f(x)>f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$ לכל $\ x$ בסביבה. ובהתאמה אם $\ f$ דיפרנציאבילית בסביבת הנקודה $\ x_{0}$, אז $\ f$ קמורה ממש בסביבת $\ x_{0}$ אם ורק אם $\ f(x)>f(x_{0})+\langle \nabla f(x_{0}),(x-x_{0})\rangle$ לכל $\ x$ בסביבה. זהו פיתוח טיילור מסדר ראשון.

הקשר בין קמירות ונגזרת שנייה

הקשר בין תכונת הקמירות לנגזרת השנייה נובע מן האבחנה הבאה, שאפשר להיווכח בנכונותה על ידי הפעלה של כלל לופיטל פעמיים: אם הפונקציה $\,f$ גזירה פעמיים בנקודה $\,x$, אז

$\ \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(\beta -\alpha )f(x+\gamma h)-(\gamma -\alpha )f(x+\beta h)+(\gamma -\beta )f(x+\alpha h)}{h^{2}}}$

$={\frac {(\beta -\alpha )(\gamma -\beta )(\gamma -\alpha )}{2}}f''(x),$

וזאת לכל $\ \alpha ,\beta ,\gamma$ קבועים. אם $\ \alpha <\beta <\gamma$, כפי שנניח מעתה, אז המקדם באגף ימין הוא חיובי.

משפט: אם $\,f$ גזירה פעמיים ב-$\,x$ וקמורה (במובן החלש) בסביבה של $\,x$, אז $\ f''(x)\geq 0$ (מן הקמירות נובע שהמונה באגף שמאל של הזהות הוא חיובי, ולכן הגבול אינו שלילי).

מכאן נובעת מיד

מסקנה: אם $\,f$ גזירה פעמיים בקטע, וקמורה שם (במובן החלש), אז $\ f''(x)\geq 0$ בכל הקטע.

בכיוון ההפוך:

משפט: אם $\,f$ גזירה פעמיים בקטע והנגזרת השנייה מקיימת $\ 0\leq f''(x)$ בכל הקטע, אז הפונקציה קמורה בקטע (במובן החלש). בנוסף לזה, אם $\ 0<f''(x)$ בכל הקטע (או אפילו: הנגזרת השנייה אי-שלילית, ומתאפסת במספר סופי של נקודות), אז הפונקציה קמורה בקטע במובן החזק.

הוכחה: נסמן ב- $\ a<b$ את קצות הקטע. מספיק להראות שהגרף של $\ f$ נמצא מתחת לקו המחבר את הנקודות המתאימות ל- $\ x=a$ ו- $\ x=b$ על הגרף, משום שאז אפשר להפעיל את אותו נימוק על כל זוג נקודות בתוך הקטע. נתבונן בפונקציה $\ g(x)=f(x)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)$, שהיא קמורה באותם מקומות בהם $\ f$ קמורה (משום שההפרש ביניהן הוא פונקציה ליניארית). קל לבדוק ש- $\ g(a)=g(b)=0$. נניח בשלילה שיש נקודה $\ a<z<b$ שעבורה $\ g(z)\geq 0$; אז לפי משפט הערך הממוצע של לגראנז' קיימת נקודה בקטע $\ (a,z)$ שבה הנגזרת $\ g'$ אי-שלילית, וקיימת נקודה בקטע $\ (z,b)$ שבה הנגזרת אי-חיובית. אבל לפי הנחת המשפט, הנגזרת היא פונקציה עולה (במובן החזק). ההוכחה למקרה של אי-שוויון חלש דומה.

מסקנה: אם $\ f''$ רציפה בנקודה וחיובית שם, אז $\ f$ קמורה בסביבה של הנקודה (במובן החזק). הוכחה: מן הרציפות נובע שהנגזרת השנייה חיובית בסביבה של $\ x$.

לסיכום, בתחום שבו הפונקציה גזירה פעמיים מתקיים:

$\ 0\leq f''$ $\iff$ הפונקציה קמורה במובן החלש $\implies$ הפונקציה קמורה במובן החזק $\implies$ $\ 0<f''$.

פונקציה קמורה בחצייה

הגדרה: פונקציה $\ f$ המוגדרת בקטע $\ I$ נקראת קמורה בחצייה (midconvex או Jensen-convex) אם לכל $\!\,x,y\in I$ מתקיים אי השוויון $\ f({\frac {x+y}{2}})\leq {\frac {1}{2}}\left(f(x)+f(y)\right)$.

• כל פונקציה קמורה היא פונקציה קמורה בחציה.
• לא כל פונקציה קמורה בחצייה היא פונקציה קמורה. ניתן לבנות דוגמה לפונקציה קמורה בחציה שאינה קמורה באופן הבא:

נשלים את הקבוצה $\,\{1\}$ לבסיס המל $\,B$ של $\mathbb {R}$ כמרחב וקטורי מעל $\mathbb {Q}$. נגדיר פונקציה ממשית $\,f$ באופן הבא: $\,f(x)=1$ לכל $\,x\in B$ ונרחיב באופן ליניארי על כל $\mathbb {R}$. הפונקציה שהתקבלה היא העתקה ליניארית ב-$\mathbb {R}$ כמרחב וקטורי מעל $\mathbb {Q}$, ולכן מתקיים $\ f(\lambda x+(1-\lambda )y)=\lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)$ לכל $\lambda \in \mathbb {Q}$, מכאן שהפונקציה קמורה בחציה. בנוסף, כטרנספורמציה ליניארית מתקיים $\,f(0)=0$, וכן $\,f(\lambda )=\lambda f(1)=\lambda$ לכל $\lambda \in \mathbb {Q}$. אולם הפונקציה $\,f$ אינה רציפה, משום שעל הרציונליים היא ליניארית, אך מקבלת את הערך 1 אינסוף פעמים. מכאן שהפונקציה אינה קמורה כי פונקציה קמורה היא בהכרח רציפה (ראו לעיל).

• פונקציה קמורה בחצייה ורציפה היא פונקציה קמורה. (מכאן שפונקציה המוגדרת בקטע פתוח היא קמורה אם ורק אם היא קמורה בחציה ורציפה).
• פונקציה קמורה בחצייה וחסומה היא פונקציה קמורה.

שתי הטענות לעיל הן מקרים פרטיים של המשפט שהוכח באופן בלתי תלוי על ידי בלומברג וואצלב שרפינסקי:

• פונקציה קמורה בחצייה ומדידה היא פונקציה קמורה.

פונקציה קעורה

ערך מורחב – פונקציה קעורה

$\,f$ היא פונקציה קעורה אם הקו המחבר כל שתי נקודות על הגרף עובר תמיד מתחת לגרף, כלומר הפונקציה הנגדית $\ -f$ קמורה. מכאן שהנגזרת השנייה מאפשרת להכריע בין קמירות לקעירות: בקטעים שבהם הנגזרת השנייה חיובית הפונקציה קמורה (במובן החזק), ובקטעים שבהם היא שלילית הפונקציה קעורה. הנקודות שבהן הפונקציה עוברת מקמירות לקעירות או להפך (ולכן הנגזרת השנייה מתאפסת, אם היא מוגדרת בסביבת הנקודה) נקראות נקודות פיתול.

פונקציה לוג-קמורה

פונקציה חיובית $\ f$ המוגדרת בקטע $\ I$ נקראת פונקציה לוג-קמורה אם $\ \log f$ היא פונקציה קמורה בקטע $\ I$ ($\ I$ הוא קטע כלשהו, סופי או אינסופי). אם $\ f$ גזירה פעמיים, תנאי זה שקול לכך ש-$\ f(x)f''(x)\geq f'(x)^{2}$. לדוגמה, הפונקציות $\ f(x)={\rm {e}}^{x^{2}}$ ופונקציית גמא הן לוג-קמורות.

קל לראות שפונקציה לוג-קמורה היא קמורה, אך ההפך אינו נכון. לדוגמה, הפונקציה $\ f(x)=x^{2}$ קמורה, אבל $\ \log f(x)=2\log x$ אינה קמורה.

הכללה למרחבים וקטוריים

ניתן להכליל את מונח הפונקציה הקמורה למרחב וקטורי כללי:

בהינתן מרחב וקטורי $V$ מעל שדה הממשיים או המרוכבים, קבוצה קמורה $C\subseteq V$ ופונקציה $\rho :C\to \mathbb {R}$, פונקציה $\rho$ תקרא פונקציה קמורה אם ורק אם לכל $x,y\in C$ ולכל $\!\,0\leq \lambda \leq 1$ מתקיים אי השוויון $\rho (\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \lambda \rho (x)+(1-\lambda )\rho (y)$.

במקרה שבו $V=\mathbb {R}$ (מרחב המספרים הממשיים), כל קבוצה קמורה ב-$\mathbb {R}$ היא בהכרח קטע, לכן הגדרה זו מכילה את ההגדרה בראשית הערך.

הגדרה זו של מושג הקמירות מאפשרת לקיים את תכונות הקמירות לפונקציות של כמה משתנים ($V=\mathbb {R} ^{n}$), לפונקציות מרוכבות ולסוגים נוספים.

דוגמאות

• כל פונקציה קבועה היא פונקציה קמורה על כל הישר הממשי.
• כל פונקציה ליניארית מהצורה $f(x)=ax+b$ היא פונקציה קמורה על כל הישר הממשי. הדבר נכון בפרט לפונקציית הזהות $f(x)=x$.
• כל פונקציה מהצורה $f(x)=x^{2n}$ עבור מספר טבעי כלשהו $n$ היא פונקציה קמורה על כל הישר הממשי.
• כל פונקציה מהצורה $f(x)=x^{2n+1}$ עבור מספר טבעי כלשהו $n$ היא פונקציה קמורה על חצי הישר הממשי החיובי (ולא על כל הישר הממשי כמו $x^{2n}$).
• כל פונקציה תת-ליניארית היא פונקציה קמורה במשמעות של מרחבים וקטורים. הדבר נכון בפרט לפונקציית נורמה ונורמה-למחצה.

ראו גם

• קבוצה קמורה

קישורים חיצוניים

• פונקציה קמורה, באתר MathWorld (באנגלית)