พีชคณิตลีเซมิซิมเปิล

กลุ่มโกหกและพีชคณิตโกหก
กลุ่มดนตรีคลาสสิก ทั่วไปเชิงเส้น GL( n ) เชิงเส้นพิเศษ SL( n ) มุมฉาก O( n ) มุมฉากพิเศษ SO( n ) หน่วย U( n ) ยูนิตารีพิเศษ SU( n ) ซิม เพล็กติก Sp( n )
กลุ่มโกหกธรรมดา คลาสสิก หนึ่ง​ บีเอ็น ซีเอ็น ดีเอ็น พิเศษ จี2 เอฟ4 อี6 อี7 อี8
กลุ่มโกหกอื่น ๆ วงกลม ลอเรนซ์ ปวงกาเร่ กลุ่มคอนฟอร์มัล ความแตกต่างทางสัณฐานวิทยา ลูป ยูคลิด
พีชคณิตลี กลุ่มลี–ความสอดคล้องของพีชคณิตลี แผนที่เลขยกกำลัง การเป็นตัวแทนร่วม รูปแบบการฆ่า ดัชนี พีชคณิตลีแบบง่าย พีชคณิตลูป พีชคณิตแอฟฟีนไล
พีชคณิตลีเซมิซิมเปิล ไดอะแกรมไดนามิก พีชคณิตย่อยของคาร์ตัน ระบบราก กลุ่มไวล์ แบบจริง ความซับซ้อน พีชคณิตแยกลี พีชคณิตลีแบบกระชับ
ทฤษฎีการแทนค่า การเป็นตัวแทนกลุ่มโกหก การแสดงพีชคณิตแบบโกหก ทฤษฎีการแทนค่าของพีชคณิตลีแบบกึ่งซิมเปิล การแสดงตัวแทนของกลุ่มลีคลาสสิก ทฤษฎีบทของน้ำหนักสูงสุด ทฤษฎีบทโบเรล–ไวล์–บอตต์
กลุ่มโกหกในฟิสิกส์ Particle physics and representation theory Lorentz group representations Poincaré group representations Galilean group representations
Scientists Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glossary Table of Lie groups
v t e

ในทางคณิตศาสตร์พีชคณิตลีจะเป็นแบบกึ่งง่ายถ้าเป็นผลรวมตรงของพีชคณิตลีแบบง่าย (พีชคณิตลีแบบง่ายคือพีชคณิตลีแบบไม่เป็นอาเบเลียนโดยไม่มีอุดมคติ เฉพาะที่ไม่เป็นศูนย์ )

ตลอดทั้งบทความ เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น พีชคณิตลีคือพีชคณิตลีที่มีมิติจำกัดเหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะ 0 สำหรับพีชคณิตลีดังกล่าวหากไม่เป็นศูนย์ เงื่อนไขต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน:${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$เป็นแบบกึ่งเรียบง่าย
• รูปแบบการฆ่า κ(x,y) = tr(ad( x )ad( y )) เป็นแบบไม่เสื่อม
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ไม่มีอุดมคติอาเบเลียนที่ไม่เป็นศูนย์
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ไม่มีอุดมคติที่สามารถแก้ไขได้ ไม่เท่ากับศูนย์
• ราก(อุดมคติสูงสุดที่แก้ได้) ของคือศูนย์${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ความสำคัญของความเรียบง่ายแบบกึ่งหนึ่งนั้นมาจากการแยกย่อยของเลวีซึ่งระบุว่าพีชคณิตลีที่มีมิติจำกัดทุกอันเป็นผลคูณกึ่งตรงของอุดมคติที่แก้ได้ (รากของมัน) และพีชคณิตแบบกึ่งง่าย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ไม่มีพีชคณิตลีที่ไม่เป็นศูนย์ที่ทั้งแก้ได้และแบบกึ่งง่าย

พีชคณิตลีแบบกึ่งเรียบง่ายมีการจำแนกประเภทที่สวยงามมาก ซึ่งแตกต่างอย่างสิ้นเชิงกับพีชคณิตลีที่แก้ได้พีชคณิตลีแบบกึ่งเรียบง่ายเหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่มีลักษณะเป็นศูนย์นั้นได้รับการจำแนกประเภทอย่างสมบูรณ์โดยระบบราก ของมัน ซึ่งจะถูกจำแนกประเภทโดยไดอะแกรมไดกิ้นพีชคณิตแบบกึ่งเรียบง่ายเหนือฟิลด์ที่ไม่ปิดเชิงพีชคณิตสามารถเข้าใจได้ในแง่ของพีชคณิตเหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต แม้ว่าการจำแนกประเภทจะซับซ้อนกว่าเล็กน้อย ดูรูปแบบจริงสำหรับกรณีของพีชคณิตลีแบบกึ่งเรียบง่ายจริง ซึ่งได้รับการจำแนกประเภทโดยÉlie Cartan

นอกจากนี้ทฤษฎีการแทนค่าของพีชคณิตลีแบบกึ่งซิมเพิลนั้นชัดเจนกว่าพีชคณิตลีทั่วไปมาก ตัวอย่างเช่นการแยกตัวประกอบจอร์แดนในพีชคณิตลีแบบกึ่งซิมเพิลนั้นสอดคล้องกับการแยกตัวประกอบจอร์แดนในการแสดงค่า ซึ่งไม่ใช่กรณีของพีชคณิตลีทั่วไป

ถ้าเป็นกึ่งธรรมดา ดังนั้น. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พีชคณิตลีกึ่งธรรมดาเชิงเส้นทุกอันเป็นพีชคณิตย่อยของ, พีชคณิตลีเชิงเส้นพิเศษ . การศึกษาโครงสร้างของถือเป็นส่วนสำคัญของทฤษฎีการแทนค่าสำหรับพีชคณิตลีกึ่งธรรมดา${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$

พีชคณิตลีแบบกึ่งเรียบง่ายเหนือจำนวนเชิงซ้อนได้รับการจำแนกประเภทครั้งแรกโดยวิลเฮล์ม คิลลิง (1888–90) แม้ว่าการพิสูจน์ของเขาจะขาดความเข้มงวดก็ตาม การพิสูจน์ของเขาได้รับการทำให้เข้มงวดยิ่งขึ้นโดยเอ ลี คาร์ตัน (1894) ในวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของเขา ซึ่งจำแนกพีชคณิตลีแบบกึ่งเรียบง่ายจริงด้วย ต่อมาได้มีการปรับปรุงรายละเอียดดังกล่าว และการจำแนกประเภทปัจจุบันโดยใช้ไดอะแกรมของไดกิ้นนั้นได้รับการให้โดย ยูจีน ไดกิ้นซึ่งขณะนั้นอายุ 22 ปีในปี 1947 มีการปรับเปลี่ยนเล็กน้อยบางประการ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งโดย JP Serre) แต่การพิสูจน์นั้นไม่มีการเปลี่ยนแปลงในสาระสำคัญและสามารถค้นหาได้ในเอกสารอ้างอิงมาตรฐานใดๆ เช่น (Humphreys 1972)

• อุดมคติ ผลหาร และผลคูณของพีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายทุกอันก็เป็นแบบกึ่งง่ายอีกเช่นกัน^[1]
• จุดศูนย์กลางของพีชคณิตลีแบบกึ่งซิมเปิลนั้นไม่สำคัญ (เนื่องจากจุดศูนย์กลางเป็นอุดมคติแบบอาเบเลียน) กล่าวอีกนัยหนึ่งการแทนค่าแบบร่วม นั้น เป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง นอกจากนี้ รูปภาพนั้นกลายเป็น^[2]ของอนุพันธ์บนดังนั้น จึงเป็นไอโซมอร์ฟิซึม^[3] (นี่เป็นกรณีพิเศษของเล็มมาของไวท์เฮด )${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} }$${\displaystyle \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})}$
• เนื่องจากการแสดงแบบ adjoint นั้นเป็นแบบฉีด พีชคณิต Lie แบบกึ่งง่ายจึงเป็นพีชคณิต Lie เชิงเส้นภายใต้การแสดงแบบ adjoint ซึ่งอาจนำไปสู่ความคลุมเครือได้ เนื่องจากพีชคณิต Lie ทุกอันเป็นเชิงเส้นอยู่แล้วเมื่อเทียบกับปริภูมิเวกเตอร์อื่น ( ทฤษฎีบทของ Ado ) แม้ว่าจะไม่จำเป็นต้องผ่านการแสดงแบบ adjoint ก็ตาม แต่ในทางปฏิบัติ ความคลุมเครือดังกล่าวเกิดขึ้นไม่บ่อยนัก
• หากเป็นพีชคณิตลีแบบกึ่งซิมเปิล ดังนั้น(เพราะเป็นแบบกึ่งซิมเปิลและแบบอาเบเลียน) ^[4]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$
• พีชคณิตลีที่มีมิติจำกัดเหนือฟิลด์kที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์จะเป็นแบบกึ่งง่ายก็ต่อเมื่อส่วนขยายฐานเป็นแบบกึ่งง่ายสำหรับส่วนขยายของฟิลด์แต่ละอัน[ ^5]ดังนั้น ตัวอย่างเช่น พีชคณิตลีที่มีมิติจำกัดจริงจะเป็นแบบกึ่งง่ายก็ต่อเมื่อการทำให้เป็นเชิงซ้อนนั้นเป็นแบบกึ่งง่าย${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes _{k}F}$${\displaystyle F\supset k}$

เอนโดมอร์ฟิซึม x ของปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดเหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเป็นศูนย์สามารถแยกย่อยได้อย่างเฉพาะเจาะจงเป็นส่วนกึ่งง่าย (กล่าวคือ ส่วนที่ทแยงมุมได้เหนือการปิดทางพีชคณิต) และส่วน ที่ไม่มีศักยภาพ

${\displaystyle x=s+n\ }$

โดยที่sและnสับเปลี่ยนกัน นอกจากนี้sและn แต่ละตัว ยังเป็นพหุนามในxนี่คือการ แยกตัวของจอร์แดนของx

ข้างต้นนี้ใช้กับการแสดงร่วม ของพีชคณิตลีแบบกึ่งซิมเปิลองค์ประกอบxของจะเรียกว่าเป็นกึ่งซิมเปิล (หรือ nilpotent) ถ้าเป็นตัวดำเนินการแบบกึ่งซิมเปิล (หรือ nilpotent) ^[6]ถ้าการแยกย่อยจอร์แดนแบบนามธรรมระบุว่าxสามารถเขียนได้อย่างเฉพาะเจาะจงดังนี้:${\displaystyle \operatorname {ad} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle x=s+n}$

โดยที่เป็นแบบกึ่งง่ายเป็น nilpotent และ. ^[7]นอกจากนี้ ถ้าสับเปลี่ยนกับxแสดงว่าสับเปลี่ยนกับทั้งสองตัวด้วยเช่นกัน${\displaystyle s}$${\displaystyle n}$${\displaystyle [s,n]=0}$${\displaystyle y\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle s,n}$

ปัจจัยการสลายตัวของจอร์แดนที่เป็นนามธรรมผ่านการแสดงใดๆในความหมายที่ว่าเมื่อกำหนดให้มีการแสดง ρ ใดๆ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \rho (x)=\rho (s)+\rho (n)\,}$

คือการสลายตัวของจอร์แดนของ ρ( x ) ในพีชคณิตเอนโดมอร์ฟิซึมของพื้นที่การแสดง^[8] (สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นผลจากทฤษฎีบทการลดรูปสมบูรณ์ของ Weyl ; ดูทฤษฎีบทของ Weyl เกี่ยวกับการลดรูปสมบูรณ์#การประยุกต์ใช้: การรักษาการสลายตัวของจอร์แดน )

ให้เป็นพีชคณิตลีแบบกึ่งง่าย (มิติจำกัด) เหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตของศูนย์ลักษณะเฉพาะ โครงสร้างของสามารถอธิบายได้ด้วยการกระทำร่วมกันของพีชคณิตย่อยที่โดดเด่นบางอย่างบนโครงสร้างนั้น ซึ่งก็คือพีชคณิตย่อยคาร์ตันตามคำจำกัดความ^[9]พีชคณิตย่อยคาร์ตัน (เรียกอีกอย่างว่าพีชคณิตย่อยทอรัล สูงสุด ) ของคือพีชคณิตย่อยสูงสุดที่สำหรับแต่ละจะเป็นแบบทแยงมุมได้ ปรากฏว่าเป็นแบบอาเบเลียน และตัวดำเนินการทั้งหมดในจะเป็นแบบทแยงมุมได้พร้อมกันสำหรับแต่ละฟังก์ชันเชิงเส้นของให้${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \operatorname {ad} (h)}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }=\{x\in {\mathfrak {g}}|\operatorname {ad} (h)x:=[h,x]=\alpha (h)x\,{\text{ for all }}h\in {\mathfrak {h}}\}}$-

(สังเกตว่าเป็นตัวรวมศูนย์ของ.) แล้ว${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

(รายการที่ยากที่สุดในการแสดงคือ. หลักฐานมาตรฐานทั้งหมดใช้ข้อเท็จจริงบางอย่างในทฤษฎีการแสดงของ . เช่น Serre ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าโมดูลที่มีองค์ประกอบดั้งเดิมของน้ำหนักลบนั้นมีมิติอนันต์ ซึ่งขัดแย้งกับ.)${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}_{\alpha }=1}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}<\infty }$

ให้มีความสัมพันธ์การสับเปลี่ยนคือสอดคล้องกับฐานมาตรฐานของ${\displaystyle h_{\alpha }\in {\mathfrak {h}},e_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha },f_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$${\displaystyle [e_{\alpha },f_{\alpha }]=h_{\alpha },[h_{\alpha },e_{\alpha }]=2e_{\alpha },[h_{\alpha },f_{\alpha }]=-2f_{\alpha }}$${\displaystyle h_{\alpha },e_{\alpha },f_{\alpha }}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$

ฟังก์ชันเชิงเส้นในเรียกว่ารากของเทียบกับรากสแปน(เนื่องจากถ้าแล้วเป็นตัวดำเนินการศูนย์ กล่าวคืออยู่ตรงกลาง ซึ่งเท่ากับศูนย์) นอกจากนี้ จากทฤษฎีการแสดงของเราสามารถอนุมานคุณสมบัติสมมาตรและอินทิกรัลต่อไปนี้ของ: สำหรับแต่ละ,${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle \alpha (h)=0,\alpha \in \Phi }$${\displaystyle \operatorname {ad} (h)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$

โปรดทราบว่าเซตจุดคงที่มีคุณสมบัติ (1) และ (2) คือ ซึ่งหมายความว่าเป็นการสะท้อนเทียบกับไฮเปอร์เพลนที่สอดคล้องกับ ดังนั้นข้อความข้างต้นจึงระบุว่าเป็นระบบ ราก${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle s_{\alpha }(\alpha )=-\alpha }$${\displaystyle \{\gamma \in {\mathfrak {h}}^{*}|\gamma (h_{\alpha })=0\}}$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Phi }$

จากทฤษฎีทั่วไปของระบบรากที่ประกอบด้วยพื้นฐานของโดยที่รากแต่ละตัวเป็นผลรวมเชิงเส้นของ โดยมีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มที่มีเครื่องหมายเดียวกัน รากเหล่านี้เรียกว่ารากเดี่ยวให้, เป็นต้น จากนั้นองค์ประกอบต่างๆ(เรียกว่าตัวสร้าง Chevalley ) จะสร้างเป็นพีชคณิตลี นอกจากนี้ องค์ประกอบเหล่านี้ยังตอบสนองความสัมพันธ์ (เรียกว่าความสัมพันธ์ Serre ): โดยที่,${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle e_{i}=e_{\alpha _{i}}}$${\displaystyle 3l}$${\displaystyle e_{i},f_{i},h_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle a_{ij}=\alpha _{j}(h_{i})}$

${\displaystyle [h_{i},h_{j}]=0,}$

${\displaystyle [e_{i},f_{i}]=h_{i},[e_{i},f_{j}]=0,i\neq j,}$

${\displaystyle [h_{i},e_{j}]=a_{ij}e_{j},[h_{i},f_{j}]=-a_{ij}f_{j},}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (e_{i})^{-a_{ij}+1}(e_{j})=\operatorname {ad} (f_{i})^{-a_{ij}+1}(f_{j})=0,i\neq j}$-

สิ่งที่ตรงกันข้ามของเรื่องนี้ก็เป็นจริงเช่นกัน กล่าวคือ พีชคณิตลีที่สร้างขึ้นโดยตัวสร้างและความสัมพันธ์เช่นข้างต้นเป็นพีชคณิตลีแบบกึ่งซิมเพิล (มิติจำกัด) ที่มีการแยกย่อยพื้นที่รากดังข้างต้น (โดยที่เป็นเมทริกซ์คาร์ตัน ) นี่คือทฤษฎีบทของเซร์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พีชคณิตลีแบบกึ่งซิมเพิลสองอันจะเป็นไอโซมอร์ฟิกหากมีระบบรากเดียวกัน${\displaystyle [a_{ij}]_{1\leq i,j\leq l}}$

นัยของธรรมชาติเชิงสัจพจน์ของระบบรากและทฤษฎีบทของแซร์ก็คือ เราสามารถระบุรายการระบบรากที่เป็นไปได้ทั้งหมดได้ ดังนั้นจึงเป็นพีชคณิตลีแบบกึ่งเรียบง่าย "ที่เป็นไปได้ทั้งหมด" (มิติจำกัดเหนือฟิลด์ปิดทางพีชคณิตที่มีลักษณะเป็นศูนย์)

กลุ่มWeylเป็นกลุ่มของการแปลงเชิงเส้นของที่สร้างขึ้นโดย's กลุ่ม Weyl เป็นสมมาตรที่สำคัญของปัญหา ตัวอย่างเช่น น้ำหนักของการแสดงมิติจำกัดใดๆ ของจะคงที่ภายใต้กลุ่ม Weyl ^[11]${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}\simeq {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

สำหรับและพีชคณิตย่อยของคาร์ตันของเมทริกซ์แนวทแยง กำหนดโดย${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \lambda _{i}\in {\mathfrak {h}}^{*}}$

${\displaystyle \lambda _{i}(d(a_{1},\ldots ,a_{n}))=a_{i}}$-

โดยที่หมายถึงเมทริกซ์แนวทแยงมุมที่มีอยู่บนแนวทแยงมุม จากนั้นการแยกส่วนจะกำหนดโดย${\displaystyle d(a_{1},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \left(\bigoplus _{i\neq j}{\mathfrak {g}}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}}\right)}$

ที่ไหน

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}}={\text{Span}}_{\mathbb {C} }(e_{ij})}$

สำหรับเวกเตอร์ที่มีพื้นฐานมาตรฐาน (เมทริกซ์) หมายความว่าเวกเตอร์พื้นฐานในแถวที่ - และคอลัมน์ที่ - การสลายตัวนี้มีระบบรากที่เกี่ยวข้อง:${\displaystyle e_{ij}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle e_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \Phi =\{\lambda _{i}-\lambda _{j}:i\neq j\}}$

เช่นในการสลายตัวคือ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{2}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}$

และระบบรากที่เกี่ยวข้องคือ

${\displaystyle \Phi =\{\lambda _{1}-\lambda _{2},\lambda _{2}-\lambda _{1}\}}$

ในการสลายตัวคือ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{2}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{3}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{3}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{1}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{3}-\lambda _{1}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{3}-\lambda _{2}}}$

และระบบรากที่เกี่ยวข้องจะกำหนดโดย

${\displaystyle \Phi =\{\pm (\lambda _{1}-\lambda _{2}),\pm (\lambda _{1}-\lambda _{3}),\pm (\lambda _{2}-\lambda _{3})\}}$

ตามที่ระบุไว้ใน #Structure พีชคณิตลี แบบกึ่งซิมเพิล เหนือ(หรือโดยทั่วไปคือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่มีลักษณะเป็นศูนย์) จะถูกจัดประเภทตามระบบรากที่เชื่อมโยงกับพีชคณิตย่อยของคาร์ตัน และระบบรากจะถูกจัดประเภทตามไดอะแกรมไดนามิกของพีชคณิตเหล่านั้น ตัวอย่างของพีชคณิตลีแบบกึ่งซิมเพิล เช่นพีชคณิตลีแบบคลาสสิกซึ่งมีสัญกรณ์ที่มาจากไดอะแกรมไดนามิก ของพีชคณิตเหล่า นั้น ได้แก่:${\displaystyle \mathbb {C} }$

• ${\displaystyle A_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}}$, พีชคณิตลีเชิงเส้นพิเศษ
• ${\displaystyle B_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n+1}}$, พีชคณิต ลีพิเศษมุมฉากมิติคี่
• ${\displaystyle C_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}}$, พีชคณิตลีซิมเพลกติก
• ${\displaystyle D_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}}$, พีชคณิตลีพิเศษมุมฉากมิติคู่( )${\displaystyle n>1}$

ข้อจำกัดในครอบครัวเป็นสิ่งจำเป็นเพราะเป็นมิติเดียวและสับเปลี่ยน ดังนั้นจึงไม่กึ่งง่าย${\displaystyle n>1}$${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2}}$

พีชคณิตลีเหล่านี้มีการนับเลขเพื่อให้nเป็นอันดับพีชคณิตลีกึ่งง่ายเหล่านี้เกือบทั้งหมดเป็นพีชคณิตลีแบบง่ายจริงๆ และสมาชิกของกลุ่มเหล่านี้เกือบทั้งหมดแยกจากกัน ยกเว้นการชนกันบางส่วนในอันดับเล็ก เช่นและสี่กลุ่มนี้ รวมกับข้อยกเว้นห้าประการ ( E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄และG ₂ ) เป็น พีชคณิตลีแบบง่าย เพียงกลุ่มเดียวในกลุ่มจำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\oplus {\mathfrak {so}}_{3}}$${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{5}}$

พีชคณิตลีแบบกึ่งซิมเพิลทุกอันเหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่มีลักษณะเฉพาะ 0 เป็นผลรวมโดยตรงของพีชคณิตลีแบบซิมเพิล (ตามนิยาม) และพีชคณิตลีแบบซิมเพิลมิติจำกัดแบ่งออกเป็นสี่ตระกูล ได้แก่ A _n , B _n , C _nและ D _nโดยมีข้อยกเว้นห้าประการคือ E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄และG ₂พีชคณิตลีแบบซิมเพิลจะถูกจำแนกประเภทโดยไดอะแกรม Dynkin ที่เชื่อมต่อกัน ซึ่งแสดงอยู่ทางด้านขวา ในขณะที่พีชคณิตลีแบบกึ่งซิมเพิลสอดคล้องกับไดอะแกรม Dynkin ที่ไม่จำเป็นต้องเชื่อมต่อกัน โดยแต่ละองค์ประกอบของไดอะแกรมสอดคล้องกับผลรวมของการแยกพีชคณิตลีแบบกึ่งซิมเพิลออกเป็นพีชคณิตลีแบบซิมเพิล

การจำแนกประเภทดำเนินไปโดยพิจารณาพีชคณิตย่อยของคาร์ตัน (ดูด้านล่าง) และการกระทำที่เกี่ยวข้องบนพีชคณิตลีระบบรากของการกระทำจะกำหนดพีชคณิตลีดั้งเดิมและต้องมีรูปแบบที่จำกัดมาก ซึ่งสามารถจำแนกประเภทได้ด้วยไดอะแกรมไดกิ้น ดูรายละเอียดเพิ่มเติมในส่วนด้านล่างซึ่งอธิบายถึงพีชคณิตย่อยและระบบรากของคาร์ตัน

การจำแนกประเภทถือได้ว่าเป็นผลลัพธ์ที่สวยงามที่สุดอย่างหนึ่งในทางคณิตศาสตร์ โดยรายการสัจพจน์สั้นๆ จะให้การจำแนกประเภทที่สมบูรณ์แต่ไม่ซับซ้อนพร้อมโครงสร้างที่น่าประหลาดใจผ่านการพิสูจน์สั้นๆ ซึ่งควรนำไปเปรียบเทียบกับการจำแนกประเภทกลุ่มเรียบง่ายจำกัดซึ่งมีความซับซ้อนกว่ามาก

การนับเลขของสี่ตระกูล นั้นไม่ซ้ำซ้อนและประกอบด้วยพีชคณิตเชิงเดี่ยวเท่านั้นหากสำหรับA _nสำหรับ B _nสำหรับ C _nและสำหรับ D _nหากเริ่มนับเลขต่ำลง การนับเลขจะซ้ำซ้อนและจะมีไอโซมอร์ฟิซึมพิเศษระหว่างพีชคณิตลีเชิงเดี่ยว ซึ่งสะท้อนให้เห็นในไอโซมอร์ฟิซึมของไดอะแกรมไดกิ้น E _nสามารถขยายลงมาได้ แต่ด้านล่าง E ₆เป็นไอโซมอร์ฟิซึมกับพีชคณิตอื่นที่ไม่ใช่ข้อยกเว้น${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle n\geq 4}$

การจำแนกประเภทจะซับซ้อนกว่าในฟิลด์ที่ไม่ปิดทางพีชคณิต กล่าวคือ จะต้องจำแนกพีชคณิตลีแบบง่าย ๆ เหนือการปิดทางพีชคณิต จากนั้นสำหรับแต่ละพีชคณิตลีแบบง่าย ๆ เหนือฟิลด์ดั้งเดิมที่มีรูปแบบนี้ (เหนือการปิดทาง) ตัวอย่างเช่น หากต้องการจำแนกพีชคณิตลีจริงแบบง่าย ๆ จะต้องจำแนกพีชคณิตลีจริงที่มีการสร้างความซับซ้อน ซึ่งเรียกว่ารูปแบบจริงของพีชคณิตลีเชิงซ้อน ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้ไดอะแกรม Satakeซึ่งเป็นไดอะแกรม Dynkin ที่มีข้อมูลเพิ่มเติม ("การตกแต่ง") ^[12]

ให้เป็นพีชคณิตลีแบบกึ่งซิมเปิล (มิติจำกัด) เหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตของลักษณะเฉพาะศูนย์ จากนั้น เช่นเดียวกับใน #โครงสร้างโดยที่คือระบบราก เลือกรากซิมเปิลในรากซิมเปิลของจะถูกเรียกว่าบวกและแสดงด้วยหากเป็นผลรวมเชิงเส้นของรากซิมเปิลที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ให้ซึ่งเป็นพีชคณิตย่อยที่แก้ได้สูงสุดของพีชคณิตย่อยของโบเรล${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\textstyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \alpha >0}$${\textstyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ให้Vเป็นโมดูลแบบง่าย (อาจมีมิติอนันต์) หากVยอมรับ เวก เตอร์น้ำหนัก^[13]แสดงว่า V มีค่าเฉพาะตัวจนถึงระดับการปรับขนาด และเรียกว่าเวกเตอร์น้ำหนักสูงสุดของVนอกจากนี้ยังเป็นเวกเตอร์น้ำหนัก และน้ำหนักของฟังก์ชันเชิงเส้นของเรียกว่าน้ำหนักสูงสุดของVข้อเท็จจริงพื้นฐานที่ไม่ธรรมดา^[14]ก็คือ (1) สำหรับฟังก์ชันเชิงเส้นแต่ละอันจะมีโมดูล แบบง่าย ที่มีน้ำหนักสูงสุด และ (2) โมดูลแบบง่ายสองอันที่มีน้ำหนักสูงสุดเท่ากันจะเทียบเท่ากัน กล่าวโดยย่อ มีการแบ่งแบบทวิภาคระหว่างและเซตของคลาสสมมูลของโมดูลแบบง่ายที่ยอมรับเวกเตอร์น้ำหนักโบเรล${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \mu \in {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V^{\mu }}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

สำหรับการใช้งาน มักมีความสนใจในโมดูลแบบง่ายที่มีมิติจำกัด(การแสดงแบบลดรูปที่มีมิติจำกัด) โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเป็นพีชคณิตลีของกลุ่มลี (หรือการทำให้ซับซ้อนของพีชคณิตดังกล่าว) เนื่องจากผ่านการโต้ตอบของลีการแสดงพีชคณิตลีสามารถรวมเข้ากับการแสดงแบบกลุ่มลีได้เมื่อเอาชนะอุปสรรคได้ เกณฑ์ต่อไปนี้จึงตอบสนองความต้องการนี้ โดยที่ห้องไวล์เชิงบวกหมายถึงกรวยนูนโดยที่ เป็นเวกเตอร์เฉพาะตัวที่ เกณฑ์ดัง กล่าวอ่านว่า: ^[15]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle C\subset {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle C=\{\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}|\mu (h_{\alpha })\geq 0,\alpha \in \Phi >0\}}$${\displaystyle h_{\alpha }\in [{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }]}$${\displaystyle \alpha (h_{\alpha })=2}$

• ${\displaystyle \dim V^{\mu }<\infty }$ก็ต่อเมื่อ สำหรับแต่ละรากบวก(1) เป็นจำนวนเต็มและ (2) อยู่ใน${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \mu (h_{\alpha })}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle C}$

ฟังก์ชันเชิงเส้นที่ตอบสนองเงื่อนไขเทียบเท่าข้างต้นเรียกว่าน้ำหนักอินทิกรัลเด่น ดังนั้นโดยสรุปแล้ว จะมีการโต้ตอบระหว่างน้ำหนักอินทิกรัลเด่นและคลาสความเท่าเทียมของโมดูลง่ายมิติจำกัด ซึ่งผลลัพธ์เรียกว่าทฤษฎีบทของน้ำหนักสูงสุดลักษณะของโมดูลง่ายมิติจำกัดจะคำนวณโดยใช้สูตรอักขระ Weyl${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ทฤษฎีบทของไวล์กล่าวว่า เมื่ออยู่ในฟิลด์ที่มีลักษณะเป็นศูนย์ โมดูลมิติจำกัดทุกโมดูลของพีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายจะลดรูปได้อย่างสมบูรณ์กล่าวคือ เป็นผลรวมโดยตรงของโมดูลแบบง่าย ดังนั้น ผลลัพธ์ข้างต้นจึงนำไปใช้กับการแสดงมิติจำกัดของพีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายได้${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

สำหรับพีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายเหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเป็นศูนย์แต่ไม่ปิดทางพีชคณิต ไม่มีทฤษฎีโครงสร้างทั่วไปเหมือนกับทฤษฎีสำหรับฟิลด์ที่มีลักษณะเป็นศูนย์ปิดทางพีชคณิต แต่เหนือฟิลด์ของจำนวนจริง ผลลัพธ์ของโครงสร้างยังคงอยู่

ให้เป็นพีชคณิตลีเชิงซ้อนเชิงจริงที่มีมิติจำกัดและการทำให้ซับซ้อนของมัน (ซึ่งก็คือกึ่งเชิงซ้อนอีกครั้ง) พีชคณิตลีเชิงจริงเรียกว่ารูปแบบจริงของรูปแบบจริงเรียกว่ารูปแบบกะทัดรัดถ้ารูปแบบคิลลิ่งบนนั้นเป็นแบบลบแน่นอน พีชคณิตลีจำเป็นต้องเป็นพีชคณิตลีของกลุ่มลีเชิงกะทัดรัด (ดังนั้นชื่อนี้จึงเป็นเช่นนั้น)${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }}$

สมมติว่าเป็นรูปแบบที่กะทัดรัดและเป็นปริภูมิอาเบเลียนสูงสุด เราสามารถแสดงได้ (ตัวอย่างเช่น จากข้อเท็จจริงคือพีชคณิตลีของกลุ่มลีที่กะทัดรัด) ซึ่งประกอบด้วยเมทริกซ์เบ้-เฮอร์มิเชียนที่แปลงเป็นเส้นทแยงมุมได้ด้วยค่าลักษณะเฉพาะในจินตภาพ ดังนั้น จึงเป็น พีชคณิตย่อย ของคาร์ตันและส่งผลให้เกิดการสลายตัวของปริภูมิราก (ดู #โครงสร้าง)${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

โดยที่แต่ละค่าจะมีค่าจริงบน; ดังนั้น จึงสามารถระบุได้ด้วยฟังก์ชันเชิงเส้นจริงบนปริภูมิเวกเตอร์จริง${\displaystyle \alpha \in \Phi }$${\displaystyle i{\mathfrak {h}}}$${\displaystyle i{\mathfrak {h}}}$

ตัวอย่างเช่น ให้และใช้ปริภูมิย่อยของเมทริกซ์แนวทแยงทั้งหมด หมายเหตุให้เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของโดยที่ สำหรับจากนั้น สำหรับแต่ละ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {su}}(n)}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle e_{i}(H)=h_{i}}$${\displaystyle H=\operatorname {diag} (h_{1},\dots ,h_{n})}$${\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle [H,E_{ij}]=(e_{i}(H)-e_{j}(H))E_{ij}}$

โดยที่เป็นเมทริกซ์ที่มี 1 อยู่ที่ตำแหน่งที่ - และเป็นศูนย์ในตำแหน่งอื่น ดังนั้น รากแต่ละตัวจะมีรูปแบบและการสลายตัวของพื้นที่รากก็คือการสลายตัวของเมทริกซ์: ^[16]${\displaystyle E_{ij}}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha =e_{i}-e_{j},i\neq j}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }\oplus \bigoplus _{i\neq j}\mathbb {C} E_{ij}.}$

สมมติว่าไม่จำเป็นต้องเป็นรูปแบบที่กะทัดรัด (กล่าวคือ ลายเซ็นของรูปแบบ Killing ไม่ได้เป็นค่าลบทั้งหมด) นอกจากนี้ สมมติว่ามีการแทรก Cartanและให้เป็นการแยกส่วน eigenspace ของโดยที่eigenspace สำหรับ 1 และ -1 ตามลำดับ ตัวอย่างเช่น หากและทรานสโพสเชิงลบดังนั้น${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {R} }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\mathfrak {k}}={\mathfrak {so}}(n)}$

ให้เป็นปริภูมิอาเบเลียนสูงสุด ขณะนี้ประกอบด้วยเมทริกซ์สมมาตร (เทียบกับผลคูณภายในที่เหมาะสม) และตัวดำเนินการใน จึงสามารถแปลงเป็นเส้นทแยงมุมได้พร้อมกัน โดยมีค่าลักษณะเฉพาะจริง โดยการทำซ้ำอาร์กิวเมนต์สำหรับฟิลด์ฐานปิดทางพีชคณิต เราจะได้การแยกส่วน (เรียกว่าการแยกส่วนปริภูมิรากที่จำกัด ): ^[17]${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {a}})}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

ที่ไหน

• ธาตุในเรียกว่ารากจำกัด${\displaystyle \Phi }$
• ${\displaystyle \theta ({\mathfrak {g}}_{\alpha })={\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$สำหรับฟังก์ชันเชิงเส้นใด ๆโดยเฉพาะอย่างยิ่ง${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle -\Phi \subset \Phi }$
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {a}}\oplus Z_{\mathfrak {k}}({\mathfrak {a}})}$-

อีกทั้งยังเป็นระบบรากแต่ไม่จำเป็นต้องเป็นระบบที่ลดลง (คือสามารถเกิดขึ้นได้กับทั้งสองราก)${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \alpha ,2\alpha }$

ถ้า, แล้วอาจใช้เป็นพีชคณิตย่อยแนวทแยงของ, ประกอบด้วยเมทริกซ์แนวทแยงซึ่งรายการแนวทแยงมีผลรวมเป็นศูนย์ เนื่องจากมีมิติ, เราจึงเห็นว่ามีอันดับ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle \mathrm {sl} (n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle n-1}$

เวกเตอร์รากในกรณีนี้สามารถใช้เป็นเมทริกซ์ที่มีโดยที่เป็นเมทริกซ์ที่มี 1 ในตำแหน่งและศูนย์ในตำแหน่งอื่น^[18]หากเป็นเมทริกซ์แนวทแยงมุมที่มีรายการแนวทแยงมุมเราจะได้${\displaystyle X}$${\displaystyle E_{i,j}}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle E_{i,j}}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$

${\displaystyle [H,E_{i,j}]=(\lambda _{i}-\lambda _{j})E_{i,j}}$-

ดังนั้น รากของฟังก์ชันเชิงเส้นคือ${\displaystyle \mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \alpha _{i,j}}$

${\displaystyle \alpha _{i,j}(H)=\lambda _{i}-\lambda _{j}}$-

หลังจากระบุด้วยคู่ของมันแล้ว รากจะกลายเป็นเวกเตอร์ในพื้นที่ของทูเพิลที่มีผลรวมเป็นศูนย์ นี่คือระบบรากที่เรียกว่าในการติดฉลากแบบธรรมดา${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \alpha _{i,j}:=e_{i}-e_{j}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A_{n-1}}$

การสะท้อนที่เกี่ยวข้องกับรากจะกระทำต่อโดยการเปลี่ยน ตำแหน่งรายการแนวทแยง และกลุ่ม Weyl จึงเป็นเพียงกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนองค์ประกอบ โดยกระทำโดยการเรียงสับเปลี่ยนรายการแนวทแยงของเมทริกซ์ใน${\displaystyle \alpha _{i,j}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

พีชคณิตลีแบบกึ่งซิมเพิลยอมรับการสรุปทั่วไปบางประการ ประการแรก ข้อความหลายข้อที่เป็นจริงสำหรับพีชคณิตลีแบบกึ่งซิมเพิลนั้นเป็นจริงโดยทั่วไปสำหรับพีชคณิตลี แบบลดรูป ในเชิงนามธรรม พีชคณิตลีแบบลดรูปคือพีชคณิตที่การแสดงร่วมสามารถลดรูปได้อย่างสมบูรณ์ในขณะที่โดยรูปธรรม พีชคณิตลีแบบลดรูปเป็นผลรวมโดยตรงของพีชคณิตลีแบบกึ่งซิมเพิลและพีชคณิตลีแบบอาเบเลียนตัวอย่างเช่นเป็นแบบกึ่งซิมเพิลและเป็นแบบลดรูป คุณสมบัติหลายประการของพีชคณิตลีแบบกึ่งซิมเพิลขึ้นอยู่กับการลดรูปเท่านั้น${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$

คุณสมบัติหลายประการของพีชคณิตลีแบบกึ่งเรียบง่าย/ลดรูปที่ซับซ้อนนั้นเป็นจริงไม่เพียงแต่สำหรับพีชคณิตลีแบบกึ่งเรียบง่าย/ลดรูปบนฟิลด์ปิดทางพีชคณิตเท่านั้น แต่ยังรวมถึงพีชคณิตลีแบบแยกส่วนแบบกึ่งเรียบง่าย/ลดรูปบนฟิลด์อื่นๆ โดยทั่วไป พีชคณิตลีแบบกึ่งเรียบง่าย/ลดรูปบนฟิลด์ปิดทางพีชคณิตจะแยกส่วนเสมอ แต่สำหรับฟิลด์อื่นๆ ก็ไม่เป็นเช่นนั้นเสมอไป พีชคณิตลีแบบแยกส่วนมีทฤษฎีการแสดงที่เหมือนกันโดยพื้นฐานกับพีชคณิตลีแบบกึ่งเรียบง่ายบนฟิลด์ปิดทางพีชคณิต เช่นพีชคณิตย่อยของคาร์ตันแบบแยกส่วนมีบทบาทเดียวกันกับพีชคณิตย่อยของคาร์ตันที่เล่นบนฟิลด์ปิดทางพีชคณิต นี่คือแนวทางที่ปฏิบัติตามใน (Bourbaki 2005) ตัวอย่างเช่น ซึ่งจัดประเภทการแสดงของพีชคณิตลีแบบกึ่งเรียบง่าย/ลดรูปบนฟิลด์ปิดทางพีชคณิต

กลุ่มลีที่เชื่อมต่อกันจะเรียกว่าเซมิซิมเพิลถ้าพีชคณิตลีของมันเป็นพีชคณิตลีแบบเซมิซิมเพิล กล่าวคือ ผลรวมตรงของพีชคณิตลีแบบง่าย จะเรียกว่ารีดักชันถ้าพีชคณิตลีของมันเป็นผลรวมตรงของพีชคณิตลีแบบง่ายและธรรมดา (มิติเดียว) กลุ่มรีดักชันเกิดขึ้นตามธรรมชาติในรูปของสมมาตรของวัตถุทางคณิตศาสตร์จำนวนหนึ่งในพีชคณิต เรขาคณิต และฟิสิกส์ ตัวอย่างเช่น กลุ่มสมมาตรของปริภูมิเวกเตอร์จริงn มิติ (เทียบเท่ากับกลุ่มของเมทริกซ์ผกผัน) จะเป็นรีดักชัน${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )}$

• พีชคณิตลี
• ระบบราก
• การแสดงพีชคณิตแบบโกหก
• กลุ่มขนาดกะทัดรัด
• กลุ่มโกหกธรรมดา
• พีชคณิตย่อยของโบเรล
• ทฤษฎีบทจาคอบสัน–โมโรซอฟ