디오판투스 2세8세

디오판투스(C. 200/214 AD – 284/298 AD)의 산술 2권 중 여덟 번째 문제는 정사각형을 두 칸 합으로 나누는 것이다.

디오판토스가 준 해결책

디오판토스는 광장을 16으로 잡고 다음과 같이 문제를 해결한다.^[1]

주어진 제곱을 두 제곱의 합으로 나눈다.

16을 두 제곱의 합으로 나눈다.

첫 번째 합계는 ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ x$^{2}}$이고$,$ 따라서 두 번째 ${\displaystyle 16}$- ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 후자는 정사각형이 되는 것이다. 나는 16의 근에 의해 감소된 x의 임의 배수의 차이의 제곱을 형성한다. 즉, 4가 감소한다. 예를 들어, 나는 2x4의 제곱을 형성한다. $4{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle 16}$- ${\displaystyle \mathrm{16}}$ x$${\$displaystyle 4x^{$2}+$16-16x$ 이 ${\displaystyle \mathrm{표현}}$은${\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$2 {\$displaystyle 16-x$$2$}}. 양쪽 ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle \mathrm{16}}$ x ${\displaysty$ x$^{2$} + $16x}$를 더하고 16을 뺀다. 이렇게 해서 $나$는 5 ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle \mathrm{16}}$ x ${\displaystyle 5x^{2}=16x$ 따라서 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 16}$/ ${\displaystyle 5\mathrm{}}$ ${\displaystyle$ x$=16/5}$을 얻는다$.$

따라서 한 숫자는 256/25이고 다른 숫자는 144/25이다. 이 숫자들의 합은 16이고 각 합계는 제곱이다.

기하학적 해석

기하학적으로 원 x² + y² = 4와² 선 y = 2x - 4를 그려서 이 방법을 설명할 수 있다. 검색된 제곱 쌍은 x와₀² y이며₀², 여기서 (x₀, y₀)는 선과 원이 교차하는 y 축에 있지 않은 점이다. 이것은 인접한 도표에 나타나 있다.

디오판토스 해법 일반화

우리는 디오판토스의 해결책을 일반화하여 주어진 사각형에 대한 문제를 해결할 수 있는데, 이것은 우리가 대수적으로 a로서² 대표할 것이다. 또한 디오판토스는 x의 임의배수를 가리키므로, 임의배수를 tx로 삼을 것이다. 다음:

${\displaystyle {\begin{aigned}&(tx-a)^{2}=a^{2}-x^{2}\\\Rightarrow \ \&t^{2}x^{2}-2atx+a^{2}}}=a^{2}-x^{2}\\\Rightarrow \ \&x^{2}+1)=2atx\\\\\Rightarrow \\&x={x={t^{2}+1}{text{} 또는 }x=0.\\end{aigned}}$

Therefore, we find that one of the summands is ${\displaystyle x^{2}=\left({\tfrac {2at}{t^{2}+1}}\right)^{2}}$ and the other is ${\displaystyle (tx-a)^{2}=\left({\tfrac {a(t^{2}-1)}{t^{2}+1}}\right)^{2}}$. 이 숫자의 합은 ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ a$^{2}}$이며, 각 합계는 제곱이다. 기하학적으로, 우리는² 원² x + y = a와² y = 선 y = tx - a를 교차시켰는데, 이는 인접한 도표에서 볼 수 있다.^[2] 삼각형 OAB 측면의 길이 OB, OA, AB를 주문된 튜플로 작성하면 3중으로 된다.

${\displaystyle [}$ ${\displaystyle a}$; ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{}}$ ${\displaystyle \frac{t}{}}$ t ${\displaystyle \frac{{t\mathrm{}}^{}}{}}$ 2${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$+ 1${\displaystyle \frac{}{}}$ a${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{{t\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2{}^{}}{}}$- 1${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\displaystyle t\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$ {$2at}{t^{$2}+1}:1$}};{\frac$ {$a(t^{2}-1){t^{$2}+1$}{t$^{2$}}+$1$\}\}\}\}\}\}\}.$

디오판토스가 얻은 구체적인 결과는 a = 4와 t = 2를 취함으로써 얻을 수 있다.

${\displaystyle \left[a;{\frac {2at}{t^{2}+1}};{\frac {a(t^{2}-1)}{t^{2}+1}}\right]=\left[{\frac {20}{5}};{\frac {16}{5}};{\frac {12}{5}}\right]={\frac {4}{5}}\left[5;4;3\right].}$

우리는 디오판투스의 특별한 해결책이 사실 미묘하게 위장된(3, 4, 5) 3배라는 것을 안다. 그러나 a와 t가 합리적이기만 하면 3중은 항상 합리적일 것이므로 t의 값을 변경하여 x의 임의배수의 값을 변경함으로써 무한히 합리적인 3중의 3중의 값을 얻을 수 있다.

This algebraic solution needs only one additional step to arrive at the Platonic sequence ${\displaystyle [{\tfrac {t^{2}+1}{2}};t;{\tfrac {t^{2}-1}{2}}]}$ and that is to multiply all sides of the above triple by a factor ${\displaystyle \quad {\tfrac {t^{2}$$+1}{2a$ 또한 a = 1일 경우 면[OB, OA, AB]이 로 줄어든다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle \left[1;{\frac {2t}{t^{2}+1};{\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}\right].}$

현대 표기법에서 이것은 위 그래프에 표시된 θ에 대한$$ (${\displaystyle 1},{\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \theta }$ , ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \backslash \theta }$ )${\displaystyle }$, ${\displaystyle (1,\sin \theta ,\cos \theta )}}$에 불과하며, the/2의 contangent t 단위로 표기된다. 디오판토스가 제시한 특별한 예에서 t는 x의 임의의 승수인 2의 값을 가지고 있다. 분모를 클리어할 때 이 표현은 피타고라스 삼배를 생성하게 된다. 흥미롭게도 x의 임의적인 승수는 발전기 표현의 초석이 되었다.

디오판투스 2세IX는 위의 '일반화된 솔루션'과 매우 유사한 훨씬 더 빠른 경로를 통해 동일한 솔루션에 도달한다. 다시 한번 문제는 16을 두 칸으로 나누는 것이다.^[3]

첫 번째 숫자는 N이고 두 번째 숫자는 16의 루트에 의해 N의 임의 배수가 감소하도록 한다. 예: 2N - 4 다음:

$디스플레이 스타일 {\displaystyle}&N^{2}+(2N-4)^{2}=16\\\오른쪽 화살표 \\{2}+16-16N=16\\\\{2}+16-16N\\\오른쪽 화살표 \\\\{5N^{2}=16N\\\\\\\\\\\\\\\{16}}}}}}$

나중에 페르마의 마지막 정리가 된 페르마의 유명한 논평은 1670년판 산술집 61페이지의 '콰이스티오 8세'와 '콰이스티오 9세' 사이에 끼어 있다.

참고 항목

• 페르마의 마지막 정리 및 디오판투스 2세8세

참조