히포크라테스의 루네

Lune of Hippocrates
히포크라테스의 룬은 왼쪽 위 음영 지역이다. 오른쪽 아래 음영 삼각형과 동일한 면적을 가지고 있다.

기하학에서, 키오스의 히포크라테스의 이름을 딴 히포크라테스의 룬은 두 개의 원의 호로 경계를 이룬 룬으로, 그 중 작은 것은 더 큰 원의 직각으로 뻗은 화음을 가지고 있다. 동등하게 180도 원호 1개와 90도 원호 1개로 경계를 이루는 비원형 평면 영역이다. 정확한 면적이 수학적으로 계산된 최초의 곡선 형태였다.[1]

역사

히포크라테스는 원을 제곱하는 고전적인 문제, 즉 주어진 원과 같은 영역을 가진 직선자와 나침반을 이용하여 정사각형을 건설하는 문제를 해결하고 싶었다.[2][3] 그는 그림에서 E와 F라고 표시된 호로 경계된 룬이 삼각형 ABO와 동일한 영역을 가지고 있음을 증명했다. 이것은 루인이 원호들에 의해서만 묶여 있기 때문에 원 스쿼링 문제를 해결할 수 있는 약간의 희망을 주었다. 히스는 히포크라테스가 자신의 결과를 증명하는 데 있어서 원의 면적이 지름의 제곱에 비례한다는 것을 처음으로 증명하기도 했다고 결론짓는다.[2]

이 결과가 나타나는 히포크라테스의 기하학에 관한 책인 원소는 없어졌지만, 유클리드 원소의 모델을 형성했을지도 모른다.[3] 히포크라테스의 증거는 로도스의 에우데무스가 편찬한 기하학사를 통해 보존되었는데, 이 역시 살아남지 못했으나, 아리스토텔레스의 물리학 해설에서 킬리시아의 심플리시우스가 발췌한 것이다.[2][4]

1882년에 이르러서야, 페르디난드 폰 린데만의 transcend 초월성의 증거로써, 원이 불가능하다는 것이 증명되었다.[5]

증명

히포크라테스의 결과는 다음과 같이 증명할 수 있다. 원호 AEB가 놓여 있는 원의 중심은 이소체 직각 삼각형 ABO의 저선용 중간점인 D점이다. 따라서 더 큰 원 ABC의 지름 AC는 호 AEB가 놓여 있는 더 작은 원의 지름의 2배이다. 결과적으로, 더 작은 원은 더 큰 원의 절반 면적을 가지며, 따라서 1/4 원 AFB를 가진다.OA는 반원형 AEBDA와 면적이 같다. 쿼터 원으로부터 초승달 모양의 영역 AFBDA를 빼면 삼각형 ABO가 생기고 반원형에서 같은 초승달을 빼면 룬이 생긴다. 삼각형과 룬은 둘 다 동일한 면적에서 동일한 영역을 빼서 형성되기 때문에, 그 자체가 면적에서 동일하다.[2][6]

일반화

알하센의 미치광이들. 두 개의 파란 LUN은 녹색 오른쪽 삼각형과 동일한 영역을 가지고 있다.

위의 것과 유사한 증거를 사용하여 아랍 수학자 하산 이븐 알헤이담(알하젠, c. 965 – c. 1040)은 오른쪽 삼각형의 양쪽에 형성된 두 개의 LUN을 보여주었는데, 그 바깥 경계는 반원형이고 안쪽 경계는 삼각형의 원주에 의해 형성된 다음 이 두 개의 LUN의 영역이 추가되었다.Ogether는 삼각형의 면적과 같다. 직각 삼각형에서 이와 같이 형성된 LUN은 알하젠의 LUN으로 알려져 있다.[7][8] 히포크라테스의 LUN의 4각형은 이등변 직각 삼각형에게 이 결과의 특별한 경우다.[9]

20세기 중반, 두 명의 러시아 수학자인 니콜라이 체보타리오프와 그의 제자 아나톨리 도로드노프는 나침반과 직선으로 구성 가능하고 주어진 정사각형과 동일한 면적을 가진 LUN을 완전히 분류했다. 그러한 모든 LUN은 각각의 원에 있는 내부 호와 외부 호에 의해 형성된 두 개의 각도로 지정할 수 있다. 예를 들어, 이 표기법에서 히포크라테스의 LUN은 내측과 외측 각(90°, 180°)을 가질 것이다. 히포크라테스는 약 107.2°, 160.9°의 각도를 가진 두 개의 다른 편평한 오목한 LUN을 발견했다. (68.5°, 205.6°) 대략 (46.9도, 234.4도)와 (100.8도, 168.0도) 각도를 가진 두 개의 더 비뚤어진 오목한 LUN이 1766년에 마틴 요한 왈레니우스[루]에 의해 발견되었고, 1840년에 토마스 클라센에 의해 다시 발견되었다. 체보타리오프와 도로드노프가 보여주었듯이, 이 다섯 쌍의 각은 유일하게 구성 가능한 스퀴러블 LUN을 준다; 특히, 구성 가능한 스퀴러블 볼록 LUN은 없다.[1][8]

참조

  1. ^ a b Postnikov, M. M. (2000), "The problem of squarable lunes", American Mathematical Monthly, 107 (7): 645–651, doi:10.2307/2589121, JSTOR 2589121. Postnikov의 1963년 러시아 책 갈루아 이론에서 번역되었다.
  2. ^ a b c d Heath, Thomas L. (2003), A Manual of Greek Mathematics, Courier Dover Publications, pp. 121–132, ISBN 0-486-43231-9.
  3. ^ a b "Hippocrates of Chios", Encyclopædia Britannica, 2012, retrieved 2012-01-12.
  4. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Hippocrates of Chios", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
  5. ^ Jacobs, Konrad (1992), "2.1 Squaring the Circle", Invitation to Mathematics, Princeton University Press, pp. 11–13, ISBN 978-0-691-02528-5.
  6. ^ Bunt, Lucas Nicolaas Hendrik; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. (1988), "4-2 Hippocrates of Chios and the quadrature of lunes", The Historical Roots of Elementary Mathematics, Courier Dover Publications, pp. 90–91, ISBN 0-486-25563-8.
  7. ^ 히포크라테스의 '루네를 칼로 찌르는 소리'가 2012-01-12에 접속했다.
  8. ^ a b Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2010), "9.1 Squarable lunes", Charming Proofs: A Journey into Elegant Mathematics, Dolciani mathematical expositions, 42, Mathematical Association of America, pp. 137–144, ISBN 978-0-88385-348-1.
  9. ^ Anglin, W. S. (1994), "Hippocrates and the Lunes", Mathematics, a Concise History and Philosophy, Springer, pp. 51–53, ISBN 0-387-94280-7.