탈진법

Method of exhaustion
이 기사는 한계를 이용하여 도형의 면적을 구하는 방법에 대한 것입니다.증명 방법에 대해서는, 「소모에 대한 증명」을 참조해 주세요.

탈진법(라틴어: methodus expirationbus, 프랑스어: method des anciens)은 영역이 포함된 형상의 영역과 수렴하는 일련의 폴리곤을 그 안에 새겨서 형상의 영역을 구하는 방법이다.배열이 올바르게 구성되면 n번째 폴리곤과 포함 형상의 면적 차이는 n이 커짐에 따라 임의로 작아진다.이 차이가 임의로 작아짐에 따라 형상영역의 가능한 값은 배열부재에 의해 순차적으로 확립되는 하한영역에 의해 계통적으로 '배출'된다.

지치는 방법은 전형적으로 모순에 의한 일종의 증명, 즉 불합리한 환원이라고 알려져 있는 것을 필요로 한다.즉, 우선 두 번째 영역의 영역과 비교하여 영역의 영역을 찾는 것으로, 해당 영역이 실제 영역에 임의로 근접하도록 "배출"할 수 있습니다.증명은 실제 영역이 두 번째 영역보다 크다고 가정하고, 주장이 거짓임을 증명하고, 두 번째 영역보다 작다고 가정하고, 그 주장도 거짓임을 증명하는 것을 포함한다.

역사

그레고리우스 드 세인트빈센트

이 생각은 기원전 5세기 후반에 안티폰과 함께 시작되었지만, 그가 얼마나 [1]잘 이해했는지는 완전히 명확하지 않다.이 이론은 크니두스의 에우독소스에 의해 수십 년 후에 엄격해졌고, 그는 그것을 면적과 부피를 계산하는데 사용했다.이것은 나중에 중국에서 원의 [2]면적을 찾기 위해 서기 3세기에 류후이(劉 in)에 의해 재창조되었다.이 용어가 처음 사용된 것은 1647년 세인트 빈센트의 그레고리가 Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum에서였다.

탈진법은 미적분법의 선구자로 여겨진다.17-19세기 해석기하학과 엄격한 적분학의 발달은 탈진법을 내포하고 있어 더 이상 문제를 해결하기 위해 명시적으로 사용되지 않는다.중요한 대안적 접근은 카발리에리의 원리로, 불가분의 방법이라고도 불리며, 이는 결국 로버발, 토리첼리, 왈리스, 라이프니츠 등의 미적분학으로 발전했다.

유클리드

유클리드는 그의 12번째 원소 책에서 다음 여섯 가지 명제를 증명하기 위해 탈진법을 사용했다.

제안 2: 원의 면적은 [3]지름의 제곱에 비례한다.

제안 5: 같은 높이의 두 사면체의 부피는 삼각형 [4]밑면의 면적에 비례한다.

제안 10:원뿔의 부피는 베이스와 [5]높이가 동일한 해당 실린더 부피의 3분의 1이다.

제안 11: 같은 높이의 원뿔(또는 원통)의 부피는 베이스의 [6]면적에 비례한다.

제안 12:다른 원뿔(또는 원통)과 유사한 원뿔(또는 원통)의 부피는 [7]밑면 지름 비율의 세제곱에 비례합니다.

제안 18:구의 부피는 직경의 [8]세제곱에 비례한다.

아르키메데스

주요 기사:파이
아르키메데스는 원 안의 면적을 계산하기 위해 지치는 방법을 사용했다.

아르키메데스는 원을 더 큰 면적의 다각형과 더 많은 면수의 다각형으로 채움으로써 원 내부의 면적을 계산하는 방법으로 탈진법을 사용했다.이 폴리곤의 면적을 원의 반지름의 제곱으로 나눈 몫은 폴리곤 변의 수가 커짐에 따라 임의로 θ에 가깝게 할 수 있으며, 반지름 r의 원 안쪽 면적이 θr2, 즉 지름(C/d)에 대한 원둘레의 비율로 정의됨을 증명한다.

그는 또한 원의 둘레와 내접 및 외접된 96개의 정다각형들의 둘레를 비교하여 경계 3 71+ / < 3 < 3 70+ / (범위를 부여함)497을 제공하였다.

탈진[9] 방법을 통해 얻은 기타 결과에는 다음이 포함됩니다.

  • 선과 포물선의 교차점으로 둘러싸인 면적은 밑면과 높이가 동일한 삼각형의 4/3이다.
  • 타원의 면적은 장축 및 단축과 같은 변을 가진 직사각형에 비례한다.
  • 구체의 부피는 이 반지름과 동일한 반지름과 높이를 가진 원뿔의 4배이다.
  • 직경과 동일한 높이를 가진 실린더의 부피는 직경이 동일한 구체의 부피와 3/2이다.
  • 하나의 나선형 회전과 선으로 둘러싸인 면적은 선분 길이와 동일한 반경을 가진 원의 1/3이다.
  • 소진 방법을 사용하여 무한 기하 급수를 성공적으로 평가할 수 있었다(최초).
  • 포물선의 사각형.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ "Antiphon (480 BC-411 BC)". www-history.mcs.st-andrews.ac.uk.
  2. ^ 던, 류 1966년"아르키메데스와 류후이의 원 연구 비교." D에 의해 편집된 과학과 기술의 역사와 철학에 대한 중국학 279-87 페이지.팬, 그리고 R.S. 코헨.클루어 학술 출판사.ISBN 0-7923-3463-9. 페이지 279.
  3. ^ "Euclid's Elements, Book XII, Proposition 2". aleph0.clarku.edu.
  4. ^ "Euclid's Elements, Book XII, Proposition 5". aleph0.clarku.edu.
  5. ^ "Euclid's Elements, Book XII, Proposition 10". aleph0.clarku.edu.
  6. ^ "Euclid's Elements, Book XII, Proposition 11". aleph0.clarku.edu.
  7. ^ "Euclid's Elements, Book XII, Proposition 12". aleph0.clarku.edu.
  8. ^ "Euclid's Elements, Book XII, Proposition 18". aleph0.clarku.edu.
  9. ^ Smith, David E (1958). History of Mathematics. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-20430-8.