스핀(물리학)

스핀은 기본 입자에 의해 전달되는 고유한 형태의 각운동량이며, 따라서 강입자, 원자핵, 원자와 같은 복합 입자에 의해 전달됩니다.^[1]^[2]^{: 183–184} 회전하는 전자는 원래 축을 중심으로 회전하는 작은 단단한 입자로 제안되었습니다.^[3] 대신 오하니안이 설명한 바와 같이, "스핀은 전자의 파동장에서 에너지의 순환 흐름에 의해 생성된 각운동량으로 간주될 수 있습니다."^[3] 각운동량의 양은 플랑크 상수에 비례하는 이산 값을 취합니다.

전자 스핀 각운동량의 존재는 궤도 각운동량이 없음에도 불구하고 은 원자가 두 개의 가능한 이산 각운동량을 갖는 것으로 관찰된 스턴-게를라흐 실험과 같은 실험에서 추론됩니다.^[4] 전자 스핀의 존재는 스핀 통계 정리와 파울리 배제 원리로부터 이론적으로 추론될 수 있으며, 반대로 전자의 특정 스핀을 고려하면 파울리 배제 원리를 도출할 수 있습니다.

스핀은 수학적으로 광자와 같은 일부 입자의 벡터로 설명되고, 전자와 같은 다른 입자의 스피너와 쌍성자로 설명됩니다. 스피너와 쌍각형은 벡터와 유사하게 행동합니다: 그것들은 일정한 크기를 가지고 회전에 따라 변화하지만, 그것들은 비상식적인 "방향"을 사용합니다. 주어진 종류의 모든 기본 입자는 방향이 바뀔 수 있지만 스핀 각운동량의 크기는 동일합니다. 이것들은 입자에 스핀 양자 번호를 할당함으로써 표시됩니다.^[2]^{: 183–184}

스핀의 SI 단위는 고전적인 각운동량(즉, N·m·s, J·s 또는 kg·m²·s⁻¹)과 동일합니다. 실제로 스핀은 일반적으로 스핀 각운동량을 각운동량과 같은 차원을 갖는 감소된 플랑크 $상수$ ħ으로 나누어 무차원 스핀 양자수로 주어집니다. 흔히 "스핀 양자수"를 간단히 "스핀"이라고 부릅니다.

고전적 회전과의 관계

가장 초기의 전자 스핀 모델은 회전하는 하전 질량을 상상했지만, 이 모델은 자세히 살펴보면 실패합니다: 필요한 공간 분포가 전자 반경의 한계와 일치하지 않고, 필요한 회전 속도가 빛의 속도를 초과합니다. 표준 모델에서 기본 입자는 모두 "점과 같은" 것으로 간주됩니다. 즉, 입자는 입자 주위를 둘러싸고 있는 장을 통해 효과를 발휘합니다.^[5] 질량 회전에 기반한 스핀 모델은 해당 모델과 일치해야 합니다.

양자 스핀의 고전적인 유사체는 입자 파동장에서 에너지 또는 운동량 밀도의 순환입니다: "스핀은 본질적으로 파동 특성입니다."^[3] 이와 같은 스핀 개념은 물속의 중력파에도 적용될 수 있습니다: "스핀은 물 입자의 하위 파장 원운동에 의해 생성됩니다."^[6]

각운동량의 연속적인 값을 허용하는 고전파장 순환과는 달리 양자파장은 이산적인 값만을 허용합니다.^[3] 결과적으로 스핀 상태로의 또는 스핀 상태로부터의 에너지 전달은 항상 고정된 양자 단계에서 발생합니다. 몇 가지 단계만 허용됩니다: 많은 정성적 목적에서 스핀 양자 파동장의 복잡성은 무시될 수 있고 시스템 특성은 아래 양자수에서 논의되는 "정수" 또는 "반정수" 스핀 모델의 관점에서 논의될 수 있습니다.

광자 스핀은 빛 편광의 양자역학적 기술로, 스핀 +1과 스핀 -1은 원형 편광의 두 반대 방향을 나타냅니다. 따라서, 정의된 원형 편광의 빛은 모두 +1 또는 모두 -1과 같은 스핀을 가진 광자로 구성됩니다. 스핀은 다른 벡터 보손의 편광도 나타냅니다.

궤도 각운동량과의 관계

이름에서 알 수 있듯이 스핀은 원래 어떤 축을 중심으로 한 입자의 회전으로 생각되었습니다. 역사적으로 입자 궤도와 관련된 궤도 각운동량.^[7]^{: 131} 기계적 모델을 기반으로 한 이름은 살아남았지만 물리적 설명은 그렇지 않았습니다. 양자화는 스핀과 궤도 각운동량의 성격을 근본적으로 변화시킵니다.

기본 입자는 점과 같기 때문에 자기 회전이 잘 정의되어 있지 않습니다. 그러나 스핀은 스핀 S와 평행한 축 주위의 각도 θ 회전에 대해 $e^{iS\theta }$ 의 위상이 S $e^{iS\theta }$ θ ${\displaystyle$ e^{iS $\$ theta $e^{iS\theta }$ }와 같이 $e^{iS\theta }$ 에 $e^{iS\theta }$ 한다는 것을 의미합니다. 이것은 운동량을 위치의 위상 의존성으로, 궤도 각운동량을 각도 위치의 위상 의존성으로 양자역학적으로 해석하는 것과 같습니다.

페르미온의 경우 그림이 덜 선명합니다. 각속도는 에렌페스트 정리에 의해 해밀토니안의 공액운동량에 대한 도함수와 같으며, 이것은 총 각운동량 연산자 J = L + S입니다. 따라서 해밀턴 H가 스핀 S에 의존하면 dH/dS는 0이 아니며 스핀은 각속도를 유발하므로 실제 회전, 즉 시간에 따른 위상-각 관계의 변화가 발생합니다. 그러나 이것이 자유 전자에 대해 성립하는지 여부는 모호하며, 전자에 대해 S는² 일정하기 때문에 해밀턴이 그러한 용어를 포함하는지 여부는 해석의 문제입니다. 그럼에도 불구하고, 스핀은 디랙 방정식에 나타나고, 따라서 디랙 장으로 취급되는 전자의 상대론적 해밀토니안은 스핀 S에 의존성을 포함하는 것으로 해석될 수 있습니다.^[8] 이러한 해석 하에서 자유 전자도 자가 회전하며, 지터베궁 효과는 이 회전으로 이해됩니다.

양자수

스핀은 각운동량 양자화의 수학적 법칙을 따릅니다. 스핀 각운동량의 구체적인 특성은 다음과 같습니다.

스핀 양자수는 반 정수 값을 취할 수 있습니다.
스핀의 방향은 바꿀 수 있지만 기본 입자의 스핀의 크기는 바꿀 수 없습니다.
하전 입자의 스핀은 1과 다른 g인자를 가진 자기 쌍극자 모멘트와 관련이 있습니다. (고전적인 맥락에서, 이것은 회전하는 물체에 대해 다른 내부 전하와 질량 분포를 의미합니다.)^[9]

스핀 양자수의 통상적인 정의는 $s$ = $n$ /2이며, 여기서 $n$ 은 임의의 음이 아닌 정수일 수 있습니다. $따라서$ s가 허용되는 값은 0, 1/2, 1, 3/2, 2 등입니다. 기본 입자의 $s$ 값은 입자의 종류에 따라 다를 뿐이며, 알려진 방법으로는 변경할 수 없습니다(아래에 설명된 스핀 방향과 대조). 모든 물리계의 스핀 각운동량 $S$ 는 양자화되어 있습니다. $S$ 의 허용되는 값은

S=\hbar \,{\sqrt {s(s+1)}}={\frac {h}{2\pi }}\,{\sqrt {{\frac {n}{2}}{\frac {(n+2)}{2}}}}={\frac {h}{4\pi }}\,{\sqrt {n(n+2)}},

여기서

h

는 플랑크 상수이고, ℏ

{\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}

=

{\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}

h 2 π {\textstyle \hbar = {\frac {h}{2\pi}}는 감소된 플랑크 상수입니다. 반대로 궤도 각운동량은

s

의 정수 값, 즉 짝수 값인

n

만 취할 수 있습니다.

페르미온과 보손

페르미온은 1/2, 3/2, 5/2처럼 반 정수 스핀을 가진 입자이고, 보손은 0, 1, 2처럼 정수 스핀을 가진 입자입니다. 입자의 두 가족은 서로 다른 규칙을 따르고 있으며 우리 주변 세계에서 광범위하게 서로 다른 역할을 합니다. 두 과의 핵심적인 차이점은 페르미온이 파울리 배타원리를 따른다는 것입니다. 즉, 동일한 양자수(대략적으로 동일한 위치, 속도 및 스핀 방향)를 갖는 두 개의 동일한 페르미온이 동시에 존재할 수 없다는 것입니다. 페르미온은 페르미-디랙 통계의 규칙을 따릅니다. 대조적으로, 보손은 보즈-아인슈타인 통계의 규칙을 따르고 그러한 제한이 없으므로 동일한 상태에서 "함께 뭉친다"고 할 수 있습니다. 또한 복합 입자는 구성 입자와 다른 스핀을 가질 수 있습니다. 예를 들어 바닥상태에 있는 헬륨-4 원자는 스핀이 0이고, 구성하는 쿼크와 전자가 모두 페르미온인데도 보손처럼 행동합니다.

이는 다음과 같은 중대한 결과를 초래합니다.

고전적으로 물질이라고 알려진 것을 구성하는 쿼크와 렙톤(전자와 중성미자를 포함)은 모두 스핀이 1/2인 페르미온입니다. "물질이 공간을 차지한다"는 일반적인 생각은 실제로 페르미온이 동일한 양자 상태에 있는 것을 막기 위해 이 입자들에 작용하는 파울리 배제 원리에서 비롯됩니다. 더 많은 압축은 전자가 동일한 에너지 상태를 차지하도록 요구할 것이고, 따라서 일종의 압력(때로는 전자의 축퇴 압력으로 알려져 있음)은 페르미온이 지나치게 가까이 있는 것에 저항하도록 작용합니다.
다른 스핀(3/2, 5/2 등)을 가진 기본 페르미온은 존재하지 않는 것으로 알려져 있습니다.
힘을 나르는 것으로 생각되는 기본 입자는 모두 스핀 1을 가진 보손입니다. 여기에는 전자기력을 전달하는 광자, 글루온(강한 힘), W와 Z 보손(약한 힘)이 포함됩니다. 동일한 양자 상태를 차지하는 보손의 능력은 동일한 양자수(동일한 방향과 주파수), 헬륨-4 원자가 보손인 초유체 액체 헬륨, 초전도성을 가진 많은 광자를 정렬시키는 레이저에 사용됩니다. 여기서 전자 쌍(개개는 페르미온)은 단일 합성 보손으로 작용합니다.
다른 스핀(0, 2, 3 등)을 가진 기본 보손은 상당한 이론적 처리를 받았고 각각의 주류 이론 내에서 잘 확립되어 있지만 역사적으로 존재하는 것으로 알려져 있지 않았습니다. 특히 이론가들은 스핀 2를 가진 중력자(일부 양자중력 이론에 의해 존재할 것으로 예측됨)와 스핀 0을 가진 힉스 보손(전기약 대칭 깨짐을 설명함)을 제안했습니다. 2013년부터 스핀 0을 가진 힉스 보손이 존재하는 것으로 여겨졌습니다.^[10] 자연계에 존재하는 것으로 알려진 최초의 스칼라 소립자(스핀 0)입니다.
원자핵은 반정수 또는 정수일 수 있는 핵 스핀을 가지고 있으므로 핵은 페르미온 또는 보손일 수 있습니다.

스핀통계정리

스핀 통계 정리는 입자를 보손과 페르미온의 두 그룹으로 나누는데, 여기서 보손은 보즈-아인슈타인 통계를 따르고, 페르미온은 페르미-디랙 통계(따라서 파울리 배제 원리)를 따릅니다. 구체적으로, 이 이론은 정수 스핀을 가진 입자는 보손인 반면, 다른 모든 입자는 반 정수 스핀을 가지고 있고 페르미온이라고 말합니다. 예를 들어, 전자는 반정수 스핀을 가지고 파울리 배타원리를 따르는 페르미온인 반면, 광자는 정수 스핀을 가지고 있고 그렇지 않습니다. 이 정리는 양자역학과 특수 상대성 이론에 모두 의존하며, 스핀과 통계학 사이의 이러한 연결은 "특수 상대성 이론의 가장 중요한 응용 중 하나"라고 불립니다.^[11]

자기 모멘트

스핀을 가진 입자는 고전 전기역학에서 회전하는 전기로 대전된 물체와 마찬가지로 자기 쌍극자 모멘트를 가질 수 있습니다. 이러한 자기 모멘트는 여러 가지 방법으로 실험적으로 관찰할 수 있습니다. 예를 들어, Stern-Gerlach 실험에서 불균일한 자기장에 의한 입자의 편향 또는 입자 자체에서 생성된 자기장을 측정하여 관찰할 수 있습니다.

전하 $q$ , 질량 $m$ , 스핀 각운동량 $S$ 를 갖는 스핀-1/2 입자의 고유자기모멘트 $μ$ 는^[12],

{\boldsymbol {\mu}}={\frac {g_{\text{s}}q}{2m}\mathbf {S},

여기서 무차원량 $g$ 를_s 스핀 팩터라고 합니다. 오직 궤도 회전의 경우 1이 됩니다(질량과 전하가 같은 반지름의 구를 차지한다고 가정할 때).

전하를 띤 기본 입자인 전자는 0이 아닌 자기 모멘트를 가지고 있습니다. 양자전기역학 이론의 승리 중 하나는 전자 g인자를 정확하게 예측한 것으로, 실험적으로 -2.00231930436256(35) 값을 갖는 것으로 결정되었으며, 괄호 안의 숫자는 하나의 표준 편차에서 마지막 두 자리의 측정 불확실성을 나타냅니다.^[13] 2의 값은 전자의 스핀과 전자의 전자기적 성질을 연결하는 기본 방정식인 디랙 방정식에서 발생하고, -2로부터의 편차는 전자가 자신의 장을 포함한 주변 전자기장과의 상호작용에서 발생합니다.^[14]

복합 입자는 또한 스핀과 관련된 자기 모멘트를 가지고 있습니다. 특히 중성자는 전기적으로 중성임에도 불구하고 0이 아닌 자기 모멘트를 가지고 있습니다. 이 사실은 중성자가 기본 입자가 아니라는 초기의 징후였습니다. 사실, 그것은 전기적으로 대전된 입자인 쿼크로 이루어져 있습니다. 중성자의 자기 모멘트는 개별 쿼크의 스핀과 궤도 운동에서 비롯됩니다.

중성미자는 기본적이고 전기적으로 중성입니다. 0이 아닌 중성미자 질량을 고려한 최소 확장 표준 모델은 다음과 같은 중성미자 자기 모멘트를 예측합니다.^[15]^[16]^[17]

\mu_{\nu}\approx 3\times 10^{-19}\mu_{\text{B}}{\frac {m_{\nu}c^{2}}{\text{eV}}},

$여기$ 서_ν μ는 중성미자 자기 모멘트, $m$ 은_ν 중성미자 질량, $μ$ 는_B 보어 마그네톤입니다. 그러나 전기 약 척도 이상의 새로운 물리학은 중성미자 자기 모멘트를 상당히 높일 수 있습니다. 약 $10μ$ 보다⁻¹⁴_B 큰 중성미자 자기 모멘트는 중성미자 질량에 큰 복사 기여를 초래하기 때문에 "비자연적"이라는 것을 모델 독립적인 방법으로 보여줄 수 있습니다. 중성미자 질량은 기껏해야 약 1eV/c² 정도로 알려져 있기 때문에 방사선 보정을 통해 중성미자 질량에 큰 기여를 하는 것을 방지하려면 미세 조정이 필요합니다.^[18] 중성미자 자기 모멘트의 측정은 활발한 연구 분야입니다. 실험 결과 중성미자 자기모멘트를 전자 자기모멘트의 1.2×10배⁻¹⁰ 미만으로 설정했습니다.

반면에 광자나 Z 보손처럼 스핀은 있지만 전하가 없는 기본 입자는 자기 모멘트가 없습니다.

큐리 온도 및 정렬 손실

일반적인 물질에서는 개별 원자의 자기 쌍극자 모멘트가 서로 상쇄되는 자기장을 생성하는데, 그 이유는 각 쌍극자가 임의의 방향을 가리키며 전체 평균은 0에 가깝기 때문입니다. 그러나 퀴리 온도 이하의 강자성 물질은 원자 쌍극자 모멘트가 국부적으로 자발적으로 정렬되는 자기 영역을 보여주고, 이 영역에서 거시적인 0이 아닌 자기장을 생성합니다. 이것들은 우리 모두에게 익숙한 평범한 "자석"입니다.

상자성 물질에서 개별 원자의 자기 쌍극자 모멘트는 외부에 인가된 자기장과 부분적으로 정렬됩니다. 반면 반자성체에서는 개별 원자의 자기 쌍극자 모멘트가 외부에서 인가되는 자기장과 반대 방향으로 정렬됩니다.

그러한 "스핀 모델"의 행동에 대한 연구는 응축된 물질 물리학에서 번성하는 분야입니다. 예를 들어, 아이싱 모델은 스핀 벡터가 임의의 방향을 가리키도록 허용되는 반면, 아이싱 모델은 위와 아래의 두 가지 가능한 상태만을 갖는 스핀(쌍극자)을 설명합니다. 이 모델들은 많은 흥미로운 특성을 가지고 있으며, 이는 상전이 이론에서 흥미로운 결과로 이어졌습니다.

방향

스핀 사영 양자수와 다중도

고전역학에서 입자의 각운동량은 크기(몸이 얼마나 빠르게 회전하는지)뿐만 아니라 방향(입자의 회전축 위 또는 아래)도 가지고 있습니다. 양자역학적 스핀은 방향에 대한 정보도 포함하고 있지만, 더 미묘한 형태로 되어 있습니다. 양자역학은 임의의 방향을 따라 측정된 스핀-s 입자의 각운동량 성분은 값만을^[19] 취할 수 있다고 말합니다.

S_{i}=\hbar s_{i},\quad s_{i}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},

여기서 $S$ 는_i i번째 축( $x$ , y $또는$ z)에 따른 스핀 성분이고, $s$ 는_i i번째 축에 따른 스핀 프로젝션 양자수이며, $s$ 는 주 스핀 양자수입니다(앞 절에서 설명). 일반적으로 선택한 방향은 $z축입니다$ .

S_{z}=\hbar s_{z},\quad s_{z}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},

여기서 $S$ 는_z $z축$ 을 따른 스핀 성분이고, $s$ 는_z $z축$ 을 따른 스핀 투영 양자수입니다.

$s$ 의_z 값은 $2$ + $1임$ 을 알 수 있습니다. 숫자 " $2s$ + 1"은 스핀계의 다중성입니다. 예를 들어 스핀-1/2 입자에 $대해$ 가능한 값은 s =+ $1$ / $2$ 와 s = -1/2 두 가지뿐입니다. 이들은 스핀 성분이 각각 +z 또는 -z 방향을 가리키는 양자 상태에 해당하며, 흔히 "스핀 업"과 "스핀 다운"이라고 합니다. 델타 중입자와 같은 스핀-3/2 입자의 경우 가능한 값은 +3/2, +1/2, -1/2, -3/2입니다.

벡터

주어진 양자 상태에 대해 각 축을 따른 스핀 ${\textstyle \langle S\rangle =[\langle S_{x}\rangle ,\langle S_{y}\rangle ,\langle S_{z}\rangle ]}$ 성분의 기대 값인 스핀 $벡터$ ⟨ $S$ ⟩ {\ $textstyle$ \lang S\rangle ⟩ }를 생각할 수 있습니다. 즉, ⟨ S ⟩ = [⟨ S x ⟩, ⟨ Sy ⟩, ⟨ Sz lang] {\textstyle \lang S\rangle = [\textle S_{x}\rangle,\lang S_{y}\rangle, $\langle S_{z}\rangle$ ${\textstyle \langle S\rangle =[\langle S_{x}\rangle ,\langle S_{y}\rangle ,\langle S_{z}\rangle ]}$ 그러면 이 벡터는 회전축의 고전적인 개념에 해당하는 스핀이 가리키는 "방향"을 설명합니다. 스핀 벡터는 직접 측정할 수 없기 때문에 실제 양자 역학 계산에서 그다지 유용하지 않은 것으로 밝혀졌습니다. $s x$ , s, $s$ 는_y_z 양자 불확실성 관계 때문에 동시에 확정 값을 가질 수 없습니다. 그러나 스턴-게를라흐 장치를 사용하는 것과 같이 동일한 순수 양자 상태에 놓인 통계적으로 큰 입자 집합의 경우 스핀 벡터는 다음과 같이 명확한 실험적 의미를 갖습니다. 수집품의 모든 입자를 검출할 수 있는 최대 확률(100%)을 달성하기 위해 후속 검출기가 방향을 정해야 하는 일반 공간에서의 방향을 지정합니다. 스핀-1/2 입자의 경우, 스핀 벡터와 검출기 사이의 각도가 180°의 각도, 즉 스핀 벡터와 반대 방향으로 배향된 검출기의 경우, 수집물에서 입자를 검출할 수 있는 예상치가 최소 0%에 도달할 때까지 이 확률은 부드럽게 떨어집니다.

정성적인 개념으로 스핀벡터는 고전적인 그림을 그리기 쉽기 때문에 편리한 경우가 많습니다. 예를 들어, 양자역학적 스핀은 고전적인 자이로스코프 효과와 유사한 현상을 나타낼 수 있습니다. 예를 들어, 전자를 자기장 안에 놓음으로써 전자에 일종의 "토크"를 가할 수 있습니다(장은 전자의 고유 자기 쌍극자 모멘트에 작용합니다. 다음 섹션을 참조하십시오). 그 결과 스핀 벡터는 고전 자이로스코프와 마찬가지로 세차 운동을 하게 됩니다. 이 현상을 전자 스핀 공명(ESR)이라고 합니다. 원자핵에서 양성자의 동등한 행동은 핵자기공명(NMR) 분광법과 영상에 사용됩니다.

수학적으로 양자역학적 스핀 상태는 스피너로 알려진 벡터와 같은 물체로 설명됩니다. 좌표 회전 하에서 스피너와 벡터의 거동 사이에는 미묘한 차이가 있습니다. 예를 들어 스핀-1/2 입자를 360° 회전시키면 같은 양자 상태로 되돌아오는 것이 아니라 반대의 양자상을 갖는 상태로 되돌아갑니다. 이것은 원칙적으로 간섭 실험으로 감지할 수 있습니다. 입자를 정확한 원래 상태로 되돌리려면 720° 회전이 필요합니다. (Plate trick과 Möbius 스트립은 양자가 아닌 유사성을 제공합니다.) 스핀제로 입자는 토크가 가해진 후에도 단일 양자 상태를 가질 수 있습니다. 스핀-2 입자를 180° 회전시키면 동일한 양자 상태로 돌아갈 수 있고, 스핀-4 입자를 90° 회전시켜야 다시 동일한 양자 상태로 돌아갈 수 있습니다. 스핀-2 입자는 180° 회전한 후에도 똑같이 보이는 곧은 막대기와 비슷할 수 있고, 스핀-0 입자는 어떤 각도로 회전한 후에도 똑같이 보이는 구로 상상할 수 있습니다.

수학 공식

교환입니다.

스핀은 궤도 각운동량과 유사한 커뮤테이션 관계를^[20] 따릅니다.

\left[{\hat {S}}_{j}, {\hat {S}}_{k}\right]=i\hbar \varepsilon_{jkl}{\hat {S}_{l}

ε는 레비-시비타 기호입니다.

{\hat {S}}^{2}

{\hat {S}}^{2}

{\

및

{\hat {S}}^{2}

{\hat {S}}_{z}

^ z

{\hat {S}}_{z}

{\

displaystyle

{\

hat {S}_{z}

의 고유 벡터(

{\hat {S}}_{z}

총 Sbasis에서 ket으로 표시됨)는^[2]^{: 166} 다음과 같습니다.

{\begin{aligned}{\hat {S}}^{2} s,m_{s}\rangle &=\hbar ^{2}s(s+1) s,m_{s}\rangle ,\\{\hat {S}}_{z} s,m_{s}\rangle &=\hbar m_{s} s,m_{s}\rangle .\end{aligned}}

이 고유 벡터에 작용하는 스핀 상승 및 하강 연산자는 다음을 제공합니다.

{\hat {S}}_{\pm } s,m_{s}\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m_{s}(m_{s}\pm 1)}} s,m_{s}\pm 1\rangle ,

여기서

{\hat {S}}_{\pm }={\hat {S}}_{x}\pm i{\hat {S}}_{y}

± =

{\hat {S}}_{\pm }={\hat {S}}_{x}\pm i{\hat {S}}_{y}

^

x ± is S ^ y {\displaystyle {\hat {S}_{\pm} = {\hat {S}_{x}\pmi {\hat {S}_{y}}입니다.

그러나 궤도 각운동량과 달리 고유 벡터는 구형 고조파가 아닙니다. $그것들$ 은 θ과 φ의 기능이 아닙니다. $s$ 와 $m$ 의_s 반정수 값을 제외할 이유도 없습니다.

모든 양자역학 입자는 고유 $스핀$ $s$ 을(이 값은 0과 같을 수 있음) 갖습니다. $s$ 임의의 축에서 $s$ ${\displaystyle$ s $}$ 의 투영은 축소된 플랑크 상수 단위로 양자화되므로, 입자의 상태 함수는 ψ = $\psi =\psi (\mathbf {r} )$ ψ(r)가 아니라 ψ = $\psi =\psi (\mathbf {r} ,s_{z})$ ψ(\mathbf {r})}이지만 psi = psi(r, s z) {\displaystyle \psi=\psi (\mathbf {r}, s_{z})}, $s_{z}$ 서 $s_{z}$ ${\$ 는 다음 이산 집합의 값만 취할 $s_{z}$ 수 있습니다.

s_{z}\in \{-s\hbar ,-(s-1)\hbar ,\dots ,+(s-1)\hbar ,+s\hbar \}.

하나는 보손(정수 스핀)과 페르미온(반정수 스핀)을 구별합니다. 상호작용 과정에서 보존되는 총 각운동량은 궤도 각운동량과 스핀의 합입니다.

파울리 행렬

스핀 1/2 관측값과 관련된 양자역학 연산자는

{\hat {\mathbf {S}}}={\frac {\hbar}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}

데카르트 성분이 있는 경우

S_{x}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x},\quad S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y},\quad S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}.

스핀-1/2 입자의 특수한 경우, σ, σ $및$ σ는 다음과 같은 세 가지 파울리 행렬입니다.

{\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\i&0\end{pmatrix},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\0&-1\end{pmatrix}}.

파울리 배타원리

$N개$ 의 동일한 입자로 구성된 시스템의 경우, 이것은 파동함수 $\psi (\mathbf {r} _{1},\sigma _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N},\sigma _{N})$ ψ $(r$ 1, $\psi (\mathbf {r} _{1},\sigma _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N},\sigma _{N})$ σ 1 $\psi (\mathbf {r} _{1},\sigma _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N},\sigma _{N})$ …, r N, σ $N) {\displaystyle \psi(\mathbf$ {r}_ ${1},\sigma_{1},\dots,\mathbf {$ r}_{N},\sigma_{N}}}는 N개의 입자 중 임의의 두 입자가 $상호$ 교환할 때 변경되어야 한다는 파울리 배제 원리와 관련이 있습니다.

\psi(\dots,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\dots) = (-1)^{2s}\psi(\dots,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots _{i},\dots.

따라서 보손의 경우 전인자 $(-1) 2 s$ 는 +1로, 페르미온의 경우 -1로 감소합니다. 양자역학에서 모든 입자는 보손 또는 페르미온입니다. 일부 사변 상대론적 양자장 이론에서는 보손 성분과 페르미온 성분의 선형 조합이 나타나는 "초대칭" 입자도 존재합니다. 2차원에서 전인자 $(-1) 2 s$ 는 임의의 경우와 같이 크기 1의 복소수로 대체될 수 있습니다.

N-입자 상태 함수에 대한 위의 순열 공식은 화학 원소의 주기율표와 같은 일상 생활에서 가장 중요한 결과를 가져옵니다.

회전

위에서 설명한 바와 같이 양자역학은 임의의 방향을 따라 측정된 각운동량의 성분들은 단지 몇 개의 이산 값만을 취할 수 있다고 말합니다. 따라서 입자의 스핀에 대한 가장 편리한 양자역학적 설명은 주어진 축에서 고유 각운동량의 투영 값을 찾는 진폭에 해당하는 복소수 집합과 함께입니다. 예를 들어, 스핀-1/2 입자의 경우 $,$ 우리는 +ħ $/$ 2와 - ħ/2와 같은 각운동량의 투영으로 발견되는 진폭을 제공하는 두 개의 $숫자$ a가 필요하며, 조건을 만족합니다.

a_{+1/2} ^{2}+ a_{-1/2} ^{2}=1.

$스핀$ 을 가진 일반적인 입자의 경우, 우리는 $2s$ + $1개$ 의 그러한 매개변수가 필요합니다. 이 숫자들은 축의 선택에 따라 달라지기 때문에 이 축을 회전시키면 서로 사소하게 변형되지 않습니다. 변환 법칙은 선형이어야 하므로 각 회전에 행렬을 연관시켜 나타낼 수 있으며 회전 A와 B에 해당하는 두 변환 행렬의 곱은 회전 AB를 나타내는 행렬과 동일해야 합니다(위상까지). 또한 회전은 양자역학 내부 산물을 보존하며, 우리의 변환 행렬도 다음과 같습니다.

\sum _{m=-j}^{j}a_{m}^{*}b_{m}=\sum _{m=-j}^{j}\left(\sum _{n=-j}^{j}U_{nm}a_{n}\right)^{*}\left(\sum _{k=-j}^{j}U_{km}b_{k}\right),

\sum_{n=-j}^{j}\sum_{k=-j}^{j}U_{np}^{*}U_{kq}=\delta _{pq}.

수학적으로 말하면, 이 행렬들은 회전 그룹 SO(3)의 단일 투영 표현을 제공합니다. 각각의 이러한 표현은 SO(3)의 커버링 그룹의 표현, 즉 SU(2)에 해당합니다.^[21] 홀수 $n$ 에 대해서는 n차원 실수이고 $짝수$ $n$ (실수 2n)에 대해서는 n차원 복소이지만, 각 차원에 대해서는 n차원 축소 불가능한 SU(2) 표현이 하나 있습니다. 정규 ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ θ ^ {\textstyle {\hat {\boldsymbol {\theta}}}을 갖는 평면에서의 각도 θ에 의한 회전의 경우,

U=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {S} },

여기서 θ =

{\textstyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}

θ θ ^

{\textstyle {\boldsymbol

{\theta }}=\theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}이고, S는 스핀 연산자의 벡터입니다.

증명

θ ${\textstyle {\hat {\theta }}={\hat {z}}}$ = $z$ ^ {\ $textstyle$ {\theta}} = {\hat {z}}인 좌표계에서 우리는 $S$ 와 S가 각도 θ에 의해 서로 회전한다는 것을 보여주고 싶습니다. $S$ 부터_x. ħ = 1인 장치 사용:

{\begin{aligned}S_{x}\rightarrow U^{\dagger }S_{x}U&=e^{i\theta S_{z}}S_{x}e^{-i\theta S_{z}}\\&=S_{x}+(i\theta )\left[S_{z},S_{x}\right]+\left({\frac {1}{2!}}\right)(i\theta )^{2}\left[S_{z},\left[S_{z},S_{x}\right]\right]+\left({\frac {1}{3!}}\right)(i\theta )^{3}\left[S_{z},\left[S_{z},S_{x}\right]\right]+\cdots \end{aligned}

스핀 연산자 절단 관계를 사용하여, 우리는 변환자들이 급수의 홀수 항들에 $대해서$ 는_y IS로, 모든 짝수 항들에 $대해서$ 는_x S로 평가한다는 것을 알 수 있습니다. 따라서:

{\begin{aligned}U^{\dagger }S_{x}U&=S_{x}\left[1-{\frac {\theta ^{2}}{2!}}+\cdots \right]-S_{y}\left[\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}\cdots \right]\\&=S_{x}\cos \theta -S_{y}\sin \theta,\end{aligned}

역시 우리는 스핀 연산자 교환 관계에만 의존했기 때문에, 이 증명은 어떤 차원(즉, 어떤 주 스핀

양자수

에 대해서도)에서도 성립합니다.^[22]^{: 164}

3차원 공간에서의 일반적인 회전은 오일러 각도를 사용하여 이러한 유형의 연산자를 합성함으로써 구축할 수 있습니다.

{\mathcal {R}}(\alpha,\beta,\gamma)=e^{-i\alpha S_{x}}e^{-i\beta S_{y}}e^{-i\gamma S_{z}

위그너 D-매트릭스는 이 연산자 그룹의 축소할 수 없는 표현을 제공합니다.

D_{m'm}^{s}(\alpha,\beta,\gamma)\equiv \mathcal {R}}(\alpha,\beta,\gamma) sm\rangle =e^{-im'\alpha }d_{m'm}^{s}(\beta)e^{-im\gamma

어디에

d_{m'm}^{s}(\beta)=\langle sm' e^{-i\beta s_{y}sm\rangle

위그너의 작은 d-행렬입니다. γ =

2

π 및 α = β = 0, 즉 z 축을 중심으로 한 완전 회전의 경우, 위그너 D 행렬 원소는

D_{m'm}^{s}(0,0,2\pi )=d_{m'm}^{s}(0)e^{-im2\pi }=\delta _{m'm}(-1)^{2m}.

일반적인 스핀 상태는 정 $m$ 을 갖는 상태들의 중첩으로 기록될 수 있음을 상기시켜 보면, $s$ 가 정수이면 $m$ 의 값은 모두 정수이며, 이 행렬은 항등식 연산자에 대응한다는 것을 알 수 있습니다. $그러나$ s가 반 integer이면 m의 값도 모두 반 integers이므로 모든 m에 대해 (- $1$ ) = -1을 제공하므로 2 π 회전하면 상태가 마이너스 부호를 나타냅니다. 이 사실은 스핀-통계 정리의 증명의 중요한 요소입니다.

로런츠 변환

우리는 일반적인 로렌츠 변환에서 스핀의 거동을 결정하기 위해 동일한 접근법을 시도할 수 있지만, 우리는 즉시 큰 장애물을 발견할 것입니다. SO(3)와 달리 로렌츠 변환의 그룹 SO(3,1)는 비압축적이므로 충실한 단일 유한 차원 표현이 없습니다.

스핀-1/2 입자의 경우 유한 차원 표현과 이 표현에 의해 보존되는 스칼라 곱을 모두 포함하는 구성을 찾을 수 있습니다. 우리는 각 입자에 4성분 디랙 $스피너$ ψ를 연관시킵니다. 이 스피너들은 법칙에 따라 로런츠 변환 하에서 변환됩니다.

\psi '=\exp {\left ({\tfrac {1}{8}}\omega_{\mu \nu}[\gamma _{\mu}}\gamma _{\nu}]\right)}\psi,

여기서 γ는 감마

행렬

이고 ω는 변환을 매개변수화하는 반대칭 4 × 4 행렬입니다. 스칼라 곱은

\lang \psi \phi \rangle ={\bar {\psi }}\phi =\psi ^{\dagger }\gamma _{0}\phi

보존됩니다. 그러나 긍정적인 것은 아니므로 표현이 통일적이지 않습니다.

$x$ , y $또는$ z 축에 따른 스핀 측정

스핀-1/2 입자의 각각의 (헤르미트) 파울리 행렬은 +1과 -1이라는 두 개의 고유값을 갖습니다. 대응하는 정규화된 고유 벡터는

{\begin{array}{lclc}\psi _{x+}=\left {\frac {1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\{1}\end{pmatrix}},&\psi _{x-}=\left {\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}\sqrt {2}}\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\{-1}\end{pmatrix}},\\\psi _{y+}=\left {\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}}\\sqrt {2}}\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix}},&\psi _{y-}=\left {\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}},\\\psi _{z+}=\left {\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},&\psi _{z-}=\left {\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.\end{array}}

(상수를 곱한 모든 고유 벡터는 여전히 고유 벡터이므로 전체 부호에 대한 모호성이 있습니다. 이 글에서는 부호 모호성이 있는 경우 첫 번째 요소를 가상적이고 부정적으로 만들기 위해 관례를 선택합니다. SymPy와 같은 소프트웨어는 현재의 규칙을 사용합니다. 반면 Sakurai나 Griffiths와 같은 많은 물리학 교과서는 실제적이고 긍정적인 것을 선호합니다.)

양자역학의 가정에 의해, $x$ , y $또는$ z 축에서 전자 스핀을 측정하도록 설계된 실험은 해당 축에서 해당 스핀 연산자( $S$ , $S$ $또는$ S)의 고유 값, 즉ħ $/ 2$ 또는 – ħ/2만 산출할 수 있습니다. 입자의 양자 상태는 (스핀과 관련하여) 2성분 스피너로 나타낼 수 있습니다.

{\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}a+bi\\c+di\end{pmatrix}}.

주어진 축( $이$ 예에서 x축)에 대해 이 입자의 스핀을 측정하면 스핀이ħ/2로 측정될 ${\big |}\langle \psi _{x+}|\psi \rangle {\big |}^{2}$ 은 ${\big |}\langle \psi _{x+}|\psi \rangle {\big |}^{2}$ ⟨ ψ x + ψ ⟩ 2 {\displaystyle {\big}\langle \psi _{x+} \psi \rangle {\big }^{2}에 불과합니다. 이에 상응하여, 스핀이 ${\big |}\langle \psi _{x-}|\psi \rangle {\big |}^{2}$ ħ/2로 측정될 확률은 ⟨ ψ x - ψ ⟩ 2 {\displaystyle {\big}\langle \psi _{x-} \psi \langle {\big}^{2}}입니다 ${\big |}\langle \psi _{x-}|\psi \rangle {\big |}^{2}$ 측정 후 입자의 스핀 상태는 해당 고유 상태로 붕괴됩니다. 그 결과 주어진 축을 따라 입자의 스핀이 주어진 고유값을 갖는 것으로 측정된 경우, 모든 측정에서 동일한 고유값이 산출됩니다(⟨ ψ ${\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{x+}\rangle {\big |}^{2}=1$ + ψ x + ⟩ 2 = 1 ${\$ displaystyle {\big}\lang \psi _{x+} \psi _{x+}\랑글 {\big}^{2}=1} 등). 다른 축을 따라 스핀을 측정하지 않는 경우.

임의의 축에 따른 스핀 측정

임의의 축 방향을 따라 스핀을 측정하는 연산자는 파울리 스핀 행렬로부터 쉽게 구할 수 있습니다. $u$ = ( $u$ , $u,$ u $)$ 를 임의의 단위 벡터라고 하자. 그러면 이 방향의 스핀에 대한 연산자는 간단히

S_{u}={\frac {\hbar }{2}}(u_{x}\sigma _{x}+u_{y}\sigma _{y}+u_{z}\sigma _{z}).

연산자 $S$ 는 일반적인 스핀 행렬과 마찬가지로±ħ/2의 고유값을 갖습니다. 임의의 방향에서 스핀에 대한 연산자를 찾는 이 방법은 더 높은 스핀 상태로 일반화되며, 3개의 $x$ , $y$ , z축 방향에 대한 3개의 연산자 벡터와 함께 방향의 점곱을 취합니다.

$(u x,$ $u y,$ $u z)$ 방향의 스핀-1/2에 대한 정규화된 스피너(스핀 다운을 제외한 모든 스핀 상태에서 작동하며, 0/0을 제공합니다)는 다음과 같습니다.

{\frac {1}{\sqrt {2+2u_{z}}}}{\begin{pmatrix}1+u_{z}\\u_{x}+iu_{y}\end{pmatrix}}.

위 스피너는 σ 행렬을 대각화하여 고유값에 해당하는 고유 상태를 찾는 일반적인 방법으로 얻어집니다. 양자역학에서 벡터는 정규화 인자를 곱할 때 "정규화"라고 하며, 그 결과 벡터는 통일 길이를 갖습니다.

스핀 측정의 적합성

Pauli 행렬은 통근하지 않기 때문에 서로 다른 축을 따라 스핀을 측정하는 것은 양립할 수 없습니다. 이것은 예를 들어 $x축$ 을 따라 스핀을 알고 y축을 $따라$ 스핀을 측정하면 $x축$ 스핀에 대한 이전의 지식을 무효화한다는 것을 의미합니다. 이것은 다음과 같은 파울리 행렬의 고유 벡터(즉, 고유 상태)의 성질로부터 알 수 있습니다.

{\displaystyle {\big }\lang \psi _{x\pm } \psi _{y\pm }\랑글 {\big }^{2}={\big }\lang \psi _{x\pm } \psi _{z\pm }\랑글 {\big }^{2}={\big }\lang \psi _{y\pm } \psi _{z\pm }\랑글 {\big }^{2}={\tfrac {1}{2}}.

그래서 물리학자들이 $x축$ 에 따른 입자의 스핀을 예를 들어ħ/2로 측정하면 입자의 스핀 상태는 $|\psi _{x+}\rangle$ ψ x + ⟩ {\displaystyle $|\psi _{x+}\rangle$ \psi_{x+}\rangle}로 붕괴됩니다. 그 다음에 우리가 y축에 따른 $입자$ 의 스핀을 측정하면, 이제 스핀 상태는 확률이 1/2인 $|\psi _{y+}\rangle$ psi $|\psi _{y+}\rangle$ $y$ + $|\psi _{y-}\rangle$ ⟩ {\ $displaystyle$ \ψ _{y+}\rangle } 또는 psi y - ⟩ {\displaystyle \ψ _{y-}\rangle }로 붕괴됩니다. 예를 들어 -ħ/2를 측정한다고 가정해 보겠습니다. $이제$ 다시 x축을 따라 입자의 스핀을 측정하기 위해 돌아오면, 우리가ħ $/$ 2 또는 - ħ/2를 측정할 확률은 각각 1/2입니다. ⟨ ψ $x$ + ψ y - ⟩ 2 {\displaystyle {\big }\lang \psi _{x+} \psi _{y-}\랑글 {\big }^{2}} 및 ⟨ ψ x - ψ y - ⟩ 2 {\displaystyle {\big }\lang _{x-} \psi _{y-}\랑글 {\big }^{2}}입니다. 이것은 $x$ 축을 따른 스핀이 이제 동일한 확률로 고유값을 갖는 것으로 측정되기 때문에 x 축을 따른 스핀의 원래 측정이 더 이상 유효하지 않음을 의미합니다.

고회전

스핀-1/2 연산자 $S$ =ħ/2 σ는 SU(2)의 기본 표현을 형성합니다. 이 표현의 크로네커 곱을 반복적으로 자기 자신과 취함으로써 모든 더 높은 축소 불가능한 표현을 구성할 수 있습니다. 즉, 3개의 공간 차원에서 더 높은 스핀 시스템에 대한 결과 스핀 연산자는 이 스핀 연산자와 사다리 연산자를 사용하여 $임의$ 로 큰 것에 대해 계산할 수 있습니다. 예를 들어, 두 개의 스핀-1/2의 크로네커 곱을 취하면 4차원 표현이 생성되며, 이는 3차원 스핀-1(삼중항 상태)과 1차원 스핀-0 표현(단항 상태)으로 분리할 수 있습니다.

결과적으로 환원 불가능한 표현은 z-베이스에서 다음과 같은 스핀 행렬과 고유값을 산출합니다.

스핀 1의 경우 그들은 ${\begin{aligned}S_{x}&={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\left 1,+1\right\rangle _{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1\\{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}},&\left 1,0\right\rangle _{x}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}},&\left 1,-1\right\rangle _{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1\\{-{\sqrt {2}}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{y}&={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\left 1,+1\right\rangle _{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-1\\-i{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}},&\left 1,0\right\rangle _{y}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},&\left 1,-1\right\rangle _{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-1\\i{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{z}&=\hbar {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}},&\left 1,+1\right\rangle _{z}&={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},&\left 1,0\right\rangle _{z}&={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},&\left 1,-1\right\rangle _{z}&={\begin{pmatrix}0\\0\1\end{pmatrix}}\\\end{aligned}$
스핀 3/2의 경우, ${\begin{array}{lclc}S_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left {\frac {3}{2}},{\frac {+3}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\{\sqrt {3}}\\{\sqrt {3}}\\1\end{pmatrix}},\!\!\!&\left {\frac {3}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{-{\sqrt {3}}}\\-1\\1\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left {\frac {3}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}\\-1\\-1\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left {\frac {3}{2}},{\frac {-3}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}-1\\{\sqrt {3}}\\{-{\sqrt {3}}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left {\frac {3}{2}},{\frac {+3}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{i}\\{-{\sqrt {3}}}\\{-i{\sqrt {3}}}\\1\end{pmatrix}},\!\!\!&\left {\frac {3}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{-i{\sqrt {3}}}\\1\\{-i}\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left {\frac {3}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{i{\sqrt {3}}}\\1\\{i}\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left {\frac {3}{2}},{\frac {-3}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{-i}\\{-{\sqrt {3}}}\\{i{\sqrt {3}}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}},\!\!\!&\left {\frac {3}{2}},{\frac {+3}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left {\frac {3}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left {\frac {3}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left {\frac {3}{2}},{\frac {-3}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\\\end{array}}$
스핀 5/2의 경우, ${\begin{aligned}{\boldsymbol {S}}_{x}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\{\sqrt {5}}&0&2{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2{\sqrt {2}}&0&3&0&0\\0&0&3&0&2{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {S}}_{y}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\i{\sqrt {5}}&0&-2i{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2i{\sqrt {2}}&0&-3i&0&0\\0&0&3i&0&-2i{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2i{\sqrt {2}}&0&-i{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&i{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {S}}_{z}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}5&0&0&0&0&0\\0&3&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-3&0\\0&0&0&0&0&-5\end{pmatrix}}.\end{align}}$
$임의$ 의 스핀에 대한 이 행렬들의 일반화는 ${\begin{aligned}\left(S_{x}\right)_{ab}&={\frac {\hbar }{2}}\left(\delta _{a,b+1}+\delta _{a+1,b}\right){\sqrt {(s+1)(a+b-1)-ab}},\\\left(S_{y}\right)_{ab}&={\frac {i\hbar }{2}}\left(\delta _{a,b+1}-\delta _{a+1,b}\right){\sqrt {(s+1)(a+b-1)-ab}},\\\left(S_{z}\right)_{ab}&=\hbar (s+1-a)\delta _{a,b}=\hbar (s+1-b)\delta _{a,b},\end{align}}$ 여기서 $인덱스$ $a,$ b $a,b$ 는 $a,b$ 다음과 같은 정수입니다. $1\leq a\leq 2s+1,\quad 1\leq b\leq 2s+1.$

다중 입자 시스템의 양자역학에서도 유용한 일반적인 파울리 그룹 $G$ 는_n 파울리 행렬의 모든 n배 텐서 곱으로 구성된 것으로 정의됩니다.

파울리 행렬의 관점에서 오일러 공식의 아날로그 공식

{\hat {R}}(\theta, {\hat {\mathbf {n}})=e^{i\frac {\theta}{2}{\hat {\mathbf {n}}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}=I\cos {\frac {\theta }{2}}+i\left({\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)\sin {\frac {\theta }{2}}

더 높은 스핀을 위해서는 다루기 쉽지만 간단하지 않습니다.^[23]

패리티

핵 또는 입자의 스핀 양자수 $표$ 에서 스핀은 종종 "+" 또는 "-" 뒤에 붙습니다. 이는 짝수 패리티(공간 반전에 의해 변하지 않는 파동함수)의 경우 "+", 홀수 패리티(공간 반전에 의해 음의 파동함수)의 경우 "-"인 패리티를 말합니다. 예를 들어, 비스무트의 동위원소를 참조하십시오. 여기서 동위원소 목록에는 컬럼 핵 스핀과 패리티가 포함됩니다. 가장 수명이 긴 동위 원소인 Bi-209의 경우, 엔트리 9/2 –는 핵 스핀이 9/2이고 패리티가 홀수임을 의미합니다.

적용들

스핀은 중요한 이론적 함의와 실제적인 응용을 가지고 있습니다. 스핀의 직접적인 응용 분야는 다음과 같습니다.

화학에서의 핵자기 공명(NMR) 분광법
화학 및 물리학에서의 전자 스핀 공명(ESR 또는 EPR) 분광법
프로톤 스핀 밀도에 의존하는 응용 NMR의 한 종류인 의학에서의 자기 공명 영상(MRI)
현대 하드 디스크의 거대 자기 저항(GMR) 드라이브 헤드 기술입니다.

전자 스핀은 예를 들어 컴퓨터 메모리에 응용되는 자성에서 중요한 역할을 합니다. 무선 주파수파(핵자기공명)에 의한 핵스핀의 조작은 화학분광학과 의료영상학에서 중요합니다.

스핀-궤도 결합은 원자 시계와 두 번째의 현대적 정의에 사용되는 원자 스펙트럼의 미세한 구조로 이어집니다. 전자의 g인자에 대한 정밀한 측정은 양자전기역학의 개발과 검증에 중요한 역할을 했습니다. 광자 스핀은 빛의 편광(광자 편광)과 관련이 있습니다.

스핀의 새로운 응용 분야는 스핀 트랜지스터의 이진 정보 캐리어입니다. 1990년에 제안된 최초의 개념은 Data–Das 스핀 트랜지스터로 알려져 있습니다.^[24] 스핀 트랜지스터를 기반으로 한 전자 제품을 스핀트로닉스라고 합니다. 금속이 도핑된 ZnO 또는₂ TiO와 같은 묽은 자성 반도체 물질에서 스핀을 조작하는 것은 더 높은 자유도를 부여하고 더 효율적인 전자 제품의 제조를 촉진할 가능성이 있습니다.^[25]

화학의 주기율표를 시작으로 스핀과 관련된 파울리 배제 원리의 간접적인 적용과 발현이 많이 있습니다.

역사

스핀은 알칼리 금속의 방출 스펙트럼의 맥락에서 처음 발견되었습니다. 1924년에 볼프강 파울리는 가장 바깥 전자껍질에 있는 전자와 관련된 소위 "고전적으로 설명할 수 없는 두 가치"^[26]를 소개했습니다. 이를 통해 그는 파울리 배타원리를 공식화할 수 있었고, 두 개의 전자는 같은 양자계에서 같은 양자 상태를 가질 수 없다고 말했습니다.

파울리의 '자유의 정도'에 대한 물리적 해석은 처음에는 알려지지 않았습니다. 랜데의 조수 중 한 명인 랄프 크로니그는 1925년 초에 전자의 자기 회전에 의해 생성된다고 제안했습니다. 파울리는 이 아이디어를 듣고 전자가 필요한 각운동량을 낼 수 있을 정도로 빠르게 회전하려면 전자의 가상 표면이 빛의 속도보다 더 빠르게 움직여야 할 것이라고 말하며 심하게 비판했습니다. 이것은 상대성 이론에 위배됩니다. 주로 파울리의 비판 때문에 크로니그는 자신의 생각을 출판하지 않기로 결정했습니다.^[27]

1925년 가을, 네덜란드의 물리학자 George Uhlenbeck와 Samuel Goudsmit가 Leiden University에서 같은 생각을 했습니다. 폴 에렌페스트(Paul Ehrenfest)의 조언 아래, 그들은 그들의 결과를 발표했습니다.^[28] 특히 Lewellyn Thomas가 실험 결과와 Uhlenbeck 및 Goudsmit의 계산(그리고 Kronig의 미공개 결과) 사이의 2배의 불일치를 해결한 후에 좋은 반응을 얻었습니다. 이 불일치는 전자의 접선 프레임의 위치와 더불어 방향에 기인했습니다.

수학적으로 말하면 섬유 다발 설명이 필요합니다. 접다발 효과는 가산적이고 상대론적입니다. 즉, $c$ 가 무한대로 가면 사라집니다. 접선 공간 방향을 고려하지 않고 얻은 값의 절반이지만 부호가 반대입니다. 따라서 결합된 효과는 후자와 요인 2(1914년 루드윅 실버스타인에게 알려진 토마스 세차)에 의해 다릅니다.

그의 초기 반대에도 불구하고, 파울리는 1927년에 슈뢰딩거와 하이젠베르크가 발명한 현대 양자역학 이론을 사용하여 스핀 이론을 공식화했습니다. 그는 스핀 연산자의 대표로서 파울리 행렬의 사용을 개척하고 2성분 스피너 파동함수를 도입했습니다. 울렌벡과 Goudsmit는 스핀을 고전적 회전에서 발생하는 것으로 취급한 반면, Pauli는 스핀이 비고전적이고 본질적인 속성이라고 강조했습니다.^[29]

파울리의 스핀 이론은 상대론적이지 않았습니다. 그러나 1928년 폴 디랙은 상대론적 전자를 설명하는 디랙 방정식을 발표했습니다. 디랙 방정식에서 전자파 함수에는 4성분 스피너("디랙 스피너"로 알려져 있음)가 사용되었습니다. 상대론적 스핀은 1914년 새뮤얼 잭슨 바넷에 의해 처음으로 관측된 (후향적으로) 자이자기 이상 현상을 설명했습니다 (아인슈타인–드 하스 효과 참조). 1940년 파울리는 페르미온은 반정수 스핀을, 보손은 정수 스핀을 갖는다는 스핀 통계 정리를 증명했습니다.

돌이켜보면, 전자 스핀의 최초의 직접적인 실험적 증거는 1922년의 슈테른-게를라흐 실험이었습니다. 그러나 이 실험에 대한 정확한 설명은 1927년에야 이루어졌습니다.^[30]

참고 항목

참고문헌

^ Merzbacher, Eugen (1998). Quantum Mechanics (3rd ed.). John Wiley & Sons. pp. 372–373. ISBN 978-0-471-88702-7.
^ ^a ^b ^c ^d Griffiths, David (2005). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.).
^ ^a ^b ^c ^d Ohanian, Hans C. (1986-06-01). "What is spin?" (PDF). American Journal of Physics. 54 (6): 500–505. Bibcode:1986AmJPh..54..500O. doi:10.1119/1.14580. ISSN 0002-9505.
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v t 양자역학
배경	서론 역사 타임라인 고전역학 구양자론 용어집
펀더멘털	모태규칙 브라켓 표기법 상보성 밀도행렬 에너지 준위 지반상태 들뜬 상태 퇴화 수준 영점 에너지 얽힘 해밀토니안 방해다 디코히어런스 측정. 비국소성 양자 상태 중첩 터널링 산란설 양자역학에서의 대칭성 불확실성 파동함수 쓰러짐 파동-입자 이중성
제형	제형 하이젠베르크 상호작용 행렬역학 슈뢰딩거 경로적분공식 위상공간
방정식	디랙 클라인고든 파울리 뤼드베르크 슈뢰딩거
해석	베이지안 일관 이력 코펜하겐 드브로이-봄 앙상블 숨은 변수 현지의 초결정론 다세계 대물붕괴 양자논리학 관계형 거래적 폰 노이만-비그너
실험	벨 테스트 다비송-독일 지연선택 양자지우개 더블슬릿 프랭크-헤르츠 마하-젠더 간섭계 Elitzur–Vaidman 포퍼 양자지우개 슈테른-게를라흐 휠러의 지연된 선택
과학	양자생물학 양자화학 양자 혼돈 양자우주론 양자미분학 양자역학 양자기하학 양자계측문제 양자마인드 양자 확률 미적분학 양자 시공간
기술	양자 알고리즘 양자증폭기 양자 버스 양자 세포 오토마타 양자 유한 오토마타 양자 채널 양자 회로 양자복잡성이론 양자전산 타임라인 양자암호학 양자전자학 양자오류보정 양자영상 양자영상처리 양자정보 양자키분포 양자논리학 양자 논리 게이트 양자기계 양자기계학습 양자 메타물질 양자계량학 양자망 양자신경망 양자광학 양자 프로그래밍 양자감지 양자 시뮬레이터 양자 순간이동
확장	양자 변동 카시미르 효과 양자통계역학 양자장이론 역사 양자중력 상대론적 양자역학
관련된	슈뢰딩거의 고양이 대중문화에 있어서 위그너의 친구 EPR 역설 양자 신비주의
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