디랙 방정식

입자물리학에서 디락 방정식은 1928년 영국의 물리학자 폴 디락이 도출한 상대론적 파동 방정식이다.자유 형태 또는 전자기 상호작용을 포함하여 패리티가 대칭인 전자 및 쿼크와 같은 모든 스핀-1⁄2 질량 입자를 기술합니다.그것은 양자역학의 원리와 특수상대성이론 ^[1]둘 다와 일치하며, 양자역학의 맥락에서 특수상대성이론을 완전히 설명한 최초의 이론이었다.완전히 엄격한 방법으로 수소 스펙트럼의 미세한 세부사항을 설명함으로써 검증되었다.

이 방정식은 또한 이전에는 예상하지 못했던 새로운 형태의 물질인 반물질의 존재를 암시했고, 몇 년 후 실험적으로 확인되었다.그것은 또한 파울리의 스핀 현상학 이론에서 몇 가지 성분 파동 함수의 도입에 대한 이론적 근거를 제공했다.디락 이론에서 파동 함수는 4개의 복소수 벡터(비스피너로 알려져 있음)이며, 그 중 2개는 하나의 복소수 값의 파동 함수를 기술한 슈뢰딩거 방정식과 대조적으로 비상대론적 한계에서 파울리 파동 함수와 유사합니다.게다가 0질량의 한계에서 디락 방정식은 와일 방정식으로 환원된다.

디락은 처음에는 그의 결과의 중요성을 완전히 인식하지 못했지만, 양자 역학과 상대성 이론의 결합의 결과인 스핀의 설명과 양전자의 궁극적인 발견은 이론 물리학의 위대한 승리 중 하나를 나타낸다.이 업적은 ^[2]뉴턴, 맥스웰, 아인슈타인의 업적과 완전히 동등하다고 묘사되어 왔다.양자장 이론의 맥락에서 디락 방정식을 재해석하여 스핀-1⁄2 입자에 대응하는 양자장을 기술한다.

디락 방정식은 1995년 ^[3]11월 13일 공개된 폴 디락의 삶을 기념하는 명판에 웨스트민스터 사원 바닥에 나타난다.

수학 공식화

Dirac 방정식은 현대에 따른 필드 이론 공식에서 평탄한 시공간(민코프스키 공간 $)$ $\mathbb {R} ^{1,3}$ 에 정의된 $(\$ $mathbb {C$ $}$ $^{4$ $\mathbb {C} ^{4}$ 로 구체적으로 기술된 복소 벡터 공간에서의 값을 취하는 Dirac 스피너 필드 $\psi$ (\ $displaystyle$ $\$ $psi$ })의 $\psi$ 관점에서 작성됩니다. $3$ 감마 매트릭스 및 질량으로 $m>0$ 해석되는 $m>0$ $>$ 0 { $displaystyle$ m > $0$ } 및 기타 물리 상수도 포함되어 있습니다.

필드 $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {C} ^{4}$ : $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {C} ^{4}$ , 3 $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {C} ^{4}$ $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {C} ^{4}$ (\ $displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{1$ ,3 $}\rightarrow$ \ $mathbb {C} ^{4$ 에서 디락 방정식은 다음과 같다.

디랙 방정식

$\displaystyle i\hbar \mu ^{\mu }\psi(x)-mc\psi(x)=0}$

자연 단위에서는 파인만의 슬래시 표기법으로

디랙 방정식(자연 단위)

$\displaystyle(i\displaystyle\!)\!/-m)\psi(x)=0}$

$감마$ 행렬은 정의 반소환 관계를 만족시키는 4개의 $4\times 4$ ${\text{Mat}}_{4\times 4}(\mathbb {C} )$ $(\displaystyle$ 4 ${\text{Mat}}_{4\times 4}(\mathbb {C} )$ $times$ 4 $)$ 복소 $4\times 4$ 행렬(\ ${\text{Mat}}_{4\times 4}(\mathbb {C} )$ { $Mat}$ _{ $4\times$ 4 $}(\mathbb {C$ ${\text{Mat}}_{4\times 4}(\mathbb {C} )$ 이다.

\displaystyle \{\mu },\display ^{\nu }\}=2\eta ^{\mu \nu }}

이러한 행렬은 표현의 선택 하에 명시적으로 실현될 수 있다.Dirac 표현은 일반적으로 두 가지 선택지가 있습니다.

\displaystyle \displays ^{0}=displays {pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix},\quad\pad ^{i}=pmatrix{i}0&\pad ^{i}\-\pmatrix},

여기서

\sigma ^{i}

i \

displaystyle

\

display

style

^

{

\sigma ^{i}

i

}는

\sigma ^{i}

\gamma ^{i}

Pauli 매트릭스이며 키랄 표현은 같습니다.

\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.

\gamma ^{i}

0

\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.

(

\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.

\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.

\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.

I

\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.

)

\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.

。{

displaystyle

\ displaystyle

^

{ 0 } =

display

{ pmatrix

\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.

} 0 &

I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}.

}

슬래시 표기법은 다음 용도의 콤팩트 표기법입니다.

A스타일을 표시합니다.\!/:=\mu^{\mu}A_{\mu }}}

여기

서 A

(\displaystyle

A

)

는

A

4벡터입니다(종종 4벡터 차분 연산자

(\

(\displaystyle\mu)

에

\mu

대한 합계가 암시됩니다.

Dirac 인접 및 인접 방정식

$\psi (x)$ $\psi (x)$ $\psi (x)$ ( x $){displaystyle \psi (x)}$ 의 $\psi (x)$ Dirac 인접은 다음과 같이 정의됩니다.

{{psi }}(x)=\psi(x)^{\display ^{0}

감마 매트릭스 특성 사용(

\gamma ^{\mu }

μ

(\displaystyle

\

gamma

^{\

mu

의 허미시티 특성에서 직접 추종)

\displaystyle (\displaystyle ^{\mu })^{\display }=\display ^{0}\display ^{0}

인접 Dirac 방정식은 Dirac 방정식의 에르미트 켤레를 취하여 오른쪽에서

\gamma ^{0}

0

(\displaystyle

\

gamma ^{0

을 곱함으로써 도출할 수 있다.

{\psi }}(x)(-i\display ^{\mu }\display _{\mu }-m)=0

{\bar {\psi }}(x)

서 부분 도함수가 오른쪽에서 작용합니다

{\bar {\psi }}(x)

(

{\bar {\psi }}(x)

) {

displaystyle

{

bar {psi }}}(x

: 도함수의 왼쪽 동작에 대해 통상적인 방법으로 작성됩니다.

-i\mu } {\mu } {\mu } = 0.

클라인-고든 방정식

i $i\partial \!\!\!/+m$ / $i\partial \!\!\!/+m$ + $i\partial \!\!\!/+m$ < $display$ i \ $partial$ \ ! $i\partial \!\!\!/+m$ >를 $i\partial \!\!\!/+m$ 합니다. $\!/+m}$ 의 $i\partial \!\!\!/+m$ 디랙 방정식은 다음과 같다.

\displaystyle (\displaystyle _{\mu }+m^{2}\psi(x)=0).}

즉, 디랙 스피너 필드의 각 성분은 클라인-고든 방정식을 만족합니다.

보존 전류

그 이론의 보존된 흐름은

J^{\mu } = bar {psi } ^{\mu } \psi .

디랙 방정식의 보존 증명

Dirac 방정식과 인접 Dirac 방정식을 추가하면

i(\mu }{\bar {\psi }}\display ^{\mu }}\display ^{\mu }\display ^{\mu }\psi = 0

법칙에 따라

i}({\}}\}{\displaystyle i\mu }({\bar {psi }}}\mu = 0)

이 표현을 도출하기 위한 또 다른 접근법은 Noether의 정리를 ${\text{U}}(1)$ 에 적용하는 변형 방법을 사용하는 것입니다. ${\text{U}}(1)$ ( $1$ ) \ display style $\$ $text$ { $U}}(1)$ 대칭을 ${\text{U}}(1)$ 통해 보존 $J^{\mu }.$ $J^{\mu }.$ . $J^{\mu }.$ {\ $displaystyle$ J $^{\mu }$ 를 도출합니다.

노에테르 정리의 보존 증명

라그랑지안은

({displaystyle {L}}={psi }}(i\mu ^{\mu }\mu _{\mu }-m)\psi .}

U

U(1)

(

U(1)

) {

display

U (1

) }

which which which 。

(\displaystyle\displaystyle\psi\mapsto e^{i\alpha}\psi,\bar e^{-i\alpha},\end {aligned})

라그랑지안은 변함이 없다는 것을 알 수 있다.

변동 $(\displaystyle\alpha)$ 가 $\alpha$ 미량인 것을 고려하여 α $(\displaystyle\alpha)$ 로 $\alpha$ 첫 번째 순서로 작업하고 ${\mathcal {O}}{\alpha ^{2}}$ ${\mathcal {O}}{\alpha ^{2}}$ 2 $(\displaystyle {O}}{\alpha ^2}})$ 항은 ${\mathcal {O}}{\alpha ^{2}}$ ${\mathcal {O}}{\alpha ^{2}}$ 합니다.이전 논의에서 우리는 α $(\displaystyle \alpha)$ 로 $\alpha$ 인한 라그랑지안의 명백한 변화가 변화하고 있음을 즉시 알 수 있다.

{\mathcal {L}}\mapto {\mathcal {L}+\delta {\mathcal {L}

여기

서

\delta {\mathcal {L}}=0

L

\delta {\mathcal {L}}=0

{

displaystyle \ displaystyle

{

L}

=

0

} 。

노에터의 정리의 일부로서, 우리는 필드의 변동으로 인한 라그랑지안의 암묵적인 변화를 발견한다. $\psi ,{\bar {\psi }}$ 、 $\psi ,{\bar {\psi }}$ 、 $\psi ,{\bar {\psi }}$ display （ \ $displaystyle \psi$ ; { \ bar { $\psi }$ ）의 운동방정식이 $\psi ,{\bar {\psi }}$ 충족되면

{\ _ \ (\ _\mathcal {\ {부분(\partial _\mathcal {L})

(*)

라그랑지안에는 $§(\$ })의 ${\bar {\psi }}$ 부분파생물이 없기 때문에 이는 즉시 단순화된다. $δ$ { $displaystyle$ \ $psi$ }는 $\delta \psi$ 극소수 변동입니다.

\displaystyle \psi (x)=i\alpha \psi (x)}

델은

{\frac {L} {\partial (\partial _ {\mu }}} =i bar {psi } ^{\mu }

방정식(*)은

({displaystyle 0=-\alpha \mu }({\bar {psi }}}\mu ^{\mu }\psi)})

그리고 우리는 끝났다.

솔루션

Dirac 연산자는 4튜플의 제곱적분함수에 작용하기 때문에 그 해는 동일한 힐베르트 공간의 구성원이어야 한다.솔루션의 에너지가 하한을 가지지 않는다는 사실은 예상하지 못했다.

평면파 솔루션

평면파 해는 안사츠에서 발생하는 해입니다.

\displaystyle \psi(x)=u(\mathbf {p})e^{-ip\cdot x}

이는

{\textstyle E_{\mathbf {p} }={\sqrt {m^{2}+|\mathbf {p} |^{2}}}.}

한

{\textstyle E_{\mathbf {p} }={\sqrt {m^{2}+|\mathbf {p} |^{2}}}.}

p=(E_{\mathbf {p} },\mathbf {p} )

p=(E_{\mathbf {p} },\mathbf {p} )

( E p ,

p=(E_{\mathbf {p} },\mathbf {p} )

) {

displaystyle p=(E_

{\

mathbf {p

} ,\

mathbf

{

{\textstyle E_{\mathbf {p} }={\sqrt {m^{2}+|\mathbf {p} |^{2}}}.}

}

) （ E_{\

mathbf {p} } = secrt {m^2}+mathbf {p}

^2}}

=

를 가진 입자를 모델링합니다.

}

이 안사츠에서 디락 방정식은 $u(\mathbf {p} )$ ( $u(\mathbf {p} )$ p $u(\mathbf {p} )$ ) $u(\mathbf {p} )$ { $displaystyle$ u (\ $mathbf {p}$ $u(\mathbf {p} )$ 의 $u(\mathbf {p} )$ 이 됩니다.

\displaystyle \left(\displaystyle ^{\mu }-m\right)u(\mathbf {p})= 0.}

감마 행렬

(\

^{\

mu

에 대한 표현을 선택한 후, 이를 푸는 것은 선형 방정식의 시스템을 푸는 문제이다.솔루션 공간이 2차원이라는 것은 감마 행렬의 표현 없는 특성이다(여기를 참조).

예를 들어 $\gamma ^{\mu }$ {\ $displaystyle \gamma$ ^{\ $mu$ 의 키랄 표현에서는 솔루션 공간은 C $\mathbb {C} ^{2}$ {\ $displaystyle \mathbb {C}$ ^{ $2}}$ $\xi$ ${\$ {\ $displaystyle \xi$ }에 의해 파라미터화됩니다.

udisplaystyle u(\mathbf {\displaystyle u(\mathbf {pmatrix}}{pmatrix}{\t}}}

여기서 μ

\sigma ^{\mu }=(I_{2},\sigma ^{i}),{\bar {\sigma }}^{\mu }=(I_{2},-\sigma ^{i})

(

\sigma ^{\mu }=(I_{2},\sigma ^{i}),{\bar {\sigma }}^{\mu }=(I_{2},-\sigma ^{i})

2 ,

display

\sigma ^{\mu }=(I_{2},\sigma ^{i}),{\bar {\sigma }}^{\mu }=(I_{2},-\sigma ^{i})

i ) ,

\sigma ^{\mu }=(I_{2},\sigma ^{i}),{\bar {\sigma }}^{\mu }=(I_{2},-\sigma ^{i})

\sigma ^{\mu }=(I_{2},\sigma ^{i}),{\bar {\sigma }}^{\mu }=(I_{2},-\sigma ^{i})

(

I

, -

display

i

\sigma ^{\mu }=(I_{2},\sigma ^{i}),{\bar {\sigma }}^{\mu }=(I_{2},-\sigma ^{i})

) {

displaystyle

\ sigma ^ {

i

} , { \ bar }

=

( I

\sigma ^{\mu }=(I_{2},\sigma ^{i}),{\bar {\sigma }}^{\mu }=(I_{2},-\sigma ^{i})

_ { 2 , \ sigma ^ {

i

} ) , 、（ I _ { 2

}

）

{\sqrt {\cdot }}

、 \

sigma

displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay

\sigma ^{\mu }=(I_{2},\sigma ^{i}),{\bar {\sigma }}^{\mu }=(I_{2},-\sigma ^{i})

^ { ^ { \

sigma

{\sqrt {\cdot }}

이러한 평면파 솔루션은 표준 양자화의 시작점을 제공합니다.

다음과 수

c {\ _ }\ - mc ^ {2 {\ style {i\hbar c(오버라인) ^{\mu }\display ^{mc }

$\psi$ 을 $\psi$ 「\ $displaystyle$ \psi $」$ 에 관해서 변화시키면, 인접 Dirac 방정식이 됩니다.한편, ${\bar {\psi }}$ 을 $§({$ 와 ${\bar {\psi }}$ 관련하여 변경하면 Dirac 방정식을 얻을 수 있습니다.

은 연연단단 in음음음음음음음음음음음음음음음음 in in in in in in이다.

Action 션 dir

$S=\int d^{4}x,{\bar {psi }}},(i\displaystyle \!) }\!\psi$

이 동작에서는 위의 $J^{\mu }$ $(\$ ^{\mu $})$ 가 $J^{\mu }$ ${\text{U}}(1)$ U ${\text{U}}(1)$ 1)에 대응하는 보존전류로서 발생합니다 $(\$ displaystyle ${\$ text $}).$ $U}}(1)$ 노에테르 ${\text{U}}(1)$ 정리에 의한 필드 이론의 대칭성.대칭을 시공간 점 의존적인 국소 대칭으로 변경하여 이 필드 이론을 측정하면 게이지 대칭(실제로 게이지 중복성)을 얻을 수 있습니다.그 결과 나온 이론은 양자전기역학 또는 QED이다.상세한 것에 대하여는, 이하를 참조해 주세요.

디락 방정식은 로렌츠 변환 하, 즉 로렌츠 군 ${\text{SO}}(1,3)$ ${\text{SO}}(1,3)$ , ${\text{SO}}(1,3)$ )의 작용 하에서는 불변합니다 $.\$ $displaystyle$ { $text$ } $SO}}(1,3$ ) 또는 ${\text{SO}}(1,3)$ ${\text{SO}}(1,3)^{+}$ 하게 SO ${\text{SO}}(1,3)^{+}$ ) ${\text{SO}}(1,3)^{+}$ + (\ $displaystyle\text{$ $SO}}(1,3$ ID에 연결된 컴포넌트.

구체적으로 $C4에서$ 을 취하는 것으로 간주되는 Dirac 스피너의 경우, 로렌츠 변환 $(\displaystyle \mathbb$ ${C}$ ^{ $4$ $})$ 에서의 $\Lambda$ $4\times 4$ 변환은 4 $(\displaystyle$ 4 $\times$ 4) $4\times 4$ $S[\Lambda ]$ S $S[\Lambda ]$ $S[\Lambda ]$ $there$ 에 의해 주어진다 $.$ $S[\Lambda ]$ 하는 S $S[\Lambda ]$ [ $]{$ $displaystyle$ S [ \ $Lambda$ 및 표기법의 표준 오용.

대부분의 치료는 리 대수 수준에서 일어난다.자세한 처치는 여기를 참조해 주세요. $\mathbb {R} ^{1,3}$ 1, $($ \ $mathbb {R}^{1,3})$ 에 $\mathbb {R} ^{1,3}$ 작용하는 4 $4\times 4$ 4 $({displaystyle$ 4 $\times$ 4})의 $4 \times 4$ 실행렬 로렌츠 그룹은 6개의 행렬 $\{M^{\mu \nu }\}$ { $M$ $}({displaystyle$ \{ $M^{\mu$ \nu $\{M^{\mu \nu }\}$ }\})의 $\{M^{\mu \nu }\}$ 집합으로 생성됩니다.

(M^{\mu \nu })^{\rho }_{\display }=\eta ^{\nu }-\eta ^{\nu \rho }\display ^{\mu }_{\display

\rho ,\sigma

{\,

\

style \rho,

\

sigma }

지수를

\rho ,\sigma

모두 올리거나 내리면 이는 단순히 반대칭 행렬의 '표준 기반'에 불과합니다.

이것들은 로렌츠 대수의 정류 관계를 만족시킨다.

\displaystyle [M^{\mu \nu },M^{\rho \nu }] =M^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }-M^{\nu \rho }+M^{\nu \rho }-M^{\mu \rho }-M^{\nu \rho }\eta ^{\nu \sigma } }

디락 대수에 관한 기사에서, 스핀 생성기는 또한 다음과 같은 것으로 밝혀졌다.

S}= [\ style S^{\ = flac {1}{4} [\display ^{\mu },\display ^{\nu }}}

로렌츠 대수의 정류 관계를 만족시킵니다.

로렌츠 변환 $\Lambda$ (\ $displaystyle\Lambda)$ 는 $\Lambda$ 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

({displaystyle \Lambda =\exp \leftfac {1}{2}}\offer _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\right)}

여기서 컴포넌트

\omega _{\mu \nu }

{

display style

\

omega

_ { \

mu

\ nu

\mu ,\nu

는

\omega_{\mu\nu}

μ

\mu ,\nu

μ, μ,

\mu ,\nu

μ, μ,

\mu ,\nu

, μ, μ, μ, μ, μ, μ, , μ where where 、

style

스핀 공간의 해당 변환은 다음과 같습니다.

\displaystyle S [\Lambda ]=\exp \frac {1}{2}\obega _{\mu \nu }S^{\mu \nu }\right}).}

이것은 표기법의 오용이지만, 표준적인 것입니다.그

S[\Lambda ]

는

S[\Lambda ]

S [

λ

]{

displaystyle S

[ \ Lambda

S[\Lambda ]

]

\omega _{\mu \nu }

\Lambda

the

the the of of of of of （ \ displaystyle

\Lambda

\

Lambda

）

의

\Lambda

정의가 끝난 함수가 아니기

때문

입니다.이러한 컴포넌트에는

\Lambda

\omega _{\mu \nu }

{\

{\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\

\omega _{\mu \nu }

of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of{

displaystyle

\

mu

\ mu \ mu \ mu \ mu \ mu \ mu \

mu

\ l

[\Lambda

\omega _{\mu \nu }

]

S[\Lambda ]

}.실제로 우리는 암묵적으로

\omega _{\mu \nu }

\omega _{\mu \nu }

하나

를

\omega _{\mu \nu }

합니다.

S[\Lambda ]

S

S[\Lambda ]

[

λ

](\

displaystyle

\mu

\nu

\omega _{\mu \nu }

S[\Lambda ]

\omega _{\mu \nu }

})는

\omega _{\mu \nu }.

로 정의됩니다.{\

displaystyle \mu \nu

}

。

i _}- (displaystyle i\mu }\display _{\mu }-m\psi (x)}

becomes가 되다

i}{\nu }\ _displaystyle i\gamma ^{-1})_{\mu }\partial _{\nu })S[\Lambda ]\psi(\Lambda ^{-1}x)-mS[\Lambda ]\psi(\Lambda ^{-1}x)=0.}

양쪽을 S $S[\Lambda ]$ [ $]$ \ $displaystyle S$ [ \ Lambda $]$ 로 $S[\Lambda ]$ $S[\Lambda ]$ 더미 변수를x { \ $displaystyle$ x}로 $x$ 되돌리면 다음과 같이 됩니다.

iS[\Lambda ]^{\mu }S[\Lambda ^{-1}_{\mu }\psi(x)-m\psi(x)=0.

Sdisplaystyle S[\Lambda ]^{\mu nu }S[\displaystyle S[\Lambda ^1]

동등하게 (동등하게)

}{\displaystyle S[\Lambda ]^{-1}\lambda ^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\lambda ^{\nu }}}}.}

이것은 대수학 수준에서 가장 쉽게 나타난다.Supposing the transformations are parametrised by infinitesimal components

\omega _{\mu \nu }

, then at first order in

\omega

, on the left-hand side we get

{\ {\sigma }(}_displaystyle {{1}{2}}\obega _{\rho \sigma } } } } } ^{{{\rho

우측에 있는 동안

^{\rho },\ \display }\

왼쪽에 있는 정류자를 평가하는 표준 연습입니다.M

M^{\rho \sigma }

{\

（ \

display

style M^ { \

rho

\ sigma }

M^{\rho \sigma }

）

M^{\rho \sigma }

。성분에 따라 증명됩니다.

로렌츠 불변성과 관련된 것은 보존된 노에테르 전류, 즉 보존된 노에테르 $({\mathcal {J}}^{\rho \sigma })^{\mu }$ 의 텐서(J $({\mathcal {J}}^{\rho \sigma })^{\mu }$ $({\mathcal {J}}^{\rho \sigma })^{\mu }$ ) $({\mathcal {J}}^{\rho \sigma })^{\mu }$ {J $}}^{\rho$ \ $sigma$ $({\mathcal {J}}^{\rho \sigma })^{\mu }$ 이다. 마찬가지로 방정식은 변환 시 불변하기 때문에 보존된 노에테르 $T^{\mu \nu }$ 의 텐서 $μstyle$ 이 존재한다. $\nu$ 이것은 이론의 응력 에너지 텐서로 식별될 수 있다.로렌츠 전류 $({\mathcal {J}}^{\rho \sigma })^{\mu }$ $({\mathcal {J}}^{\rho \sigma })^{\mu }$ $({\mathcal {J}}^{\rho \sigma })^{\mu }$ ) ) $({\mathcal {J}}^{\rho \sigma })^{\mu }$ J}}^{\rho \ $sigma })^{\$ mu $({\mathcal {J}}^{\rho \sigma })^{\mu }$ }}}는 $({\mathcal {J}}^{\rho \sigma })^{\mu }$ 내부 각운동량을 나타내는 텐서와 더불어 응력-에너지 텐서로 쓸 수 있다.

및 사항

디락 방정식은 양자역학 이론을 정의하는 데 사용되기도 했는데, 여기서 $\psi (x)$ ( $\psi (x)$ { $displaystyle \psi (x)}$ 는 $\psi (x)$ 파동함수로 해석된다.

Dirac이 원래 제안한 형태의 Dirac 방정식은 다음과 같습니다.^[4]

mc_{ ()= \psi \left(\displaystyle mc^2}+\sum mc^{{{n}\sum}^{{{{n})_3}_{n}_{n}_{1}\alpha}_{n}

여기서

θ

(

x,

t)

는 시공간

좌표

x,

t

를 갖는 정지 질량m의 전자에 대한 파동 함수이다.

p 1, p 2

,

p

는₃ 운동량의 성분으로 슈뢰딩거 방정식의 운동량 연산자로 이해됩니다.또한 c는 빛의 속도이고

θ

는 환원 플랑크 상수이다.이러한 기본적인 물리 상수는 각각 특수 상대성 이론과 양자 역학을 반영한다.

디락의 이 방정식을 주조한 목적은 상대론적으로 움직이는 전자의 거동을 설명하고 원자가 상대론과 일치하는 방식으로 처리될 수 있도록 하는 것이었다.그의 다소 완만한 희망은 이러한 방식으로 도입된 수정이 원자 스펙트럼 문제와 관련이 있을 수 있다는 것이었다.

그때까지, 원자핵의 전자의 가능한 비원형 궤도에 저장된 각운동량을 이산화하는 것에 기반을 둔 원자의 오래된 양자이론을 상대성 이론과 양립시키려는 시도는 실패했고 하이젠베르크, 파울리, 요르단, 슈뢰딩거, 그리고 디락의 새로운 양자역학은 실패했다.d는 이 문제를 해결할 만큼 충분히 개발되지 않았습니다.디락의 원래 의도는 충족되었지만, 그의 방정식은 물질의 구조에 훨씬 더 깊은 의미를 가지고 있었고, 현재 기초 물리학의 필수적인 요소인 새로운 수학적 등급의 물체들을 도입했습니다.

이 방정식의 새로운 요소는 4 × 4 $행렬 1$ $α 2 3$ , α, $β$ 와 4 성분 파동 함수 $θ$ 이다. $because$ 에는 4개의 컴포넌트가 있습니다.설정 공간의 임의의 시점에서 컴포넌트의 평가가 바이스피너이기 때문입니다.그것은 스핀업 전자, 스핀다운 전자, 스핀업 양전자, 스핀다운 양전자의 중첩으로 해석됩니다.

4 × 4 $행렬 k$ $α$ 와 β는 모두 에르미트 행렬이며, 인벌리테이션이다.

_=}=displaystyle \alpha _{i}^2}=\display ^{2}=I_{4}

그리고 모두 서로 반연결을 하고 있습니다.

j}\_{{i _alpha _}\_alpha _{i}\ _{displaystyle {neq}\ _{neq j}\alpha }

이러한 행렬과 파동 함수의 형태는 깊은 수학적 의미를 가집니다.감마 행렬로 대표되는 대수 구조는 영국의 수학자 W. K. 클리퍼드에 의해 약 50년 전에 만들어졌다.반대로, 클리포드의 생각은 19세기 중반 독일 수학자 헤르만 그라스만의 그의 리네아 아우즈데엉슬레흐레(Lineare Ausdehnungslehre (선형 연장 이론)후자는 그의 동시대 사람들 대부분이 거의 이해할 수 없는 것으로 여겨져 왔다.이렇게 추상적으로 보이는 것의 출현은 물리학 ^{[citation needed]}역사상 가장 주목할 만한 장 중 하나입니다.

따라서 단일 기호 방정식은 파동 함수를 구성하는 4개의 양에 대해 4개의 결합된 선형 1차 편미분 방정식으로 분해됩니다.방정식은 플랑크 단위로 다음과 같이 ^[5]보다 명확하게 기술할 수 있다.

{\displaystyle i}_{x}-\psi_{3}\-\psi_{1}\end{bmatrix}+\display_{y}-\psi_{4}-\psi_3\psi}_{2\psi}_{\}_}_display_{-\psi}.

4번입니다.

방정식을 것

디락 방정식은 표면적으로는 거대한 자유입자에 대한 슈뢰딩거 방정식과 유사합니다.

}{\displaystyle - {\frac^{2}}{2m}\fhi = i\hbar {\fract}\phi ~}

왼쪽은 운동량 연산자의 제곱을 두 배의 질량으로 나눈 값, 즉 비상대론적 운동 에너지입니다.상대성이론은 공간과 시간을 전체적으로 다루기 때문에, 이 방정식의 상대론적 일반화는 공간과 시간 도함수가 빛의 행동을 지배하는 맥스웰 방정식에서와 같이 대칭적으로 입력되어야 합니다. 방정식은 시공간에서 같은 순서로 되어 있어야 합니다.상대성 이론에서 운동량과 에너지는 시공간 벡터인 4모멘텀의 시공간 부분이며 상대성 불변 관계에 의해 관련된다.

E2}displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}

즉, 이 네 변의 길이가 나머지 $질량$ m에 비례한다는 것입니다.슈뢰딩거 이론에서 에너지와 운동량의 연산자 등가를 대입하면 상대론적으로 불변한 물체로 구성된 파동의 전파를 설명하는 클라인-고든 방정식이 생성된다.

}\2}}{\display style {frac {c}{1}

파동함수

θ

는 상대론적 스칼라: 모든 기준 프레임에서 동일한 수치를 갖는 복소수이다.공간 및 시간 도함수는 둘 다 2차수입니다.이것은 방정식의 해석에 결정적인 결과를 가져온다.이 방정식은 시간 도함수의 2차이기 때문에 확실한 문제를 풀기 위해서는 파동함수 자체와 첫 번째 시간 도함수의 초기값을 모두 지정해야 한다.어느 쪽이든 임의로 지정할 수 있기 때문에 파동함수는 주어진 운동상태에서 전자를 찾는 확률밀도를 결정하는 이전의 역할을 유지할 수 없다.슈뢰딩거 이론에서 확률 밀도는 양의 유한식에 의해 주어진다.

=displaystyle \rho =\phi ^{*}\phi }

리리 vector vector vector vector vector vector는는 to to to to to to vector vector vector vector vector vector vector vector vector 에 따라 대류한다.

J^{*}\ {i\}{2m}(\phi ^*})\displaystyle J=-{\frac {i\hbar}\phi \phi^{*})

및방정식에 됩니다.

displaystyle \cdot J+{\frac \rho}{\frac t}=0~.}

이 연속성 방정식에 따라 밀도가 양의 일정하고 대류한다는 것은 특정 영역에 걸쳐 밀도를 적분하여 합계를 1로 설정할 수 있다는 것을 의미하며, 이 조건은 보존 법칙에 의해 유지됩니다.확률 밀도 전류를 가진 적절한 상대성 이론도 이 특징을 공유해야 합니다.대류 밀도의 개념을 유지하려면, 공간과 시간 도함수가 스칼라 파동 함수에 대해 대칭적으로 다시 들어갈 수 있도록 밀도와 전류의 슈뢰딩거 식을 일반화해야 합니다.슈뢰딩거 식은 전류 동안 유지될 수 있지만 확률 밀도는 대칭으로 형성된^{[further explanation needed]} 식으로 대체되어야 합니다.

(\displaystyle \rho = specfrac {i\hbar}{2mc^{2}}\left(\psi ^{*}\spi -\psi \si _{t}\psi ^{*}\si ）}

그것은 이제 시공간 벡터의 네 번째 성분이 되고, 전체 확률 4-전류 밀도는 상대론적 공변식을 갖는다.

(\displaystyle J^{\mu}=검은색 {i\hbar}{2m}}\left(\psi ^{*}\mu ^{\psi }\psi -\psi ^{\mu }\psi ^{*}\right).}

연속성 방정식은 이전과 같습니다.현재는 모든 것이 상대성 이론과 양립할 수 있지만, 밀도의 표현은 더 이상 양의 확정이 아니며, $θ$ 와 $t θ$ 의 초기 값은 자유롭게 선택될 수 있으며, 따라서 밀도는 정규 확률 밀도로는 불가능한 음이 될 수 있다.따라서, 파동 함수가 상대론적 스칼라이고 그것이 만족시키는 방정식이 시간의 2차라는 순진한 가정 아래에서는 슈뢰딩거 방정식의 단순한 일반화를 얻을 수 없다.

비록 슈뢰딩거 방정식의 성공적인 상대론적 일반화는 아니지만, 이 방정식은 클라인-고든 방정식으로 알려진 양자장 이론의 맥락에서 부활하며 스핀리스 입자장(예: 파이 중간자 또는 힉스 입자)을 기술한다.역사적으로 슈뢰딩거 자신은 자신의 이름을 딴 방정식보다 먼저 이 방정식에 도달했지만 곧 그것을 폐기했다.양자장론의 맥락에서, 무한밀도는 확률밀도가 아닌 양 또는 음의 전하밀도에 대응하는 것으로 이해된다.

그래서 디락은 시간과 공간 모두에서 1차 방정식을 시도하려고 생각했다.예를 들어, 공식적으로 (즉, 표기법의 남용에 의해) 에너지에 대한 상대론적 표현을 취할 수 있다.

E}+displaystyle E=c{\sqrt {p^{2}+m^{2}c^{2}}~,}

p를 해당 연산자 등가로

대체

하고, 무한 계열의 미분 연산자에서 제곱근을 확장하고, 고유값 문제를 설정한 다음, 반복으로 방정식을 정식으로 해결합니다.대부분의 물리학자들은 그러한 과정이 기술적으로 가능할지라도 거의 믿지 않았다.

이

displaystyle ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}{\frac t^{2}}=\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{c}{\frac}_frac}\frac{\frac}

오른쪽을 곱하면, $x y$ to과 같은 모든 크로스 용어를 없애기 위해서는, 다음과 같이 가정할 필요가 있습니다.

AB+{\displaystyle~}BA=0, ~\ldots ~}

}{\displaystyle A^{2}=B^{2}=\dots=1~}

당시 하이젠베르크 행렬 역학의 기초에 대해 집중적으로 연구하던 디락은 A, $B$ , $C$ , $D$ 가 행렬이라면 파동 함수가 여러 개의 성분을 가지고 있다는 것을 암시하며 이러한 조건들이 충족될 수 있다는 것을 즉시 이해했다.이것은 파울리의 스핀 현상학 이론에서 2성분 파동 함수의 출현을 즉시 설명했고, 이것은 파울리 본인에게조차 신비로운 것으로 여겨져 왔다.단, 필요한 특성을 가진 시스템을 구축하기 위해서는 적어도 4 × 4 행렬이 필요합니다.따라서 파동함수는 파울리 이론에서처럼 2개 또는 슈뢰딩거 이론에서처럼 1개가 아닌 4개의 구성요소를 가지고 있습니다.4성분 파동 함수는 물리 이론에서 수학적인 물체의 새로운 클래스를 나타내며 여기서 처음 나타난다.

이러한 행렬의 관점에서 인수분해를 고려할 때, 이제 사람들은 즉시 방정식을 쓸 수 있다.

__{_{_{right}\psidisplaystyle \(A\partial _x}+B\partial _C)

§(\displaystyle

\

kappa)

가

\kappa

결정되어야 합니다.양쪽에서 행렬 연산자를 다시 적용하면 산출됩니다.

displaystyle \left(\displaystyle ^2}-{\frac {1}{c^{2}}\flac _{t}^2}\right)\psi =\kappa ^{2}\psi ~}

$\kappa ={\tfrac {mc}{\hbar }}$ $\kappa ={\tfrac {mc}{\hbar }}$ $\kappa ={\tfrac {mc}{\hbar }}$ c $\kappa ={\tfrac {mc}{\hbar }}$ { $displaystyle \kappa$ = t $tfrac {mc}{\hbar }}$ 를 $\kappa ={\tfrac {mc}{\hbar }}$ 취하면 파동 함수의 모든 성분이 상대론적 에너지-입자 관계를 개별적으로 만족한다는 것을 알 수 있다.따라서 시간과 공간 모두에서 1차 방정식은 다음과 같습니다.

displaystyle \left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{\frac {c}}D\partial _{t}-{\frac {mc}{\hbar}}\psi = 0~}.

★★

1},,,_{=\displaystyle A=i\beta _{1},B=i\alpha \alpha _{2},\alpha _{},\alpha _{{},\c}

D^{2}=\beta ^{2}=I_{4}

D^{2}=\beta ^{2}=I_{4}

D^{2}=\beta ^{2}=I_{4}

=

({

D

^{2

}=\

beta ^{2

}=

I_{4

이므로 Dirac 방정식은 위와 같이 생성된다.

과

방정식의 상대론적 불변성을 증명하기 위해서는 시공 도함수가 동등한 토대 위에 나타나는 형태로 해석하는 것이 유리하다.다음과 같이 새로운 매트릭스가 도입되었습니다.

\displaystyle ^{=\gamma^{0},\\\\\\\\\gamma^{0 \A&=i\gamma ^{1},\disc B=i\gamma ^{2},\disc C=i\gamma ^{3},\end{aligned}

그리고 그 방정식(그4-gradient의 공 변하는 구성 요소와 특히∂0).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parse의 정의를 기억하는 형태를 가진다.R-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/c∂t cm이다.

$imu _ i\hbar \display ^{\mu }\psi - mc=0$

여기서 2차 $지수$ μ= 0 $, 1,$ 2, $3$ 의 값에 대한 암묵적 합계가 존재하며 $, μ$ δ는 4차 지수이다.실제로 파울리 행렬과 2 × 2 동일성 행렬에서 가져온 2 × 2 하위 행렬의 관점에서 감마 행렬을 작성하는 경우가 많다.명시적으로 표준 표현은 다음과 같습니다.

^{0 {displaystyle ^{0displaystyle {pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix},\quad \pad ^{1}=pmatrix}0&\pad ^{x}=pmatrix}0&\pad ^{x}=pmatrix}0&\pad =pad =pmatrix}{x},\padiatrix}\pad },\pad },

전체 시스템은 다음과 같은 형태로 시공간에서 민코프스키 메트릭을 사용하여 요약된다.

^{\}\^{\displaystyle \{\},\display ^{\nu }\right\eta ^{\mu }

서 괄호 " " " " 입니다.

\{displaystyle \{a,b\}=ab+ba}

는 안티커뮤테이터를 나타냅니다.이것들은 메트릭 시그니처

(+

- - -

)

를 가진 의사 직교 4차원 공간에 대한 클리포드 대수의 정의 관계이다.디랙 방정식에서 사용되는 특정 클리포드 대수는 오늘날 디랙 대수로 알려져 있다.방정식이 공식화되었을 때 디랙에 의해 그렇게 인식되지 않았지만, 나중에 이 기하학적 대수의 도입은 양자 이론의 발전에 있어 엄청난 진보를 나타낸다.

이제 Dirac 방정식을 고유값 방정식으로 해석할 수 있습니다. 여기서 나머지 질량은 4모멘텀 연산자의 고유값에 비례하며 비례 상수는 빛의 속도입니다.

P_{\text{op}}\psi = mc\psi.

${\partial \!\!\!/}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }$ ${\partial \!\!\!/}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }$ ${\partial \!\!\!/}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }$ ${\partial \!\!\!/}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }$ f ${\partial \!\!\!/}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }$ { $displaystyle$ \ $displaystyle$ \ $!\$ ! $\!/}\mathrel$ { $mathrel {def}{=}\mathrel$ ^{\ $mu$ }\mu }\ $mu$ } ${\partial \!\!\!{\big /}}$ $}}$ / \ $display$ \ $style \$ ） $\!{\big /}}$ 는 ${\partial \!\!\!{\big /}}$ "d-slash"^[6]로 발음됩니다. 파인만 슬래시 표기법에 따르면 디랙 방정식은 다음과 같습니다.

i displaystyle i.hbar!}\!{\big /}}\psi - mc\psi = 0,}

실제로 물리학자들은 종종 자연 단위로 알려진 $θ$ = $c$ = $1$ 과 같은 측정 단위를 사용한다.그러면 방정식은 간단한 형태를 취한다.

단위 (자연 단위)

$\displaystyle(i-displaystyle\!)}\!{\big /}-m}\psi = 0 }$

기본정리는 두 행렬이 모두 클리포드 관계를 만족하는 두 개의 서로 다른 행렬 집합이 주어진다면, 그것들은 유사성 변환에 의해 서로 연결된다는 것이다.

}=S^{\displaystyle ^{\mu \prime}=S^{-1}\gamma ^{\mu }S,}}}

또한 행렬이 디락 집합과 마찬가지로 모두 유니터리일 경우 S $자체$ 는 유니터리이다.

\prime ^{\mu \prime }=U^{\prime }

$변환$ U는 절대값 1의 승수까지 고유합니다.이제 로렌츠 변환이 시공간 좌표와 공변 벡터를 형성하는 미분 연산자에 대해 수행되었다고 상상해 봅시다.연산자 $μ δ$ 가^μ 불변성을 유지하려면 시공간 지수에 대한 역변 벡터로 서로 변환해야 한다.로렌츠 변환의 직교성 때문에 이 새로운 감마들 자체가 클리포드 관계를 만족시킬 것입니다.기본정리에 따르면 새로운 집합을 유니터리 변환 대상인 구집합으로 대체할 수 있다.새로운 틀에서, 나머지 질량은 상대론적 스칼라라는 것을 기억하면서, 디락 방정식은 그 다음 형태를 취할 것이다.

}\}\^{\primeprimeright)&\U}\ ^{\rightU^{\dagger^{\mu}\mu^{\right}U\psi \left(x^{\prime}, t^{\prime}\right)&=0,\end}}\end {aligned}}

가 환환음음음음음음음음으로

^{\}\displaystyle \psi ^{\prime}=U\psi }

변환된 디랙 방정식은 상대론적 불변성을 나타내는 방식으로 생성된다.

displaystyle \left(i\prime ^{\prime }-m\right)\psi ^{\prime }\left(x^{\prime}}, t^{\prime}=0,\right)

따라서 스피너가 주어진 로렌츠 변환에 대응하는 유니터리 변환에 따라 변환된다면 감마스의 유니터리 표현에 안착하는 것은 최종적입니다.

사용되는 Dirac 행렬의 다양한 표현은 Dirac 파동 함수의 물리적 함수의 특정 측면에 초점을 맞출 것입니다.여기에 표시된 표현은 표준 표현으로 알려져 있습니다. 이 표현에서는 파동 함수의 상위 2개 성분이 빛에 비해 낮은 에너지와 작은 속도의 한계에서 Pauli의 2 스피너 파동 함수로 넘어갑니다.

위의 고려사항들은 기하학에서 감마의 기원을 드러내며, 그라스만의 원래 동기로 되돌아갑니다; 그것들은 시공간에서 단위 벡터의 고정된 기초를 나타냅니다.마찬가지로 $γ μ ν$ represent 등의 Gamma의 곱은 지향성 표면 요소 등을 나타낸다.따라서 다음과 같이 시공간 단위 부피 요소의 형태를 감마 단위로 볼 수 있다.정의상, 그것은

{\displaystyle V=검은색 {1}{4!}}\ipsilon _{\mu \nu \alpha \alpha }\ipsilon ^{\mu }\ipsilon ^{\nu }\ipsilon ^{\ips}}.

이것이 불변성이 되려면 엡실론 기호는 텐서여야 하며, 따라서 $µg$ 의 인자를 포함해야 한다. $여기$ 서 g는 메트릭 텐서의 결정식이다.이것은 음수이기 때문에, 그 인자는 허수입니다.따라서

V=i\gamma ^{0}\display ^{1}\display ^{2}\display ^{3}.

이 행렬은 시공간의 부적절한 변환, 즉 기저 벡터의 방향을 변경하는 변환을 고려할 때 중요하기 때문에 특별한 기호 $θ$ 가⁵ 부여된다.표준 표현에서는 다음과 같습니다.

{0&\displaystyle _{displaystyle {pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}.}

은 또한 행렬(Dirac 행렬 4개)과하는 것으로 됩니다.

^{\mudisplay style ^{5display ^{\mu}+\display ^{5}=0}

시공간 반사 아래에 볼륨 요소가 지시된 크기 변경 부호이기 때문에 패리티에 대한 질문이 발생할 때 주도적인 역할을 합니다.따라서 위의 양의 제곱근을 취하는 것은 시공간에서 핸드니스 관례를 선택하는 것과 같다.

물리적 해석

관측 가능성의 식별

양자 이론에서 중요한 물리적 질문은 이것이다: 이론에서 정의된 물리적으로 관측 가능한 양은 무엇인가?양자역학의 공식에 따르면, 그러한 양은 시스템의 가능한 상태의 힐베르트 공간에 작용하는 에르미트 연산자에 의해 정의된다.이러한 연산자의 고유값은 해당 물리적 수량을 측정할 때 발생할 수 있는 결과입니다.슈뢰딩거 이론에서, 그러한 가장 단순한 물체는 시스템의 총 에너지를 나타내는 전체 해밀턴이다.디랙 이론으로의 전달에 대한 이 해석을 유지하기 위해, 해밀턴의 해석은 다음과 같이 받아들여져야 한다.

{\displaystyle H=\gamma ^{0}\left[mc^{2}+c\display ^{k}\left(p_{k}-qA_{k}\right)\cq]+cA^{0}.

여기서, 항상 그렇듯이, 두 번 반복된

지수

k

= 1, 2

,

3

에 대한 암묵적인 합계가 존재한다.이는 입자의 나머지 에너지와 A =

0

인

경우

전위

cqA

에⁰ 놓인 전하의 에너지를 검사하여 확인할 수 있기 때문에 유망해 보인다.벡터 퍼텐셜을 포함하는 용어는 어떻습니까?고전 전기역학에서, 인가된 전위로 이동하는 전하의 에너지는

{\displaystyle H=c{\sqrt\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)^{2}+m^{2}c^{2}}+qA^{0}.

따라서, 디락 해밀턴 학설은 그것의 고전적인 것과 근본적으로 구별되며, 사람들은 이 이론에서 관찰할 수 있는 것을 정확하게 식별하기 위해 매우 주의를 기울여야 한다.디락 방정식에 의해 암시된 명백한 역설적인 행동 중 대부분은 이러한 관측 ^{[citation needed]}가능성의 잘못된 식별에 기인한다.

홀 이론

입자가 양의 에너지를 가지고 있다고 가정했기 때문에 방정식에 대한 $음$ 의 E 해는 문제가 있다.그러나 수학적으로 볼 때 우리가 부정적인 에너지 해결책을 거부할 이유는 없는 것 같다.전자와 전자장 사이의 상호작용이 포함되면 양 에너지 고유 상태에 놓인 전자는 차례로 낮은 에너지의 음 에너지 고유 상태로 붕괴되기 때문에 이러한 것들은 단순히 무시할 수 없다.실제 전자는 분명히 이런 식으로 행동하지 않는다. 그렇지 않으면 광자의 형태로 에너지를 방출함으로써 사라질 것이다.

이 문제에 대처하기 위해, Dirac은 진공이 모든 음의 에너지 전자 고유 상태를 차지하는 다체 양자 상태라는 가설을 도입했습니다.이 진공 상태를 전자들로 이루어진 "바다"로 묘사하는 것을 디락 해라고 합니다.파울리 배타 원리는 전자가 같은 상태를 차지하는 것을 금지하기 때문에, 추가 전자는 양 에너지 고유 상태를 차지하도록 강요될 것이고, 양 에너지 전자는 음 에너지 고유 상태로 붕괴되는 것을 금지할 것이다.

만약 전자가 양 에너지와 음 에너지 고유 상태를 동시에 점유하는 것이 금지된다면, 양 에너지와 음 에너지 상태의 간섭에서 발생하는 지터베궁으로 알려진 특징은 시간 의존적 디랙 이론의 비물리적 예측으로 간주되어야 할 것이다.이 결론은 앞의 단락에서 주어진 구멍 이론의 설명에서 추론할 수 있다.최근 결과는 Nature [R. Gerritsma, G. Kirchmair, F. Zaehringer, E. Solano, R. Blatt, C]에 게재되었다.갇힌 이온 실험에서 지터베궁 특징을 시뮬레이션한 Roos, Nature 463, 68-71 (2010)].이 실험은 물리-실험실 실험이 단순히 디락 방정식 해법의 수학적 정확성을 확인하는 것이 아니라 전자물리학에서 검출 가능성이 여전히 도달하기 어려운 실제 효과의 측정이라고 추론할 경우 홀 해석에 영향을 미친다.

Dirac은 또한 음의 에너지 고유 상태가 불완전하게 채워지면, 점유되지 않은 고유 상태(구멍이라고 함)가 양으로 대전된 입자처럼 행동할 것이라고 추론했다.진공에서 입자-구멍 쌍을 만드는 데 에너지가 필요하기 때문에 이 구멍은 양의 에너지를 가집니다.위에서 언급했듯이, 디락은 처음에 이 구멍이 양성자일 수도 있다고 생각했지만 헤르만 바일은 이 구멍이 마치 전자와 같은 질량을 가진 것처럼 행동해야 하는 반면, 양성자는 1800배 이상 무거워야 한다고 지적했다.이 구멍은 1932년 칼 앤더슨이 실험적으로 발견한 양전자로 밝혀졌다.

음의 에너지 전자의 무한한 바다를 사용하여 "진공"을 설명하는 것은 완전히 만족스러운 것은 아니다.음의 에너지 전자의 바다에서 무한히 음의 기여는 무한한 양의 "나선" 에너지에 의해 취소되어야 하며 음의 에너지 전자의 바다에서 오는 전하 밀도와 전류에 대한 기여는 무한 양의 "젤륨" 배경에 의해 정확히 취소되어야 합니다. 따라서 순 전하 밀도는 다음과 같습니다.진공은 0입니다.양자장 이론에서, 생성 및 소멸 연산자에 대한 보고리유보프 변환은 심지어 당신조차도 디락 바다의 형식주의를 우회할 수 있게 합니다.gh, 형식적으로는 그것과 동등합니다.

그러나 응집 물질 물리학의 특정 응용 분야에서는 "구멍 이론"의 기본 개념이 유효합니다.페르미 해라고 불리는 전기 전도체의 전도 전자 바다는 시스템의 화학적 전위까지 에너지를 가진 전자를 포함합니다.페르미 해의 채워지지 않은 상태는 양전하를 띤 전자처럼 행동하지만, 양전자가 아닌 "구멍"으로 언급된다.페르미 바다의 음전하는 물질의 양전하 이온 격자에 의해 균형을 이룬다.

양자장론에서

양자 전기역학 같은 양자장 이론에서, 디락 장은 방정식의 역설적인 특징의 일부를 해결하는 두 번째 양자화 과정을 거친다.

디랙 방정식의 로렌츠 공분산에 대한 추가 설명

디락 방정식은 로렌츠 공변량이다.이를 명확하게 표현하면 디락 방정식뿐만 아니라 마요라나 스피너와 엘코 스피너도 매우 밀접하게 관련되어 있지만 미묘하고 중요한 차이가 있습니다.

공정의 ^[8]기하학적 특성을 고려함으로써 로렌츠 공분산을 이해하는 것이 간단해집니다. $\displaystyle$ a를 $a$ 시공간 매니폴드의 단일 고정점으로 $합니다$ .그 위치는 여러 좌표계로 표현될 수 있다.물리학 문헌에서는 x $(\displaystyle$ x $)$ 와 $x$ x $(\$ x $x'$ 로 표기되어 있습니다 $.$ x(\ $displaystyle$ x $a$ 와 $x$ x $(\$ $displaystyle$ x $')$ 는 $x'$ 모두 같은 $점$ 을 기술하지만 서로 다른 로컬 기준 프레임(작은 범위에서의 기준 프레임)으로 기술되어 있습니다.ed patch of space). $디스플레이 스타일$ a는 $a$ 그 위에 서로 다른 좌표 프레임의 섬유가 있는 것으로 $a$ 할 수 있습니다.기하학적으로 말하면 시공간은 파이버번들, 구체적으로는 프레임번들로 특징지을 수 있습니다.같은 파이버 내의 두 $점$ x(\ $display$ $)$ 와 x(\ $display style$ x $')$ 의 $x'$ 차이는 회전과 로렌츠 부스트의 조합입니다.좌표 프레임의 선택은 해당 번들을 통과하는 (로컬) 섹션입니다.

프레임 번들에는 두 번째 번들인 스피너 번들이 결합되어 있습니다.스피너 번들을 통과하는 섹션은 입자장(이 경우 Dirac 스피너)에 불과합니다.스피너 파이버의 다른 점들은 동일한 물리적 물체(페르미온)에 대응하지만 다른 로렌츠 프레임으로 표현됩니다.일관된 결과를 얻으려면 프레임번들과 스피너번들을 일관된 방법으로 결합해야 합니다.정식적으로는 스피너번들이 관련된 번들이라고 합니다.주요 번들에 관련지어져 있습니다.이 경우 프레임번들이 됩니다파이버상의 포인트 간의 차이는 시스템의 대칭에 대응합니다.스피너 다발에는 대칭을 이루는 두 개의 뚜렷한 생성기, 즉 총 각운동량과 고유 각운동량이 있습니다.둘 다 로렌츠 변환에 대응하지만 다른 방식으로 대응합니다.

이 프레젠테이션은 Itzykson과 ^[9]Zuber의 프레젠테이션에 이어 진행됩니다.그것은 비요켄과 ^[10]드렐의 그것과 매우 유사하다.일반 상대론적인 환경에서의 유사한 파생은 와인버그에서 ^[11]찾을 수 있다.여기서 우리는 우리의 시공간을 평탄하게 고정한다. 즉, 우리의 시공간은 민코프스키 공간이다.

로런츠 $x\mapsto x',$ x $x\mapsto x',$ x $x\mapsto x',$ $、$ \ $displaystyle x$ \ $mapsto$ x ' , $x\mapsto x',$ } 변환하는 $x\mapsto x',$ 디랙 스피너

\displaystyle \psi '(x)'=S\psi(x)}

S

(\displaystyle

S

)

에

S

대한

명시적 표현은 다음과 같습니다.

({displaystyle S=\exp \leftfac {-i}{4}}\offer ^{\mu \nu }\fright)

여기서

\omega ^{\mu \nu }

\omega ^{\mu \nu }

{\

{ \

displaystyle

\

omega

^ { \

mu

\

nu

}}는

\omega ^{\mu \nu }

로렌츠 변환을 파라미터화하고

\sigma _{\mu \nu }

\sigma _{\mu \nu }

{\ { \

displaystyle

\

sigma

_ { \

mu

\

nu

}}는

\sigma _{\mu \nu }

4×4 행렬입니다.

^{\mu \nu } = param frac {i}{2}} [\displaystyle ^{\mu },\display ^{\nu }}~ .

이 행렬은 디랙 필드의 고유 각 운동량으로 해석될 수 있습니다.이 해석은 로렌츠 변환의 $J_{\mu \nu }$ $J_{\mu \nu }$ $J_{\mu \nu }$ $†$ {\ $displaystyle J_{\mu \nu }}$ 과 $J_{\mu \nu }$ (와) 대조함으로써 발생합니다.

J_{\mu \nu } = flac {1}{2}\display_{\mu} +i(x_{\mu})\display_{\nu}-x_{\nu}\display_{\mu}

이는 총 각운동량으로 해석할 수 있다.스피너 필드에 다음과 같이 작용합니다.

\displaystyle \psi ^{\prime }(x)=\exp \leftflac {-i}{\mu \nu }J_{\mu \nu }\right)\psi(x)}

x

의 x

(\

displaystyle

x

)

에는

x

소수가 없습니다.상기는

\psi (x)\mapsto \psi '(x')

displaystyle x\

x

')

로

x\mapsto x'

x\mapsto x'

하여

)\displaystyle

\

psi(x

로 변환한 후 원래의

x'\mapsto x

x

(

)로 되돌립니다.

o

x

x'\mapsto x

입니다.

위의 기하학적 해석은 프레임 필드가 아핀이며 선호하는 원점이 없다는 것입니다. $J_{\mu \nu }$ J $J_{\mu \nu }$ ${\$ { \ $display$ J $_$ { \ $mu$ \ nu $J_{\mu \nu }$ } } space $J_{\mu \nu }$ $、$ 이 공간의 대칭을 생성합니다. $고정점$ x의 리라벨링을 $제공$ 합니다.\ $display$ x ~} 제너레이터 $\sigma _{\mu \nu }$ $\sigma _{\mu \nu }$ $}$ （ \ $display style$ \ $sigma _$ { \ $\sigma _{\mu \nu }$ $mu$ \ nu $x\mapsto x'$ } $x\mapsto x'$ ）는 $\sigma _{\mu \nu }$ 파이버 내의 한 지점에서 다른 점으로의 이동을 생성합니다 $.$ x ( x ) $x\mapsto x'$ $x$ ( \ $displaystyle$ x)는 $x\mapsto x'$ $x$ $x'$ 모두 $동일$ 한 시공간 $a.$ 에 대응합니다 $.$ 이러한 둔감한 발언은 명시적 대수로 설명할 수 있다.

x $x'=\Lambda x$ δ $=$ $x'=\Lambda x$ x ${\displaystyle$ x'=\ $Lambda$ x}를 $x'=\Lambda x$ 로렌츠 변환이라고 $x'=\Lambda x$ .디랙 방정식은

i}{\mu }{\frac x^{\mu }}\psi(x)-m\psi(x)=0

디랙 방정식이 공변량이라면 모든 로렌츠 프레임에서 정확히 동일한 형태를 가져야 합니다.

i}{\mu }{\frac x^{\prime \mu }}\psi ^{\prime}(x^{\prime})-m\psi ^{\prime}(x^{\prime})=0

2개의 스피너

(\displaystyle \psi)

와

\psi

(\

^{\

prime

})는

\psi ^{\prime }

모두 동일한 물리장을 나타내므로 물리적인 관측치(충전, 전류, 질량 등)를 변경하지 않는 변환과 관련되어야 합니다.변환에서는 좌표 프레임의 변경만 인코딩해야 합니다.이러한 변환이 4×4 유니터리 행렬임을 알 수 있다.따라서 두 프레임 간의 관계는 다음과 같이 기술될 수 있습니다.

\displaystyle \psi ^{\prime }(x^{\prime })= S(\Lambda)\psi(x)}

이것을 변환 방정식에 삽입하면 결과는 다음과 같습니다.

i}{\mu }{\frac x^{\prime \mu }}{\frac x^{\prime \mu }}{\frac x^{\prime }}}S(\lambda)-S(\Lambda)=0

로렌츠 변환은

(\displaystyle {\frac x^{\nu }}{\frac x^{\prime \mu }}= 왼쪽(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu } } )

그러면 원래의 디락 방정식이 다음과 같이 반환된다.

S(\Lambda)\display ^{\mu }S^{-1}(\Lambda)=좌측(\Lambda ^{-1}\오른쪽)^{\mu }}\display ^{\nu }

S

)

{

displaystyle

S

(\Lambda)}(

위의 식과 동일)에

S(\Lambda )

명시적 표현은 최소 로렌츠 변환을 고려함으로써 구할 수 있다.

{\mu }}_{\nu }={g^{\mu }}_{\nu }+{\omega ^{\mu }}}_{\nu }

g_{\mu \nu }

서 g μ

g_{\mu \nu }

{ \

displaystyle

g _ { \

mu

\ nu

g_{\mu \nu }

}}는

g_{\mu \nu }

메트릭텐서이고

\omega _{\mu \nu }

\omega _{\mu \nu }

{\

{

display style

\

obega

_ { \

mu

\ nu

\omega _{\mu \nu }

}}는

\omega _{\mu \nu }

반대칭입니다.플러그를 꽂고 꾹 참으면 얻는 것이 있다.

(\displaystyle S(\Lambda)=I+{\frac {-i}{4}}\operg_{\mu \nu}+{\mathcal {O}}\left(\Lambda ^{2}\right)})

위의 S

(\displaystyle

S

)

의

S

(최종) 형식입니다.아핀 리라벨링을 얻으려면

{\displaystyle{\begin{정렬}\psi '(x')&, =\left(I+{\frac{-i}{4}}\omega ^{\mu \nu}\sigma_{\mu \nu}\right)\psi())\\&, =\left(I+{\frac{-i}{4}}\omega ^{\mu \nu}\sigma_{\mu \nu}\right)\psi(x'+{\omega ^{\mu}}_{\nu}\,x^{\prime \,\nu})\\&, =\left(I+{\frac{-i}{4}}\omega ^{\mu \nu}\sigma _{\mu \nu}-x_{\mu}^{\prime}\omega ^{\mu \nu. }_\partial{\nu }\right)\psi(x')\&=\left(I+{\frac {-i}{2}\obega ^{\mu \nu }\right}J_{\mu \nu }\psi(x')\end {aligned}}}}}

적절한 반대칭 후에 앞에서 설명한 $J_{\mu \nu }$ $J_{\mu \nu }$ $†$ {\ $displaystyle J_{\mu \nu }}$ 의 $J_{\mu \nu }$ 발생기를 얻을 수 있다. $J_{\mu \nu }$ J μ $J_{\mu \nu }$ ${\$ { $display$ style J _ { \ $mu$ \ $nu$ }} 및 $J_{\mu \nu }$ $\sigma _{\mu \nu }$ $\sigma _{\mu \nu }$ μ μ {\ { $display$ style \ $sigma$ _ { \ $mu$ \ nu $\sigma _{\mu \nu }$ }}는 $J_{\mu \nu }$ $\sigma _{\mu \nu }$ "로렌츠 변환의 발생기"라고 할 수 있지만 미묘한 구별이 있습니다.첫 번째 것은 스피너에 따라 변환이 강제됩니다.e 스핀 번들은 스핀 번들의 섬유에 따른 변환에 대응합니다(프레임 번들의 $x\mapsto x'$ x $x\mapsto x'$ x \ $display style$ x \ $mapsto$ x \mapsto $x\mapsto x'$ x ) $\psi \mapsto \psi '$ 및 $\psi \mapsto \psi '$ 번들의 섬유에 따른 이동 $\psi \mapsto \psi '$ $\$ style $\psi \mapsto \psi$ ' $\psi \mapsto \psi '$ )).와인버그는 총 각운동량 및 고유 각운동량으로서 이러한 물리적인 ^[12]해석에 대한 추가적인 논거를 제공한다.

기타 제제

디락 방정식은 여러 가지 다른 방법으로 공식화할 수 있습니다.

곡선 시공간

이 기사는 특수상대성이론에 따라 평탄한 시공간에서 디락 방정식을 발전시켰다.곡면 시공간에서 디락 방정식을 공식화할 수 있다.

물리 공간의 대수

이 기사는 4개의 벡터와 슈뢰딩거 연산자를 사용하여 디락 방정식을 개발했습니다.물리 공간 대수의 디락 방정식은 기하학적 대수의 일종인 실수에 대한 클리포드 대수를 사용한다.

U(1) 대칭

이 섹션에서는 자연 단위를 사용합니다.커플링 상수는 관례에 따라 e{\ $displaystyle$ e $e$ 로 표시되어 있습니다. 이 매개 변수는 전자 전하를 모델링하는 것으로도 볼 수 있습니다.

벡터 대칭

Dirac 방정식과 작용은 $)\displaystyle\text$ 를 허용합니다 $.$ $\psi ,{\bar {\psi }}$ $}}($ 1) $필드$ $\psi ,{\bar {\psi }}$ 、 $ψ 、$ { \ $displaystyle \psi$ , { \ bar { \psi $}}$ 가 $\psi ,{\bar {\psi }}$ 다음과 같이 변환되는 대칭.

(x), (x), (x), (x), (x), (x), (x) (\bar) (\mapto e^{-i\alpha }, (x) (\mapto e^{-i\alpha }){\bar (x)\end { aligned}}

이것은 U

{\text{U}}(1)

1

)

라고 알려진 글로벌

대칭입니다.

U

}}

(

1)}

벡터 대칭

{\text{U}}(1)

와 반대

)

{\

displaystyle

{\text

}

U}}(1)}

축

{\text{U}}(1)

대칭: 아래 참조.노에터의 정리에 따라 그에 상응하는 보존 전류가 존재한다: 이것은 이전에 다음과 같이 언급되었다.

J^{\mu }(x)=바 {psi }}(x)\display bar ^{\mu }\psi(x).

대칭 측정

$\alpha$ α(\ $displaystyle$ \ $alpha$ $\alpha$ 에 의해 매개 변수화된 전역 대칭을 $\alpha :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {R}$ α: $\alpha :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {R}$ 1, $\alpha :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {R}$ $\alpha :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {R}$ (\ $displaystyle \alpha:\mathbb {R}$ })에 의해 매개 변수화된 경우, $e^{i\alpha }:\mathbb {R} ^{1,3}\to {\text{U}}(1),$ 이에 $e^{i\alpha }:\mathbb {R} ^{1,3}\to {\text{U}}(1),$ 하는 $e^{i\alpha }:\mathbb {R} ^{1,3}\to {\text{U}}(1),$ $e^{i\alpha }:\mathbb {R} ^{1,3}\to {\text{U}}(1),$ , 3 $).$ ${\text}$ $U}}(1),}$ 디락 $e^{i\alpha }:\mathbb {R} ^{1,3}\to {\text{U}}(1),$ 방정식은 더 이상 불변하지 않습니다. $\alpha (x)$ α ( $\alpha (x)$ x $\alpha (x)$ ) \ $display$ style \ $alpha (x$ 의 잔차 도함수가 있습니다.

스칼라 전기역학에서와 같이 수정이 진행됩니다. 편도분은 공변 $D_{\mu }$ $(\$ })로 승격됩니다.

D_{\mu }\psi =\display _ {\mu }\psi +iA_{\mu }\psi ,

D_{\mu }= {\mu } {\bar {psi }} {\mu } {\bar {\mu }.

공변 미분은 작용 중인 필드에 따라 달라집니다.새롭게

A_{\mu }

된

({

mu}})는

A_{\mu }

전기역학의 4벡터 전위이지만

{\text{U}}(1)

U(

)({displaystyle\text})

로도 볼 수 있습니다.

U}}

(1) 게이지

{\text{U}}(1)

필드 또는

)

{\

displaystyle\text}

U}}(

1)

{\text{U}}(1)

연결

{\text{U}}(1)

.

$A_{\mu }$ μ {\ $displaystyle$ A_{\ $mu}}$ 에 $A_{\mu }$ 대한 게이지 변환에 따른 변환 법칙이 일반적입니다.

\displaystyle A_{\mu }(x)\map to A_{\mu }(x)+{\frac {1}{e}}\partial _{\mu }\alpha(x)}

그러나 또한 공변 미분이 게이지 변환 하에서 다음과 같이 변환되도록 요청함으로써 도출될 수 있다.

\displaystyle D_{\mu }\psi(x)\mapto e^{i\alpha(x)}D_{\mu }\psi(x),}

\displaystyle D_{\mu}{\bar\psi }}(x)\mapsto e^{-i\alpha(x)}D_{\mu}{\bar {psi }}}(x).}

그런 다음 부분 도함수를 공변량으로 승격하여 게이지 불변 Dirac 작용을 얻는다.

S=\int d^{4}x, {\bar {psi }},(iD\!)\!\!{\big /}-m),\psi =\int d^{4}x,{\bar {\psi },(i\bar ^{\mu }-m),\psi .

게이지 불변 라그랑지안을 적기 위해 필요한 마지막 단계는 맥스웰 라그랑지안을 추가하는 것이다.

S_{\text{Maxwell}}=\int d^{4}x,-{\frac {1}{4}F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}}

이것들을 합치면

QED 액션

$\displaystyle S_{\text{Q}ED}}=\int d^{4}x,-{\frac {1}{4}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+{\bar {psi }},(iD\!)\!\!{\big /}-m),\psi }$

공변 미분을 확장하면 동작을 두 번째 유용한 형식으로 작성할 수 있습니다.

\displaystyle S_{\text{Q}ED}}=\int d^{4}x,-{\frac {1}{4}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+{\bar {psi }},(i\flac \!)\!{\big /}-m),\psi - eJ^{\mu }A_{\mu }}

축대칭

질량 없는 Dirac 페르미온, 즉 m $= 0인$ Dirac 방정식을 만족하는 $\psi (x)$ 필드 $\psi (x)$ ( $\psi (x)$ ) {\ $displaystyle$ $\psi (x$ $m=0$ }, 즉 두 번째 ${\text{U}}(1)$ U ( ${\text{U}}(1)$ ) ${\text{U}}(1)$ { $displaystyle \text}$ $U}}($ 1) $대칭$

이는 4성분 Dirac 페르미온 $\psi (x)$ ( $\psi (x)$ $){displaystyle \psi (x)}$ 를 $\psi (x)$ 2성분 벡터 필드의 쌍으로 쓰면 가장 쉽게 알 수 있습니다.

\psi (x)=pmatrix}\psi _{1}(x)\psi _{2}(x)\end {pmatrix}

그리고 감마 행렬에 대해

i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }

표현을 채택하여

i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }

i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }

μ {\

displaystyle

i\display ^{\

mu

}\display

_{\mu

}}를

i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }

작성한다.

i\mu }\display {\mu}=display {pmatrix} 0&i\display ^{\mu}\display {\mu}\display {\mu}\display {\mu}\display {\mu}\displatrix

여기서

(\displaystyle

\sigma ^{\

mu}}

에는

\sigma ^{\mu }

컴포넌트

(I_{2},\sigma ^{i})

2,

(I_{2},\sigma ^{i})

i

)

가 있고 μ(\displaystyle

(

I_

{

2},\sigma

^{

i

})

및

(\

(I_{2},-\sigma ^{i})

{\bar {\sigma }}^{\mu }

{\

sigma })

에는

{\bar {\sigma }}^{\mu }

컴포넌트

I

2,

(I_{2},-\sigma ^{i})

-

^2-i

가 있습니다.

그런 다음 Dirac 액션은 다음 형식을 취합니다.

S=\int d^{4}x,\psi _{1}^{\display }(i\display ^{\mu})\psi _{1}+\psi _{2}^{\display }(i\displaystyle }{\mu })\psi _{\display }

즉, 그것은 두 개의 와일 스피너 또는 와일 페르미온 이론으로 분리된다.

이전의 벡터 대칭은 여전히 존재하며, $\psi _{1}$ 1 $($ 스타일 \ $psi$ _ ${1})$ 과 $\psi _{1}$ $\psi _{2}$ 2 $($ 스타일 $\psi$ _ ${2})$ 는 $\psi _{2}$ 동일하게 회전한다.이러한 형태의 행동은 두 번째 ${\text{U}}(1)$ U( $)$ 를 만듭니다 $.$ $U}}(1)}$ 대칭 ${\text{U}}(1)$ 매니페스트:

{displaystyle} \psi _{1}(x) \mapsto e^{i\display } \psi _{1}(x)\mapstyle e^{-i\display } \psi _{2}(x)\mapsty\end { aligned}

이것은 또한 디락 페르미온의 수준에서 다음과 같이 표현될 수 있다.

\displaystyle \psi(x)\mapsto \exp(i\displays ^{5}\psi(x)}

\displaystyle \exp }

는

\exp

행렬의 지수 맵입니다.

$이뿐만$ 이 $아닙니다.$ $U}}($ 1)의 ${\text{U}}(1)$ 대칭이 가능하지만, 이것은 종래의 방식입니다.벡터 대칭과 축 대칭의 '선형 조합'도 모두 ${\text{U}}(1)$ ( $)\displaystyle\$ text{ $text}$ $U}}($ 1) $대칭$

고전적으로 축대칭은 잘 공식화된 게이지 이론을 허용합니다.하지만 양자 차원에서는 이상, 즉 측량을 방해하는 것이 있습니다.

색상 대칭으로의 확장

이 논의를 아벨리안 ${\text{U}}(1)$ ( ${\text{U}}(1)$ 1)에서 $확장$ 할 수 있습니다 $.$ $U}}($ 1)은 ${\text{U}}(1)$ $게이지$ 그룹G {\ $displaystyle$ G $G$ 에서 일반 비벨 대칭에 대한 대칭으로 이론의 색상 대칭 그룹입니다.

구체적으로는 $G={\text{SU}}(N)$ $G={\text{SU}}(N)$ $G={\text{SU}}(N)$ ( $G={\text{SU}}(N)$ ) { $displaystyle$ G = $substext {$ $SU}}(N$ $(\$ 에 작용하는 특별한 단일 매트릭스 그룹입니다.

$\psi (x)$ 섹션 이전에는 display ( $\psi (x)$ x ) $\psi (x)$ { $displaystyle$ $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\mapsto \mathbb {C} ^{4}$ \ $psi$ $( x$ )는 $\psi (x)$ 민코프스키 공간상의 스피너 필드, 즉 $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\mapsto \mathbb {C} ^{4}$ : R $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\mapsto \mathbb {C} ^{4}$ , 3 $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\mapsto \mathbb {C} ^{4}$ C 4 $\mathbb {C} ^{4}$ ( \ $displaystyle$ \psi : \ $mathbb$ { R } $^$ { 1 $,$ 3 } \ $mapto$ \ $mathbb$ { $C ^$ $\mathbb {C} ^{4}$ $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\mapsto \mathbb {C} ^{4}$ 로 볼 수 $있었습니다.$ $\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots$ β, $\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots$ $\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots$ , β, $\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots$ β, β, $β$ , \ $beta,$ \ $gamma$ \ $cdots$ 의 선두에서 가져온 그리스 지수.

이 이론을 게이지 이론으로 승격시키면 $\psi$ 으로 $\psi$ $(\$ $displaystyle$ $\mathbb {C} ^{N$ 과 $\psi$ 같은 변환 부품을 취득하여 색지수(통례 라틴어 $i,j,k,\cdots$ i, $i,j,k,\cdots$ $k$ ${\$ {\display $i$ $,$ $,$ k, $cdots$ $})$ 표기됩니다 $\psi (x)$ $4N(\$ displaystyle $\psi ^{i,\alpha }(x)$ $4N)$ 컴포넌트 $4N$ , $\psi ^{i,\alpha }(x)$ i , $\psi ^{i,\alpha }(x)$ α ( $\psi ^{i,\alpha }(x)$ ){ $displaystyle \psi$ ^{i , \alpha $\psi ^{i,\alpha }(x)$ )}로 인덱스에 표시됩니다.'spinor'는 시공간 변환에서 필드가 어떻게 변환되는지만 표시합니다.

$\psi (x)$ 으로는 $\psi (x)$ δ ( $\psi (x)$ x $){displaystyle \psi (x)}$ 는 $\psi (x)$ 텐서 곱으로 평가된다. 즉, 함수 $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {C} ^{4}\otimes \mathbb {C} ^{N}.$ $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {C} ^{4}\otimes \mathbb {C} ^{N}.$ 1, $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {C} ^{4}\otimes \mathbb {C} ^{N}.$ $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {C} ^{4}\otimes \mathbb {C} ^{N}.$ $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {C} ^{4}\otimes \mathbb {C} ^{N}.$ $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {C} ^{4}\otimes \mathbb {C} ^{N}.$ C N $.$ { $displaystyle \psi$ : $\mathbb {R} ^{1,3}\to$ \ $mathbb$ { $C}$ ^{C} ^{ $C}$ ^mathbbbb} C.

게이징은 ${\text{U}}(1)$ U $)$ 와 유사하게 $진행됩니다.$ $U}}($ 1) $케이스$ 몇 가지 차이점이 있습니다.게이지 $U:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\text{SU}}(N),$ U $U:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\text{SU}}(N),$ $U:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\text{SU}}(N),$ , $U:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\text{SU}}(N),$ $U:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\text{SU}}(N),$ ( $U:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\text{SU}}(N),$ ) , $U:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\text{SU}}(N),$ { $displaystyle$ U $:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {text}$ $SU}}(N),}$ 스피너 $U:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\text{SU}}(N),$ 필드는 다음과 같이 변환됩니다.

\displaystyle \psi(x)\mapto U(x)\psi(x)}

(x) U^{\dagger }(x)로 이동합니다.}

매트릭스 값 게이지

A_{\mu }

A_{\mu }

μ {\

displaystyle A_{\mu

}}

{\text{SU}}(N)

SU

{\text{SU}}(N)

) {\

displaystyle

{\text

}

SU}}(N)}

연결

{\text{SU}}(N)

변환:

\displaystyle A_{\mu }(x)\map to U(x)A_{\mu }(x)U(x)+{\frac {1}{g}(부분_{\mu }U(x))U(x)^{-1}

그리고 정의된 공변 도함수

\displaystyle D_{\mu }\psi =\display_{\mu }\psi +igA_{\mu }\psi ,}

D_{\mu }{\bar {\mu }= {\mu }{\bar {\mu }}-igbar {\psi }A_{\mu }^{\mu }

로서 변모하다.

\displaystyle D_{\mu }\psi(x)\map to U(x)D_{\mu }\psi(x),}

\displaystyle D_{\mu}{\bar {psi }}(x)\mapsto(D_{\mu }{\bar {psi }}(x)U(x)^{\dagger}}

게이지 불변동 액션을 기록하는 것은 U ${\text{U}}(1)$ 1 $)$ 와 $동일하게 진행됩니다.$ $U}}($ 1) $케이스$ Maxwell Lagrangian을 Yang-Mills Lagrangian으로 대체

({displaystyle S_{\text{Y-M}}=\int d^{4}x,-{\frac {1}{4}}{\text{Tr}}(F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}})

여기서 Yang-Mills 장 강도 또는 곡률은 다음과 같이 정의됩니다.

\displaystyle F_{\mu \nu }=\display_{\mu}A_{\nu}-A_{\mu}-ig\left[A_{\mu},A_{\nu}\right]}

[\cdot ,\cdot ]

[\cdot ,\cdot ]

[ ]

[\cdot ,\cdot ]

[ ] {

displaystyle

[ \

cdot

, \

cdot ]

는

[\cdot ,\cdot ]

매트릭스 정류자입니다.

액션은 다음과 같습니다.

QCD 액션

$\displaystyle S_{\text{Q}CD}}=\int d^{4}x,-{\frac {1}{4}}{\text{Tr}(F^{\mu\nu}}F_{\mu\nu}}}+{\bar {psi }}},(iD\!)!\!\!{\big /}-m),\psi }$

물리 어플리케이션

$N=3$ 애플리케이션의 경우, 케이스 $=$ 3(\ $displaystyle$ N=3)은 $N=3$ 강력한 상호작용을 모델링하는 표준 모델의 쿼크 섹터를 나타냅니다.쿼크는 Dirac 스피너로 모델링되며 게이지 필드는 글루온 필드입니다. $N=2$ N $N=2$ { $style$ N $=2}$ 는 $N=2$ 표준 모델의 전기 약 섹터의 일부를 나타냅니다.전자 및 중성미자와 같은 렙톤은 Dirac 스피너이며, 게이지 필드는 W $(\displaystyle$ W $)$ $W$ 보손입니다.

일반화

이 표현은 $(\$ A_ ${\mu})$ 와 $A_{\mu }$ 표현 $displaystyle (\rho,G,V$ 을 가진 임의의 $Lie$ 그룹 G(\ $displaystyle$ G)로 $G$ 일반화할 수 있습니다. 여기서 $"\displaystyle \psi"$ 의 $\psi$ 색 부분은 공식적으로 V $(\displaystyle$ V $V$ 로 평가됩니다. $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {C} ^{4}\otimes V.$ $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {C} ^{4}\otimes V.$ : $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {C} ^{4}\otimes V.$ , 3 $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {C} ^{4}\otimes V.$ $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {C} ^{4}\otimes V.$ 4 $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {C} ^{4}\otimes V.$ V $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {C} ^{4}\otimes V.$ . { $displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{1,3}\ to \mathbb {C}$ ^{ $4}\otimes$ V $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {C} ^{4}\otimes V.$ }

다음으로 $\psi$ {\ $displaystyle \psi}$ 는 게이지 $g:\mathbb {R} ^{1,3}\to G$ $g:\mathbb {R} ^{1,3}\to G$ R $g:\mathbb {R} ^{1,3}\to G$ , $g:\mathbb {R} ^{1,3}\to G$ 3 $g:\mathbb {R} ^{1,3}\to G$ {\ $displaystyle$ g $:\mathbb {R}$ ^{1 $,3}\to$ G $}$ 에서 $g:\mathbb {R} ^{1,3}\to G$ 다음과 같이 변환합니다 $\psi$ .

\displaystyle \psi(x)\mapsto \rho(g(x)\psi(x)}

그리고 공변 미분이 정의된다.

D_{\mu }\psi =\display _{\mu }\psi +\rho (A_{\mu })\psi

여기서 우리는

{\(\displaystyle

\rho

)

을

\rho

라이

{\mathfrak {g}}={\text{L}}(G)

g

{\mathfrak {g}}={\text{L}}(G)

(

{\mathfrak {g}}={\text{L}}(G)

)\displaystyle(\mathfrak {

g} =

text{\

displaystyle(\displaystyle

\rho

})의 Lie 대수 표현으로 본다.

L}}(G)}

은

{\mathfrak {g}}={\text{L}}(G)

(는

)

G{

displaystyle

G

G

와

G

되어 있습니다.

이 이론은 곡선 시공간으로 일반화될 수 있지만, 게이지 이론에서 일반 시공간(또는 더 일반적으로 매니폴드)에서 발생하는 미묘한 점이 있으며, 이는 평평한 시공간에서 무시할 수 있습니다.이는 궁극적으로 R $\mathbb {R} ^{1,3}$ , $(\$ 에서 글로벌하게 정의된 게이지 필드 및 게이지 변환을 볼 수 있는 평평한 시공간 수축성 때문입니다.

「」를 참조해 주세요.

디락 방정식에 관한 기사

기타 방정식

기타 토픽

레퍼런스

인용문

^ P.W. Atkins (1974). Quanta: A handbook of concepts. Oxford University Press. p. 52. ISBN 978-0-19-855493-6.
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^ Collas, Peter; Klein, David (2019). The Dirac Equation in Curved Spacetime: A Guide for Calculations. Springer. p. 7. ISBN 978-3-030-14825-6. 7페이지 발췌
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^ Claude Itzykson and Jean-Bernard Zuber, (1980) "양자장이론", McGraw-Hill(2장 참조)
^ 제임스 D.비요켄, 시드니 DDrell(1964) "상대론적 양자역학", McGraw-Hill. (제2장 참조)
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엄선된 논문

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Frisch, R.; Stern, O. (1933). "Über die magnetische Ablenkung von Wasserstoffmolekülen und das magnetische Moment des Protons. I". Zeitschrift für Physik. 85 (1–2): 4. Bibcode:1933ZPhy...85....4F. doi:10.1007/BF01330773. S2CID 120793548.

교재

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Shankar, R. (1994). Principles of Quantum Mechanics (2nd ed.). Plenum.
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외부 링크

MathPages에서의 Dirac 방정식
디랙 방정식의 성질, 그 해 및 스핀^{[영구 데드링크]}
스핀 1⁄2 입자의 디락 방정식
Dirac 방정식, 스피너 및 상대론적 스핀/헬리시티 연산자에 대한 단계별 소개를 보려면 4장을 클릭하십시오.
BBC 다큐멘터리 아톰 3 현실의 환상

[1] P.W. Atkins (1974). Quanta: A handbook of concepts. Oxford University Press. p. 52. ISBN 978-0-19-855493-6.

[2] T.Hey, P.Walters (2009). The New Quantum Universe. Cambridge University Press. p. 228. ISBN 978-0-521-56457-1.

[3] Gisela Dirac-Wahrenburg. "Paul Dirac". Dirac.ch. Retrieved 12 July 2013.

[4] Dirac, Paul A.M. (1982) [1958]. Principles of Quantum Mechanics. International Series of Monographs on Physics (4th ed.). Oxford University Press. p. 255. ISBN 978-0-19-852011-5.

[5] Collas, Peter; Klein, David (2019). The Dirac Equation in Curved Spacetime: A Guide for Calculations. Springer. p. 7. ISBN 978-3-030-14825-6. 7페이지 발췌

[6] Pendleton, Brian (2012–2013). Quantum Theory (PDF). section 4.3 "The Dirac Equation".

[Ohlsson2011-7] Ohlsson, Tommy (22 September 2011). Relativistic Quantum Physics: From advanced quantum mechanics to introductory quantum field theory. Cambridge University Press. p. 86. ISBN 978-1-139-50432-4.

[8] 위르겐 요스트, (2002) "리만난 기하학과 기하학적 해석 (제3판)" 스프링거 대학.(스핀 구조는 1장, 스핀 구조는 3장 참조)

[iz-9] Claude Itzykson and Jean-Bernard Zuber, (1980) "양자장이론", McGraw-Hill(2장 참조)

[10] 제임스 D.비요켄, 시드니 DDrell(1964) "상대론적 양자역학", McGraw-Hill. (제2장 참조)

[weinberg-11] Steven Weinberg, (1972) "중력과 우주론: 일반 상대성 이론의 원리와 응용" (12.5장 "테트라 형식주의" 페이지 367ff 참조).

[12] 와인버그, "중력", op cit.(2.9장 "회전"(46-47페이지)을 참조하십시오.)

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v t 양자역학
배경	서론 역사 타임라인 고전 역학 구 양자론 용어집
기초	타고난 규칙 브라켓 표기법 상보성 밀도 매트릭스 에너지 레벨 접지 상태 들뜬 상태 퇴화 수준 제로 포인트 에너지 얽힘 해밀턴식 방해다 데코히렌스 측정. 비국소성 양자 상태 중첩 터널링 산란 이론 양자역학에서의 대칭성 불확실성 파동 함수 접다 파동-입자 이중성
제제	제제 하이젠베르크 상호 작용 행렬 역학 슈뢰딩거 경로 적분 공식 위상 공간
방정식	디락 클라인-고든 파울리 리드버그 슈뢰딩거
해석	해석 베이지안 일관성 있는 이력 코펜하겐 브로이쾅 앙상블 숨김 변수 현지의 다세계 객관적 붕괴 양자 논리 관계형 트랜잭션 반 노이만 위그너
실험	벨 부등식 데이비슨-게르머 선택 지연 양자 지우개 더블 슬릿 프랑크-헤르츠 마하-젠더 간섭계 엘리추르-바이드만 포퍼 양자 지우개 스턴-게라크 Wheeler의 지연
과학	양자생물학 양자 화학 양자 카오스 양자 우주론 양자 미분학 양자역학 양자 기하학 양자 측정 문제 양자 확률 미적분 양자 시공간
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