윌리엄스 수

수 이론에서 윌리엄스 숫자 베이스 b는 정수 b ≥ 2와 n ≥ 1에 대한 $(b-1)\cdot b^{n}-1$ ( $(b-1)\cdot b^{n}-1$ - $(b-1)\cdot b^{n}-1$ ) $(b-1)\cdot b^{n}-1$ $(b-1)\cdot b^{n}-1$ - $(b-1)\cdot b^{n}-1$ ${\displaystyle (b-1)\cdot$ b $^{n}-1}$ 형식의 자연적인 숫자다.^[1]윌리엄스의 숫자 베이스 2는 메르센의 숫자다.

윌리엄스 프라임

Williams prime은 Williams의 prime이다.그들은 휴 C에 의해 고려되었다. 윌리엄스.^[2]

(b-1)/bⁿ - 1이 prime인 최소 n ≥ 1: (b = 2)로 시작)

2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 14, 1, 1, 2, 6, 1, 1, 1, 55, 12, 1, 133, 1, 20, 1, 2, 1, 1, 2, 15, 3, 1, 7, 136211, 1, 1, 7, 1, 7, 7, 1, 1, 1, 2, 1, 25, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 899, 3, 11, 1, 1, 1, 63, 1, 13, 1, 25, 8, 3, 2, 7, 1, 44, 2, 11, 3, 81, 21495, 1, 2, 1, 1, 3, 25, 1, 519, 77, 476, 1, 1, 2, 1, 4983, 2, 2, ...

b	(b-1)×b-1이ⁿ prime인 숫자 n ≥ 1 (이 n은 최대 25000까지 점검됨)	OEIS 시퀀스
2	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281, 77232917,82589933, ...	A000043
3	1, 2, 3, 7, 8, 12, 20, 23, 27, 35, 56, 62, 68, 131, 222, 384, 387, 579, 644, 1772, 3751, 5270, 6335, 8544, 9204, 12312, 18806, 21114, 49340, 75551, 90012, 128295, 143552, 147488, 1010743, 1063844, 1360104, ...	A003307
4	1, 2, 3, 9, 17, 19, 32, 38, 47, 103, 108, 153, 162, 229, 235, 637, 1638, 2102, 2567, 6338, 7449, 12845, 20814, 40165, 61815, 77965, 117380, 207420, 351019, 496350, 600523, 1156367, 2117707, 5742009, 5865925, 5947859, ...	A272057
5	1, 3, 9, 13, 15, 25, 39, 69, 165, 171, 209, 339, 2033, 6583, 15393, 282989, 498483, 504221, 754611, 864751, ...	A046865
6	1, 2, 6, 7, 11, 23, 33, 48, 68, 79, 116, 151, 205, 1016, 1332, 1448, 3481, 3566, 3665, 11233, 13363, 29166, 44358, 58530, 191706, ...	A079906
7	1, 2, 7, 18, 55, 69, 87, 119, 141, 189, 249, 354, 1586, 2135, 2865, 2930, 4214, 7167, 67485, 74402, 79326, ...	A046866
8	3, 7, 15, 59, 6127, 8703, 11619, 23403, 124299, ...	A268061
9	1, 2, 5, 25, 85, 92, 97, 649, 2017, 2978, 3577, 4985, 17978, 21365, 66002, 95305, 142199, ...	A268356
10	1, 3, 7, 19, 29, 37, 93, 935, 8415, 9631, 11143, 41475, 41917, 48051, 107663, 212903, 223871, 260253, 364521, 383643, 1009567, ...	A056725
11	1, 3, 37, 119, 255, 355, 371, 497, 1759, 34863, 50719, 147709, 263893, ...	A046867
12	1, 2, 21, 25, 33, 54, 78, 235, 1566, 2273, 2310, 4121, 7775, 42249, 105974, 138961, ...	A079907
13	2, 7, 11, 36, 164, 216, 302, 311, 455, 738, 1107, 2244, 3326, 4878, 8067, 46466, ...	A297348
14	1, 3, 5, 27, 35, 165, 209, 2351, 11277, 21807, 25453, 52443, ...	A273523
15	14, 33, 43, 20885, ...
16	1, 20, 29, 43, 56, 251, 25985, 27031, 142195, 164066, ...
17	1, 3, 71, 139, 265, 793, 1729, 18069, ...
18	2, 6, 26, 79, 91, 96, 416, 554, 1910, 4968, ...
19	6, 9, 20, 43, 174, 273, 428, 1388, ...
20	1, 219, 223, 3659, ...
21	1, 2, 7, 24, 31, 60, 230, 307, 750, 1131, 1665, 1827, 8673, ...
22	1, 2, 5, 19, 141, 302, 337, 4746, 5759, 16530, ...
23	55, 103, 115, 131, 535, 1183, 9683, ...
24	12, 18, 63, 153, 221, 1256, 13116, 15593, ...
25	1, 5, 7, 30, 75, 371, 383, 609, 819, 855, 7130, 7827, 9368, ...
26	133, 205, 215, 1649, ...
27	1, 3, 5, 13, 15, 31, 55, 151, 259, 479, 734, 1775, 2078, 6159, 6393, 9013, ...
28	20, 1091, 5747, 6770, ...
29	1, 7, 11, 57, 69, 235, 16487, ...
30	2, 83, 566, 938, 1934, 2323, 3032, 7889, 8353, 9899, 11785, ...

2018년^[update] 9월 현재 윌리엄스 프라임 베이스 3는 2×3-1이다^1360104.^[3]

일반화

제2종 베이스 b의 윌리엄스 번호는 정수 b ≥ 2와 n ≥ 1의 $(b-1)\cdot b^{n}+1$ $(b-1)\cdot b^{n}+1$ - 1 $(b-1)\cdot b^{n}+1$ ) $(b-1)\cdot b^{n}+1$ b $(b-1)\cdot b^{n}+1$ + $(b-1)\cdot b^{n}+1$ ${\displaystyle (b-1)\cdot$ b $^{n}+1}$ 의 자연적인 번호로, 제2종 윌리엄스 프라임은 제2종 윌리엄스 프라임인 제2종이다.2종 베이스 2의 윌리엄스 프리메스는 정확히 페르마 프리메스다.

(b-1)/bⁿ + 1이 prime인 최소 n ≥ 1: (b = 2로 시작)

1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 10, 3, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 29, 14, 1, 1, 14, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 5, 12, 2, 1, 2, 2, 9, 16, 1, 2, 80, 1, 2, 4, 2, 3, 16, 2, 2, 2, 1, 15, 960, 15, 1, 4, 3, 1, 14, 1, 6, 20, 1, 3, 946, 6, 1, 18, 10, 1, 4, 1, 5, 42, 4, 1, 828, 1, 1, 2, 1, 12, 2, 6, 4, 30, 3, 3022, 2, 1, 1, 8, 2, 4, 4, 2, 11, 8, 2, 1, ... (sequence A305531 in tHE OEIS)

b	(b-1)×bⁿ+1이 prime인 숫자 n such 1 (이 n은 최대 25000까지 점검됨)	OEIS 시퀀스
2	1, 2, 4, 8, 16, ...
3	1, 2, 4, 5, 6, 9, 16, 17, 30, 54, 57, 60, 65, 132, 180, 320, 696, 782, 822, 897, 1252, 1454, 4217, 5480, 6225, 7842, 12096, 13782, 17720, 43956, 64822, 82780, 105106, 152529, 165896, 191814, 529680, 1074726, 1086112, 1175232, ...	A003306
4	1, 3, 4, 6, 9, 15, 18, 33, 138, 204, 219, 267, 1104, 1408, 1584, 1956, 17175, 21147, 24075, 27396, 27591, 40095, 354984, 400989, 916248, 1145805, 2541153, 5414673, ...	A326655
5	2, 6, 18, 50, 290, 2582, 20462, 23870, 26342, 31938, 38122, 65034, 70130, 245538, ...	A20432
6	1, 2, 4, 17, 136, 147, 203, 590, 754, 964, 970, 1847, 2031, 2727, 2871, 5442, 7035, 7266, 11230, 23307, 27795, 34152, 42614, 127206, 133086, ...	A247260
7	1, 4, 9, 99, 412, 2633, 5093, 5632, 28233, 36780, 47084, 53572, ...	A245241
8	2, 40, 58, 60, 130, 144, 752, 7462, 18162, 69028, 187272, 268178, 270410, 497284, 713304, 722600, 1005254, ...	A269544
9	1, 4, 5, 11, 26, 29, 38, 65, 166, 490, 641, 2300, 9440, 44741, 65296, 161930, ...	A056799
10	3, 4, 5, 9, 22, 27, 36, 57, 62, 78, 201, 537, 696, 790, 905, 1038, 66886, 70500, 91836, 100613, 127240, ...	A056797
11	10, 24, 864, 2440, 9438, 68272, 148602, ...	A057462
12	3, 4, 35, 119, 476, 507, 6471, 13319, 31799, ...	A251259
13	1, 2, 4, 21, 34, 48, 53, 160, 198, 417, 773, 1220, 5361, 6138, 15557, 18098, ...
14	2, 40, 402, 1070, 6840, ...
15	1, 3, 4, 9, 11, 14, 23, 122, 141, 591, 2115, 2398, 2783, 3692, 3748, 10996, 16504, ...
16	1, 3, 11, 12, 28, 42, 225, 702, 782, 972, 1701, 1848, 8556, 8565, 10847, 12111, 75122, 183600, 307400, 342107, 416936, ...
17	4, 20, 320, 736, 2388, 3344, 8140, ...
18	1, 6, 9, 12, 22, 30, 102, 154, 600, ...
19	29, 32, 59, 65, 303, 1697, 5358, 9048, ...
20	14, 18, 20, 38, 108, 150, 640, 8244, ...
21	1, 2, 3, 4, 12, 17, 38, 54, 56, 123, 165, 876, 1110, 1178, 2465, 3738, 7092, 8756, 15537, 19254, 24712, ...
22	1, 9, 53, 261, 1491, 2120, 2592, 6665, 9460, 15412, 24449, ...
23	14, 62, 84, 8322, 9396, 10496, 24936, ...
24	2, 4, 9, 42, 47, 54, 89, 102, 118, 269, 273, 316, 698, 1872, 2126, 22272, ...
25	1, 4, 162, 1359, 2620, ...
26	2, 18, 100, 1178, 1196, 16644, ...
27	4, 5, 167, 408, 416, 701, 707, 1811, 3268, 3508, 7020, 7623, 16449, ...
28	1, 2, 136, 154, 524, 1234, 2150, 2368, 7222, 10082, 14510, 16928, ...
29	2, 4, 6, 44, 334, 24714, ...
30	4, 5, 9, 18, 71, 124, 165, 172, 888, 2218, 3852, 17871, 23262, ...

2018년^[update] 9월 현재, 2종 베이스 3의 가장 큰 것으로 알려진 윌리엄스^1175232 프라임은 2×3+1이다.^[4]

제3종 베이스 b의 윌리엄스 번호는 정수 b ≥ 2와 n 1 $(b+1)\cdot b^{n}-1$ 의 $(b+1)\cdot b^{n}-1$ 형식 $(b+1)\cdot b^{n}-1$ + $(b+1)\cdot b^{n}-1$ ) $(b+1)\cdot b^{n}-1$ b $(b+1)\cdot b^{n}-1$ - $(b+1)\cdot b^{n}-1$ $(b+1)\cdot b^{n}-1$ 의 자연적인 번호로, 제3종 베이스 2의 윌리엄스 번호는 정확히 타비트 번호다.제3종 윌리엄스 프라임은 제3종 윌리엄스의 프라임이다.

A Williams number of the fourth kind base b is a natural number of the form $(b+1)\cdot b^{n}+1$ for integers b ≥ 2 and n ≥ 1, a Williams prime of the fourth kind is a Williams number of the fourth kind that is prime, such primes do not exist for $b\equiv 1{\bmod {3$ $}}$ .

b	n $(b+1)\cdot b^{n}-1$ ( $(b+1)\cdot b^{n}-1$ + $(b+1)\cdot b^{n}-1$ ) $(b+1)\cdot b^{n}-1$ $(b+1)\cdot b^{n}-1$ - $(b+1)\cdot b^{n}-1$ $(b+1)\cdot b^{n}-1$ 과 $(b+1)\cdot b^{n}-1$ 같은 숫자 n	$(b+1)\cdot b^{n}+1$ $(b+1)\cdot b^{n}+1$ + $(b+1)\cdot b^{n}+1$ ) $(b+1)\cdot b^{n}+1$ $(b+1)\cdot b^{n}+1$ + $(b+1)\cdot b^{n}+1$ $(b+1)\cdot b^{n}+1$ 과 $(b+1)\cdot b^{n}+1$ 같은 숫자 n
2	OEIS: A002235	OEIS: A002253
3	OEIS: A005540	OEIS: A005537
5	OEIS: A257790	OEIS: A143279
10	OEIS: A111391	(존재하지 않음)

b≥ 2마다, 1종(원래 윌리엄스 프리메이스) 베이스 b의 윌리엄스 프리메임이 무한히 많고, 2종 베이스 b의 윌리엄스 프리메임이 무한히 많으며, 3종 베이스 B의 윌리엄 프리메임이 무한히 많을 것으로 추측된다.게다가 만약 b가 1모드 3이 아니라면, 4번째 종류의 베이스 b의 윌리엄스의 프라임이 무한히 많다.

이중 형태

n이 음수 값을 취하도록 하고, 숫자의 분자를 선택하면 다음과 같은 숫자가 나온다.

첫 번째 종류 베이스 b의 이중 윌리엄스 번호: b ≥ $b^{n}-(b-1)$ 와 n ≥ 1이 있는 $b^{n}-(b-1)$ $b^{n}-(b-1)$ - $b^{n}-(b-1)$ ( $b^{n}-(b-1)$ - $b^{n}-(b-1)$ ) ${\displaystyle$ b $^{n}-(b-1)$ 형식의 번호.

두 번째 종류의 베이스 b의 이중 윌리엄스 번호: b ≥ 2와 n ≥ 1이 있는 $b^{n}+(b-1)$ b $b^{n}+(b-1)$ + $b^{n}+(b-1)$ ( $b^{n}+(b-1)$ - $b^{n}+(b-1)$ ) ${\displaystyle$ b $^{n}+(b-1)$ 형식의 번호.

세 번째 종류의 베이스 b의 이중 윌리엄스 번호: b ≥ $b^{n}-(b+1)$ 와 n ≥ 1을 가진 $b^{n}-(b+1)$ $b^{n}-(b+1)$ - $b^{n}-(b+1)$ ( $b^{n}-(b+1)$ + 1 $b^{n}-(b+1)$ ) ${\displaystyle b^{n}-(b+1)$ 형식의 번호.

4종류 베이스 b의 이중 윌리엄스 번호: b ≥ 2와 n ≥ 1을 $b^{n}+(b+1)$ 가진 $b^{n}+(b+1)$ n $b^{n}+(b+1)$ + ( $b^{n}+(b+1)$ $b^{n}+(b+1)$ ) ${\displaystyle b^{n}+($ b $+1$ ) 형식의 번호. (b = 1모드 3)

각 종류의 원래 윌리엄스 프리타임과는 달리, 각 종류의 큰 이중 윌리엄 프리타임은 개연성이 있는 프리임즈일 뿐이다. 이러한 프리임즈 N의 경우, N-1이 아닌 N+1이 사소한 것으로 제품에 기록될 수 없기 때문이다.

b	$b^{n}-(b-1)$ b $b^{n}-(b-1)$ - ( $b^{n}-(b-1)$ - $b^{n}-(b-1)$ ) $b^{n}-(b-1)$ 이(가) (probable) prime(probable)인 $b^{n}-(b-1)$ 숫자 n(첫 번째 종류의 이중 윌리엄스 프리임즈)	n b $b^{n}+(b-1)$ + ( $b^{n}+(b-1)$ - $b^{n}+(b-1)$ ) ${\displaystyle$ b $^{n}+(b-1)}$ 이(가) (probable) prime(probable)인 $b^{n}+(b-1)$ 숫자 n (두 번째 종류의 윌리엄스 프리임즈)	$b^{n}-(b+1)$ b - $b^{n}-(b+1)$ ( $b^{n}-(b+1)$ + $b^{n}-(b+1)$ ) ${\displaystyle$ b $^{n}-(b+1)}$ 이(가) (probable) prime(probable)인 $b^{n}-(b+1)$ 숫자 n(제3종 윌리엄스 프리임즈)	$b^{n}+(b+1)$ b $b^{n}+(b+1)$ + $b^{n}+(b+1)$ ( b $b^{n}+(b+1)$ + $b^{n}+(b+1)$ ) ${\displaystyle$ b $^{n}+(b+1)}$ 이(가) (probable) prime(probable)인 $b^{n}+(b+1)$ 숫자 n (4번째 종류의 이중 윌리엄스 프라임)
2	OEIS: A000043	(페르마트 프라임 참조)	OEIS: A050414	OEIS: A057732
3	OEIS: A014224	OEIS: A051783	OEIS: A058959	OEIS: A058958
4	OEIS: A059266	OEIS: A089437	OEIS: A217348	(존재하지 않음)
5	OEIS: A059613	OEIS: A124621	OEIS: A165701	OEIS: A089142
6	OEIS: A059614	OEIS: A145106	OEIS: A217352	OEIS: A217351
7	OEIS: A191469	OEIS: A217130	OEIS: A217131	(존재하지 않음)
8	OEIS: A217380	OEIS: A217381	OEIS: A217383	OEIS: A217382
9	OEIS: A177093	OEIS: A217385	OEIS: A217493	OEIS: A217492
10	OEIS: A095714	OEIS: A088275	OEIS: A092767	(존재하지 않음)

(1, 2, 3종 베이스 b 중 가장 작은 이중 윌리엄스는 OEIS: A113516, OEIS: A076845 및 OEIS: A178250을 참조하십시오.)

b≥ 2마다, 1종(원래 윌리엄스 프리메이스) 베이스 b의 더블 윌리엄스 프리메임이 무한히 많고, 2종 베이스 b의 듀얼 윌리엄스 프리메임이 무한히 많으며, 3종 베이스 B의 듀얼 윌리엄스 프리메임이 무한히 많을 것으로 추측된다.게다가 b가 1모드 3이 아니라면, 4종 베이스 b의 2중 윌리엄스가 무한히 많다.

참고 항목

타비트 번호, 정확히 3종 베이스 2의 윌리엄스 번호다.

참조

^ 윌리엄스 프라임즈
^ 이 문서의 마지막 페이지에서 표 1을 참조하십시오.Williams, H. C. (1981). "The primality of certain integers of the form 2 A rⁿ – 1". Acta Arith. 39: 7–17. doi:10.4064/aa-39-1-7-17.
^ 프라임 데이터베이스: 2/3^1360104 - 1
^ 프라임 데이터베이스: 2/3^1175232 + 1

외부 링크

[1] 윌리엄스 프라임즈

[2] 이 문서의 마지막 페이지에서 표 1을 참조하십시오.Williams, H. C. (1981). "The primality of certain integers of the form 2 A rⁿ – 1". Acta Arith. 39: 7–17. doi:10.4064/aa-39-1-7-17.

[3] 프라임 데이터베이스: 2/3^1360104 - 1

[4] 프라임 데이터베이스: 2/3^1175232 + 1

[1]

[2]

[3]

[4]

v t 프라임 번호 클래스
수식별	페르마( $2 2 n$ + $1$ ) 메르센( $2 p$ - $1$ ) 더블 메르센( $2 2 p -1$ - $1$ ) 와그스태프( $2 p +1)/3$ 프로트( $k /2 n$ + $1$ ) 요인( $n!$ ± $1$ ) 원시적( $p n #$ ± $1$ ) 유클리드( $p n #$ + $1$ ) 피타고라스 ( $4n$ + 1) 삐에폰트(2 $/3 m n$ + $1$ ) 쿼탄( $x 4 4$ + y) 솔리나스( $2 m$ ± 2 ± $1 n$ ) 컬렌 ( $n \cdot2 n$ + $1$ ) 우달( $n /2 n$ - $1$ ) 쿠바어( $x 3 3$ - y $)/(x$ - $y$ ) 레이랜드( $x y x$ + y) 타비트( $3/2 n$ - $1$ ) 윌리엄스 ( $b-1)\cdot b n$ - $1$ ) 밀스(⌊ $A 3 n ⌋)$
정수순별	피보나치 루카스 펠 뉴먼-상크스-윌리엄스 페린 파티션 벨 모츠킨
재산별	위페리히 (페어) 월선 월스텐홀름 윌슨 럭키 행운의 라마누잔 필라이 정규 강하다 선미 초점수(엘리프틱 곡선) 슈퍼싱글러 (달빛설) 좋아 잘 하는 군요 힉스 매우 편협한
기저 의존적	팔린드로믹 에미르프 재단위 $(10 n$ - 1 $)/9$ 퍼머블 원형 잘릴 수 있음 미니멀 섬세한 프라임벌 풀 파충류 유니크 행복하다 셀프 스마란다체-웰린 스트로보그램법 디헤드랄 테트라디어
패턴	트윈( $p,$ p + $2$ ) 바이-트윈 체인( $n$ - 1 $, n$ + 1 $, 2n$ - 1 $, 2n$ + 1, $\dots)$ 트리플릿( $p,$ $p$ + 2 $또는$ $p$ + 4 $, p$ + $6$ ) 쿼드러플릿( $p,$ $p$ + 2 $,$ $p$ + 6 $, p$ + $8$ ) k-투플 사촌( $p,$ p + $4$ ) 섹시( $p,$ p + $6$ ) 첸 소피 제르맹/세이프( $p, 2p$ + $1$ ) 커닝햄( $p, 2p$ ± 1, $4p$ ± 3, $8p$ ± 7, $...)$ 산술수열( $p$ + $a\cdotn,$ $n$ = $0,$ 1, 2 $, 3$ , $...)$ 균형( $연속$ $p$ - $n,$ $p,$ p + $n$ )
크기별	메가(100,000자리 이상) 알려진 것 중 가장 큰 것
콤플렉스	아이젠슈타인 전성기 가우스 프라임
합성수	가성비 카탈루냐 주 타원체 오일러 오일러자코비 페르마 프로베니우스 루카스 소머루카스 강하다 카마이클 수 거의 전성기 세미프라임 인터프라임 치명적
관련 항목	개연성 프라임 산업용 프라임 불법 프라임 소수점 수식 프라임 갭
처음 60회	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
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