ความหนาแน่นของประจุ

บทความเกี่ยวกับ
แม่เหล็กไฟฟ้า
ไฟฟ้า พลังแม่เหล็ก เลนส์ ประวัติศาสตร์ การคำนวณ หนังสือเรียน ปรากฏการณ์
ไฟฟ้าสถิต ความหนาแน่นของประจุ ตัวนำ กฎของคูลอมบ์ อิเล็กเตรต ประจุไฟฟ้า ไดโพลไฟฟ้า สนามไฟฟ้า ฟลักซ์ไฟฟ้า ศักย์ไฟฟ้า การคายประจุไฟฟ้าสถิต การเหนี่ยวนำไฟฟ้าสถิต กฎของเกาส์ ฉนวน ความยินยอม โพลาไรเซชั่น พลังงานศักย์ ไฟฟ้าสถิตย์ ไตรโบอิเล็กทริก
แมกนีโตสแตติกส์ กฎของแอมแปร์ กฎของบิโอต์–ซาวาร์ต กฎแม่เหล็กเกาส์ ไดโพลแม่เหล็ก สนามแม่เหล็ก ฟลักซ์แม่เหล็ก ศักย์สเกลาร์แม่เหล็ก ศักย์เวกเตอร์แม่เหล็ก การทำให้เกิดแม่เหล็ก ความสามารถในการซึมผ่าน กฎมือขวา
ไฟฟ้ากระแส เบรมสตราลุง รังสีไซโคลตรอน กระแสการเคลื่อนที่ กระแสน้ำวน สนามแม่เหล็กไฟฟ้า การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า พัลส์แม่เหล็กไฟฟ้า รังสีแม่เหล็กไฟฟ้า กฎของฟาราเดย์ สมการเจฟิเมนโก สูตรลาร์มอร์ กฎหมายเลนซ์ ศักยภาพของลิเอนาร์–วิเชิร์ต สมการลอนดอน แรงลอเรนซ์ สมการแมกซ์เวลล์ แมกซ์เวลล์เทนเซอร์ เวกเตอร์พอยน์ติ้ง รังสีซินโครตรอน
โครงข่ายไฟฟ้า กระแสสลับ ความจุ ความหนาแน่นกระแสไฟฟ้า กระแสตรง กระแสไฟฟ้า พลังงานไฟฟ้า การแยกด้วยไฟฟ้า แรงเคลื่อนไฟฟ้า อิมพีแดนซ์ ความเหนี่ยวนำ การให้ความร้อนแบบจูล กฎของคิร์ชฮอฟฟ์ การวิเคราะห์เครือข่าย กฎของโอห์ม วงจรขนาน ความต้านทาน โพรงเรโซแนนซ์ วงจรอนุกรม แรงดันไฟฟ้า วัตต์ ท่อนำคลื่น
วงจรแม่เหล็ก มอเตอร์กระแสสลับ มอเตอร์ DC เครื่องใช้ไฟฟ้า มอเตอร์ไฟฟ้า ไจเรเตอร์-ตัวเก็บประจุ มอเตอร์เหนี่ยวนำ มอเตอร์เชิงเส้น Magnetomotive force Permeance Reluctance (complex) Reluctance (real) Rotor Stator Transformer
Covariant formulation Electromagnetic tensor Electromagnetism and special relativity Four-current Four-potential Mathematical descriptions Maxwell equations in curved spacetime Relativistic electromagnetism Stress–energy tensor
Scientists Ampère Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Helmholtz Henry Hertz Hopkinson Jefimenko Joule Kelvin Kirchhoff Larmor Lenz Liénard Lorentz Maxwell Neumann Ohm Ørsted Poisson Poynting Ritchie Savart Singer Steinmetz Tesla Thomson Volta Weber Wiechert
v t e

ในแม่เหล็กไฟฟ้าความหนาแน่นของประจุคือปริมาณประจุไฟฟ้าต่อหน่วยความยาวพื้นที่ผิวหรือปริมาตรความหนาแน่นของประจุปริมาตร (แสดงด้วยอักษรกรีก ρ) คือปริมาณประจุต่อหน่วยปริมาตร วัดในระบบSIเป็น คูลอมบ์ต่อลูกบาศก์เมตร (C⋅m ⁻³ ) ณ จุดใดก็ได้ในปริมาตร^{[1] [2] [3]} ความหนาแน่นของประจุพื้นผิว (σ) คือปริมาณประจุต่อหน่วยพื้นที่ วัดเป็นคูลอมบ์ต่อตารางเมตร (C⋅m ⁻² ) ณ จุดใดก็ได้บน การ กระจายประจุพื้นผิวบนพื้นผิวสองมิติความหนาแน่นของประจุเชิงเส้น (λ) คือปริมาณประจุต่อหน่วยความยาว วัดเป็นคูลอมบ์ต่อเมตร (C⋅m ⁻¹ ) ณ จุดใดก็ได้บนการกระจายประจุเส้นตรง ความหนาแน่นของประจุอาจเป็นค่าบวกหรือค่าลบ เนื่องจากประจุไฟฟ้าอาจเป็นค่าบวกหรือค่าลบก็ได้

เช่นเดียวกับความหนาแน่นของมวลความหนาแน่นของประจุสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตามตำแหน่ง ในทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าแบบคลาสสิกความหนาแน่นของประจุถูกทำให้เป็นอุดมคติในรูปของ ฟังก์ชัน สเกลาร์ต่อเนื่อง ของตำแหน่งเช่นเดียวกับของเหลว และ, , และมักถือว่าเป็นการกระจายประจุต่อเนื่องแม้ว่าการกระจายประจุจริงทั้งหมดจะประกอบด้วยอนุภาคที่มีประจุแยกจากกันก็ตาม เนื่องจากการอนุรักษ์ประจุไฟฟ้าความหนาแน่นของประจุในปริมาตรใดๆ จึงสามารถเปลี่ยนแปลงได้ก็ต่อเมื่อกระแสไฟฟ้าของประจุไหลเข้าหรือไหลออกจากปริมาตร ซึ่งแสดงโดยสมการความต่อเนื่องที่เชื่อมโยงอัตราการเปลี่ยนแปลงของความหนาแน่นของประจุและความหนาแน่นของกระแสไฟฟ้า${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle \sigma ({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle \lambda ({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {x}})}$

เนื่องจากประจุทั้งหมดถูกพาไปโดยอนุภาคย่อยอะตอมซึ่งสามารถคิดในอุดมคติให้เป็นจุดได้ แนวคิดของ การกระจายประจุ ต่อเนื่องจึงเป็นการประมาณ ซึ่งจะกลายเป็นสิ่งที่ไม่แม่นยำเมื่อใช้สเกลความยาวขนาดเล็ก การกระจายประจุในท้ายที่สุดประกอบด้วยอนุภาคที่มีประจุแต่ละอนุภาคที่แยกจากกันโดยภูมิภาคที่ไม่มีประจุ^[4] ตัวอย่างเช่น ประจุในวัตถุโลหะที่มีประจุไฟฟ้าประกอบด้วยอิเล็กตรอนตัวนำที่เคลื่อนที่แบบสุ่มในโครงตาข่ายผลึกของ โลหะ ไฟฟ้าสถิตเกิดจากประจุบนพื้นผิวที่ประกอบด้วยอิเล็กตรอนและไอออนใกล้พื้นผิวของวัตถุ และประจุในอวกาศในหลอดสุญญากาศประกอบด้วยกลุ่มอิเล็กตรอนอิสระที่เคลื่อนที่แบบสุ่มในอวกาศ ความหนาแน่นของตัวพาประจุในตัวนำมีค่าเท่ากับจำนวนของตัวพาประจุที่เคลื่อนที่ได้ (อิเล็กตรอน ไอออนฯลฯ)ต่อหน่วยปริมาตรความหนาแน่นของประจุที่จุดใดๆ จะเท่ากับความหนาแน่นของตัวพาประจุคูณด้วยประจุพื้นฐานบนอนุภาค อย่างไรก็ตาม เนื่องจากประจุพื้นฐานบนอิเล็กตรอนมีขนาดเล็กมาก (1.6⋅10 ⁻¹⁹ C) และมีจำนวนมากมายในปริมาตรมหภาค (มีอิเล็กตรอนการนำไฟฟ้าประมาณ 10 ^{22 ตัว}ในทองแดง 1 ลูกบาศก์เซนติเมตร) การประมาณอย่างต่อเนื่องจึงแม่นยำมากเมื่อนำไปใช้กับปริมาตรมหภาค และแม้แต่ปริมาตรจุลภาคเหนือระดับนาโนเมตร

ในระดับที่เล็กกว่าของอะตอมและโมเลกุล เนื่องมาจากหลักความไม่แน่นอนของกลศาสตร์ควอนตัมอนุภาคที่มีประจุจึงไม่มีตำแหน่งที่แน่นอน แต่แสดงโดยการแจกแจงความน่าจะเป็นดังนั้นประจุของอนุภาคแต่ละตัวจึงไม่รวมตัวกันที่จุดใดจุดหนึ่ง แต่จะถูก "กระจาย" ออกไปในอวกาศและทำหน้าที่เหมือนการแจกแจงประจุอย่างต่อเนื่องอย่างแท้จริง^[4] นี่คือความหมายของ "การแจกแจงประจุ" และ "ความหนาแน่นของประจุ" ที่ใช้ในเคมีและพันธะเคมีอิเล็กตรอนแสดงโดยฟังก์ชันคลื่น ที่มีกำลังสองเป็นสัดส่วนกับความน่าจะเป็นในการพบอิเล็กตรอนที่จุดใดๆในอวกาศ ดังนั้นจึงเป็นสัดส่วนกับความหนาแน่นของประจุของอิเล็กตรอนที่จุดใดๆ ในอะตอมและโมเลกุลประจุของอิเล็กตรอนกระจายอยู่ในกลุ่มเมฆที่เรียกว่าวงโคจรซึ่งล้อมรอบอะตอมหรือโมเลกุล และมีหน้าที่ในการสร้างพันธะเคมี${\displaystyle \psi ({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle |\psi ({\boldsymbol {x}})|^{2}}$

ต่อไปนี้เป็นคำจำกัดความสำหรับการกระจายประจุต่อเนื่อง^{[5] [6]}

ความหนาแน่นประจุเชิงเส้นคืออัตราส่วนของประจุไฟฟ้าอนันต์dQ (หน่วย SI: C ) ต่อองค์ประกอบเส้นอนันต์ ในทำนองเดียวกัน ความหนาแน่นประจุพื้นผิวใช้องค์ประกอบพื้นที่ผิวdS และความหนาแน่นประจุปริมาตรใช้องค์ประกอบปริมาตรdV$${\displaystyle \lambda _{q}={\frac {dQ}{d\ell }}\,,}$$ $${\displaystyle \sigma _{q}={\frac {dQ}{dS}}\,,}$$$${\displaystyle \rho _{q}={\frac {dQ}{dV}}\,,}$$

การรวมคำจำกัดความจะได้ประจุรวมQของภูมิภาคตามอินทิกรัลเส้นของความหนาแน่นประจุเชิงเส้นλ _q ( r ) บนเส้นตรงหรือเส้นโค้ง 1d Cใน ทำนองเดียวกัน อินทิกรั ลพื้นผิวของความหนาแน่นประจุพื้นผิว σ _q ( r ) บนพื้นผิวSและ อินทิกรัลปริมาตรของความหนาแน่นประจุปริมาตรρ _q ( r ) บนปริมาตรVโดย ที่ตัวห้อยqใช้เพื่อชี้แจงว่าความหนาแน่นนั้นใช้สำหรับประจุไฟฟ้า ไม่ใช่ความหนาแน่นอื่นๆ เช่นความหนาแน่นของมวล ความ หนาแน่นของจำนวน ความหนาแน่น ของความน่าจะเป็นและป้องกันไม่ให้เกิดการขัดแย้งกับการใช้งานอื่นๆ มากมายของλ , σ , ρในแม่เหล็กไฟฟ้าสำหรับความยาวคลื่นความต้านทานไฟฟ้า และสภาพนำไฟฟ้า$${\displaystyle Q=\int _{L}\lambda _{q}(\mathbf {r} )\,d\ell }$$$${\displaystyle Q=\int _{S}\sigma _{q}(\mathbf {r} )\,dS}$$$${\displaystyle Q=\int _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,dV}$$

ในบริบทของแม่เหล็กไฟฟ้า มักจะละตัวห้อยออกเพื่อความเรียบง่าย: λ , σ , ρอาจใช้สัญลักษณ์อื่นๆ ได้แก่: ρ _ℓ , ρ _s , ρ _v , ρ _L , ρ _S , ρ _Vเป็นต้น

ประจุทั้งหมดหารด้วยความยาว พื้นที่ผิว หรือปริมาตร จะเป็นความหนาแน่นของประจุเฉลี่ย:$${\displaystyle \langle \lambda _{q}\rangle ={\frac {Q}{\ell }}\,,\quad \langle \sigma _{q}\rangle ={\frac {Q}{S}}\,,\quad \langle \rho _{q}\rangle ={\frac {Q}{V}}\,.}$$

ใน วัสดุ ไดอิเล็กตริกประจุรวมของวัตถุสามารถแยกได้เป็นประจุ "อิสระ" และประจุ "ผูกพัน"

ประจุที่ถูกผูกไว้จะสร้างไดโพลไฟฟ้าขึ้นเพื่อตอบสนองต่อสนามไฟฟ้า E ที่ใช้ และสร้างขั้วให้กับไดโพลอื่นๆ ที่อยู่ใกล้เคียง ซึ่งมีแนวโน้มที่จะเรียงตัวกัน ประจุสุทธิที่สะสมจากการวางแนวของไดโพลคือประจุที่ถูกผูกไว้ ประจุเหล่านี้ถูกเรียกว่าประจุที่ถูกผูกไว้เนื่องจากไม่สามารถถอดออกได้ ในวัสดุไดอิเล็กตริก ประจุคืออิเล็กตรอนที่ผูกไว้กับนิวเคลียส^[6 ]

ประจุอิสระคือประจุส่วนเกินที่สามารถเคลื่อนเข้าสู่ภาวะสมดุลไฟฟ้าสถิตได้ กล่าวคือ เมื่อประจุไม่เคลื่อนที่ และสนามไฟฟ้าผลลัพธ์ไม่ขึ้นอยู่กับเวลา หรือประกอบเป็นกระแสไฟฟ้า^[5 ]

ในแง่ของความหนาแน่นของประจุปริมาตร ความหนาแน่นของประจุ รวมมีดังนี้: สำหรับความหนาแน่นของประจุพื้นผิว: โดยที่ตัวห้อย "f" และ "b" หมายถึง "อิสระ" และ "ขอบเขต" ตามลำดับ$${\displaystyle \rho =\rho _{\text{f}}+\rho _{\text{b}}\,.}$$$${\displaystyle \sigma =\sigma _{\text{f}}+\sigma _{\text{b}}\,.}$$

ประจุพื้นผิวที่ถูกผูกไว้คือประจุที่กองรวมกันอยู่ที่พื้นผิวของไดอิเล็กตริกซึ่งกำหนดโดยโมเมนต์ไดโพลที่ตั้งฉากกับพื้นผิว: ^[6] โดยที่sคือการแยกระหว่างประจุจุดที่ประกอบเป็นไดโพลคือโมเมนต์ไดโพลไฟฟ้าคือเวกเตอร์เส้นตั้งฉากหนึ่งหน่วยไปยังพื้นผิว$${\displaystyle q_{b}={\frac {\mathbf {d} \cdot \mathbf {\hat {n}} }{|\mathbf {s} |}}}$$${\displaystyle \mathbf {d} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

การใช้ค่าอนันต์ซิมอล : และการหารด้วยองค์ประกอบพื้นผิวเชิงอนุพันธ์dSจะให้ความหนาแน่นประจุพื้นผิวที่เชื่อมโยง: โดยที่Pคือความหนาแน่นของโพลาไรเซชันนั่นคือ ความหนาแน่นของโมเมนต์ไดโพลไฟฟ้าภายในวัสดุ และdVคือองค์ประกอบปริมาตรเชิง อนุพันธ์$${\displaystyle dq_{b}={\frac {d\mathbf {d} }{|\mathbf {s} |}}\cdot \mathbf {\hat {n}} }$$$${\displaystyle \sigma _{b}={\frac {dq_{b}}{dS}}={\frac {d\mathbf {d} }{|\mathbf {s} |dS}}\cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {d\mathbf {d} }{dV}}\cdot \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,.}$$

โดยใช้ทฤษฎีบทการแยกส่วนความหนาแน่นประจุปริมาตรที่ผูกไว้ภายในวัสดุจะเป็น ดังนี้:$${\displaystyle q_{b}=\int \rho _{b}\,dV=-\oint _{S}\mathbf {P} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS=-\int \nabla \cdot \mathbf {P} \,dV}$$$${\displaystyle \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} \,.}$$

เครื่องหมายลบเกิดขึ้นเนื่องจากเครื่องหมายตรงข้ามบนประจุในไดโพล โดยปลายด้านหนึ่งอยู่ภายในปริมาตรของวัตถุ อีกด้านหนึ่งอยู่ที่พื้นผิว

ที่มาที่เข้มงวดยิ่งขึ้นจะแสดงไว้ด้านล่าง^[6]

ความหนาแน่นของประจุอิสระทำหน้าที่เป็นการลดความซับซ้อนที่เป็นประโยชน์ในกฎของเกาส์สำหรับไฟฟ้า โดยปริมาตรอินทิกรัลของประจุอิสระนั้นคือประจุอิสระที่อยู่ภายในวัตถุที่มีประจุ ซึ่งเท่ากับฟลักซ์ สุทธิ ของสนามการกระจัดไฟฟ้า Dที่ออกมาจากวัตถุ:

${\displaystyle \Phi _{D}=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle \mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS=\iiint \rho _{f}dV}$

ดูสมการของแมกซ์เวลล์และความสัมพันธ์เชิงองค์ประกอบเพื่อดูรายละเอียดเพิ่มเติม

สำหรับกรณีพิเศษของความหนาแน่นประจุที่เป็นเนื้อเดียวกันρ ₀โดยไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งหรือค่าคงที่ตลอดทั้งบริเวณของวัสดุ สมการจะลดรูปลงเหลือดังนี้:$${\displaystyle Q=V\rho _{0}.}$$

เริ่มต้นด้วยการกำหนดความหนาแน่นประจุปริมาตรต่อเนื่อง:$${\displaystyle Q=\int _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,dV.}$$

จากนั้น ตามนิยามของความเป็นเนื้อเดียวกันρ _q ( r ) คือค่าคงที่ที่แสดงด้วยρ _{q , 0} (เพื่อแตกต่างกันระหว่างความหนาแน่นคงที่และไม่คงที่) และด้วยเหตุนี้ สมบัติของอินทิกรัลจึงสามารถดึงออกนอกอินทิกรัลได้ ซึ่งส่งผลให้เกิด ดังนี้ :$${\displaystyle Q=\rho _{q,0}\int _{V}\,dV=\rho _{0}V}$$$${\displaystyle Q=V\rho _{q,0}.}$$

หลักฐานเทียบเท่าสำหรับความหนาแน่นของประจุเชิงเส้นและความหนาแน่นของประจุพื้นผิวปฏิบัติตามอาร์กิวเมนต์เดียวกันกับข้างต้น

สำหรับประจุจุดเดียวqที่ตำแหน่งr ₀ภายในบริเวณของอวกาศ 3 มิติRเช่นอิเล็กตรอนความหนาแน่นประจุเชิงปริมาตรสามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันเดลต้าของดิแรกโดย ที่rคือตำแหน่งในการคำนวณประจุ$${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})}$$

ตามปกติ อินทิกรัลของความหนาแน่นของประจุในบริเวณหนึ่งของอวกาศคือประจุที่มีอยู่ในบริเวณนั้น ฟังก์ชันเดลต้ามีคุณสมบัติการเลื่อนสำหรับฟังก์ชันf : ใดๆ ดังนั้น ฟังก์ชันเดลต้าจะรับประกันว่าเมื่ออินทิกรัลความหนาแน่นของประจุเหนือRประจุทั้งหมดในRจะเป็นq :$${\displaystyle \int _{R}d^{3}\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=f(\mathbf {r} _{0})}$$$${\displaystyle Q=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,\rho _{q}=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=q\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=q}$$

สามารถขยายไปยัง ตัวพาประจุแบบจุดแยกอิสระ Nตัวได้ ความหนาแน่นของประจุของระบบที่จุดrคือผลรวมของความหนาแน่นของประจุสำหรับประจุแต่ละประจุq _iที่ตำแหน่งr _iโดยที่i = 1, 2, ..., N :$${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})}$$

ฟังก์ชันเดลต้าสำหรับประจุแต่ละประจุq _iในผลรวมδ ( r − r _i ) ช่วยให้มั่นใจว่าอินทิกรัลของความหนาแน่นของประจุเหนือRจะส่งคืนประจุทั้งหมดในR :$${\displaystyle Q=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}}$$

หากตัวพาประจุทั้งหมดมีประจุq เท่ากัน (สำหรับอิเล็กตรอนq = − eคือประจุอิเล็กตรอน ) ความหนาแน่นของประจุสามารถแสดงได้โดยใช้จำนวนตัวพาประจุต่อหน่วยปริมาตรn ( r ) โดย$${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=qn(\mathbf {r} )\,.}$$

สมการที่คล้ายกันนี้ใช้สำหรับความหนาแน่นประจุเชิงเส้นและพื้นผิว

ในทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษความยาวของเส้นลวดขึ้นอยู่กับความเร็วของผู้สังเกตเนื่องจากความยาวที่หดตัวดังนั้นความหนาแน่นของประจุจึงขึ้นอยู่กับความเร็วด้วยเช่นกันAnthony French ^[7] ได้อธิบายว่า แรง สนามแม่เหล็กของเส้นลวดที่มีกระแสไฟฟ้าเกิดขึ้นจากความหนาแน่นของประจุสัมพัทธ์นี้ได้อย่างไร เขาใช้แผนภาพ Minkowski (หน้า 260) เพื่อแสดงให้เห็นว่า "เส้นลวดที่มีกระแสไฟฟ้าเป็นกลางดูเหมือนว่าจะมีความหนาแน่นของประจุสุทธิตามที่สังเกตในกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ได้อย่างไร" เมื่อวัดความหนาแน่นของประจุในกรอบอ้างอิงที่ เคลื่อนที่ จะเรียกว่าความหนาแน่นของประจุที่เหมาะสม [ ^{8] [9] [10]}

ปรากฏว่าความหนาแน่นของประจุρและความหนาแน่นกระแส Jแปลงร่วมกันเป็น เวกเตอร์ สี่กระแสภายใต้การแปลงของลอเรนตซ์

ในกลศาสตร์ควอนตัมความหนาแน่นของประจุρ _qเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันคลื่น ψ ( r ) โดยสมการที่qคือประจุของอนุภาค และ| ψ ( r ) | ² = ψ * ( r ) ψ ( r )คือฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น กล่าวคือ ความน่าจะเป็นต่อหน่วยปริมาตรของอนุภาคที่อยู่ที่rเมื่อฟังก์ชันคลื่นได้รับการทำให้เป็นมาตรฐาน ประจุเฉลี่ยในบริเวณr ∈ Rคือเมื่อd ³ rคือการวัดการบูรณาการในพื้นที่ตำแหน่ง 3 มิติ$${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q|\psi (\mathbf {r} )|^{2}}$$$${\displaystyle Q=\int _{R}q|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} }$$

สำหรับระบบเฟอร์มิออนที่เหมือนกัน ความหนาแน่นของจำนวนจะกำหนดให้เป็นผลรวมของความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของแต่ละอนุภาคใน:

${\displaystyle n(\mathbf {r} )=\sum _{i}\langle \psi |\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}')|\psi \rangle }$

${\displaystyle n(\mathbf {r} )=\sum _{i}\int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{N}\,\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} ',\dots ,\mathbf {r} _{N})\Psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} ',\dots ,\mathbf {r} _{N}).}$

โดยใช้เงื่อนไขการสมมาตร: โดยที่ถือเป็นความหนาแน่นของประจุ$${\displaystyle n(\mathbf {r} )=N\int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{N}\,\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})\Psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N}).}$$${\textstyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q\cdot n(\mathbf {r} )}$

พลังงานศักย์ของระบบเขียนเป็น: พลังงานผลักอิเล็กตรอน-อิเล็กตรอนจึงได้มาภายใต้เงื่อนไขดังนี้: โปรดทราบว่าสิ่งนี้ไม่รวมพลังงานแลกเปลี่ยนของระบบ ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ทางกลควอนตัมล้วนๆ ซึ่งจะต้องคำนวณแยกต่างหาก$${\displaystyle \langle \psi |U|\psi \rangle =\int V(\mathbf {r} )n(\mathbf {r} )\delta ^{3}\mathbf {r} }$$$${\displaystyle U_{ee}[n]=J[n]={\frac {1}{2}}\int \delta ^{3}\mathbf {r} '\int \delta ^{3}\mathbf {r} \left({\frac {(en(\mathbf {r} ))(en(\mathbf {r} '))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {1}{2}}\int \delta ^{3}\mathbf {r} '\int \delta ^{3}\mathbf {r} \left({\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)}$$

จากนั้นจึงให้พลังงานโดยใช้กรรมวิธี Hartree-Fock ดังนี้

${\displaystyle E[n]=I+J-K}$

โดยที่Iคือพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ของอิเล็กตรอนเนื่องจากประจุบวกJคือพลังงานปฏิสัมพันธ์ระหว่างอิเล็กตรอนและKคือพลังงานแลกเปลี่ยนของอิเล็กตรอน^{[11] [12]}

ความหนาแน่นของประจุปรากฏในสมการความต่อเนื่องของกระแสไฟฟ้า และในสมการของแมกซ์เวลล์ ด้วย ความหนาแน่นของประจุ เป็นเทอมหลักของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าเมื่อการกระจายประจุเคลื่อนที่ ความหนาแน่นของประจุจะสอดคล้องกับความหนาแน่นของกระแสไฟฟ้าความหนาแน่นของประจุของโมเลกุลส่งผลกระทบต่อกระบวนการทางเคมีและการแยก ตัวอย่างเช่น ความหนาแน่นของประจุมีอิทธิพลต่อพันธะโลหะ-โลหะและพันธะไฮโดรเจน [ ^13] สำหรับกระบวนการแยก เช่นการกรองด้วยนาโนความหนาแน่นของประจุของไอออนจะส่งผลต่อการปฏิเสธของไอออนโดยเมมเบรน^[14]

• สมการความต่อเนื่องที่เกี่ยวข้องกับความหนาแน่นประจุและความหนาแน่นของกระแสไฟฟ้า
• ศักยภาพไอออนิก
• คลื่นความหนาแน่นของประจุ

• A. Halpern (1988). 3000 Solved Problems in Physics . ซีรีส์ Schaum, Mc Graw Hill ISBN 978-0-07-025734-4-
• G. Woan (2010). The Cambridge Handbook of Physics Formulas . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ISBN 978-0-521-57507-2-
• PA Tipler, G. Mosca (2008). ฟิสิกส์สำหรับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกร - พร้อมกับฟิสิกส์สมัยใหม่ (พิมพ์ครั้งที่ 6) ฟรีแมนISBN 978-0-7167-8964-2-
• RG Lerner , GL Trigg (1991). สารานุกรมฟิสิกส์ (ฉบับที่ 2) สำนักพิมพ์ VHC ISBN 978-0-89573-752-6-
• CB Parker (1994). สารานุกรมฟิสิกส์ McGraw Hill (พิมพ์ครั้งที่ 2) สำนักพิมพ์ VHC ISBN 978-0-07-051400-3-

• [1] - การกระจายประจุเชิงพื้นที่