Frontiera (topologia)

In topologia, la frontiera o contorno o bordo di un sottoinsieme S di uno spazio topologico X è la chiusura dell'insieme meno il suo interno. Un elemento della frontiera di S è chiamato punto di frontiera di S. Le notazioni usate per indicare la frontiera di un insieme S includono b(S) , bd(S), fr(S), e $\partial S$.

Esistono altri due modi equivalenti per definire la frontiera di S e i punti di frontiera di S.

1. Si definisce frontiera di S l'intersezione fra la chiusura di S e la chiusura del suo complementare.
2. Si definisce frontiera di S l'insieme dei punti p in X tali che ogni intorno di p contiene almeno un punto di S e almeno un punto non appartenente a S.

Proprietà

• La frontiera di un insieme è chiusa.
• La frontiera di un insieme è uguale all'intersezione fra la chiusura dell'insieme e la chiusura del suo complemento.
• Un insieme è chiuso se e solo se la frontiera dell'insieme è contenuta nell'insieme, e aperto se e solo se è disgiunto dalla sua frontiera.
• La frontiera di un insieme è uguale alla frontiera del suo complemento.
• La chiusura di un insieme è uguale all'unione dell'insieme con la sua frontiera.
• La frontiera di un insieme è vuota se e solo se l'insieme è contemporaneamente chiuso e aperto (cioè se è un insieme chiuso-aperto).

Esempi

• Consideriamo l'usuale topologia dell'asse reale; se $X=[0,5)$, allora $\partial X=\{0,5\}$ .
• $\partial {\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)={\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)-B(\mathbf {a} ,r)$
• $\partial D^{n}\simeq S^{n-1}$
• $\partial \varnothing =\varnothing$
• Se Ω denota il disco caratterizzato dalla disuguaglianza x²+y² ≤ 1, in R³ si ha ∂Ω = Ω, mentre in R², ∂Ω = {(x, y) | x²+y² = 1}. Quindi, la frontiera di un insieme può dipendere dall'insieme in cui è immerso.

Bibliografia

• J. R. Munkres, Topology, Prentice-Hall, 2000, ISBN 0-13-181629-2.
• S. Willard, General Topology, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-201-08707-3.

Voci correlate

• Insieme chiuso
• Insieme aperto

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