Topologia prodotto

La topologia prodotto è una topologia naturale definita sul prodotto cartesiano di alcuni spazi topologici.

Definizione

Sia I un insieme (anche infinito) di indici, e X_i uno spazio topologico, per ogni i in I. Sia X = Π X_i il prodotto cartesiano degli insiemi X_i. Per ogni i abbiamo una proiezione p_i:X → X_i.

La topologia prodotto su X è definita in uno dei seguenti modi (tutti equivalenti):

• La topologia meno fine fra tutte quelle che rendono le proiezioni p_i continue.
• La topologia generata dagli insiemi del tipo p_i^-1(U) dove i è un indice e U un aperto di X_i (questi insiemi formano una prebase, e tutte le loro possibili intersezioni finite sono una base).

• Descrizione di una base: per ogni i in I prendiamo un aperto di X_i che coincida con tutto l'insieme X_i per quasi tutti gli indici (cioè, tranne che per un numero finito di questi). Il prodotto di questi aperti è un aperto della topologia, e questi aperti formano una base.
• La topologia su X è l'unica che soddisfi la seguente proprietà universale: per ogni spazio topologico Y, una funzione f:Y → X è continua se e solo se tutte le composizioni f_i:Y → X_i di f con le proiezioni p_i sono continue.

Proprietà

Le proiezioni p_i, oltre a essere continue, sono aperte, cioè la proiezione di un aperto è un aperto. Non sono invece in generale chiuse: si prenda ad esempio la proiezione di R² su uno dei due assi; un ramo di iperbole (che è chiuso nel piano) è proiettato su una semiretta aperta di equazione x > 0.

La topologia prodotto è spesso chiamata in analisi la topologia della convergenza puntuale per il fatto seguente: una successione in X converge se e solo se convergono tutte le sue proiezioni. In particolare, nello spazio X = R^I delle funzioni da I in R, una successione di tali funzioni converge se converge puntualmente.

Elenchiamo qui altre proprietà.

• Teorema di Tychonoff: Il prodotto di spazi compatti è compatto.
• Il prodotto di spazi connessi è connesso.
• Il prodotto di spazi T₀, T₁ o T₂ è rispettivamente T₀, T₁ o T₂.

Bibliografia

• Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7.