Topologia banale

Uno spazio topologico X ha la topologia banale quando gli unici aperti di X sono l'insieme vuoto e X stesso.

La topologia banale è la meno fine fra tutte le topologie che possono essere assegnate ad un insieme. All'estremo opposto, la topologia discreta è la più fine di tutte.

Un simile spazio è caratterizzato da una pseudometrica del tipo:

$d(x,y)=0\quad \forall x,y\in X$

Proprietà

• Un insieme con topologia banale contenente almeno due punti non soddisfa nessuno degli assiomi di separazione.
• Le uniche funzioni continue da uno spazio con topologia banale a valori in un qualsiasi spazio topologico sono quelle costanti.
• Tutte le funzioni a valori in uno spazio con topologia banale sono continue.
• Uno spazio con topologia banale è connesso e compatto.
• Uno spazio con topologia banale è omogeneo: i punti sono indistinguibili.
• Gli spazi con topologia banale a meno di omeomorfismo sono classificati dalla loro cardinalità.

Bibliografia

• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.

Voci correlate

• Topologia discreta
• Cardinalità