Successione di Cauchy

In matematica, una successione di Cauchy o successione fondamentale è una successione tale che, comunque si fissi una distanza arbitrariamente piccola $\varepsilon >0$ , da un certo punto in poi tutti gli elementi della successione hanno distanza reciproca inferiore ad $\varepsilon$ . Ogni successione convergente è di Cauchy, e tale nome è dovuto al matematico e ingegnere Augustin-Louis Cauchy.

Definizione

Si definisce successione di Cauchy una successione $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ a valori in uno spazio metrico $(X,d)$ tale che per ogni $\varepsilon >0$ esiste $N(\varepsilon )=N$ tale che per tutti gli $m,n\geq N$ si verifica:^[1]

d(x_{n},x_{m})<\varepsilon

La definizione indica che, al tendere dell'indice all'infinito, la distanza nello spazio $X$ tra due elementi della successione tende a annullarsi.

Ogni successione convergente in $X$ è di Cauchy, come si dimostra considerando una successione convergente $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\to x$ . Poiché essa converge, per ogni $\varepsilon >0$ esiste un indice $N$ tale per cui:

d(x_{n},x)<{\frac {\varepsilon }{2}}\qquad \forall n>N

Considerando allora $m$ e $n$ maggiori di $N$ si ha:

d(x_{n},x_{m})<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon

Non è detto, al contrario, che una successione di Cauchy debba necessariamente convergere. Se tutte le successioni di Cauchy dello spazio metrico $(X,d)$ hanno un limite in $X$ , allora $(X,d)$ viene chiamato spazio metrico completo.^[2] Dato uno spazio metrico, è sempre possibile "estendere" lo spazio in modo da renderlo completo. Uno spazio normato completo, rispetto alla metrica indotta dalla norma, si dice invece spazio di Banach.

Ogni successione di Cauchy è limitata; e se una successione di Cauchy tende a un limite $L$ ogni sua sottosuccessione tende a $L$ .

Alcuni teoremi sulle successioni di Cauchy

Si dice diametro di un certo insieme $E$ in uno spazio metrico $(X,d)$ l'estremo superiore:

\sup _{p,q\in E}\,d(p,q)

e si indica con:

{\mbox{diam }}E

in analogia con il diametro del cerchio, in quanto per due punti qualsiasi appartenenti a un cerchio la loro distanza è sempre minore (al più uguale) al diametro del cerchio stesso.

Teorema della limitatezza delle successioni di Cauchy

Sia $\{x_{n}\}$ una successione di Cauchy in $(X,d)$ . Allora $\{x_{n}\}$ è limitata in $X$ .

Infatti, per definizione di successione di Cauchy, per ogni $\varepsilon >0$ esiste $N(\varepsilon )=N$ tale che:

d(x_{n},x_{m})<\varepsilon \qquad \forall \,m,n\geq N

e dunque esiste $N_{*}$ che soddisfa:

d(x_{n},x_{m})<1\qquad \forall \,m,n\geq N_{*}

da cui:

d(x_{n},x_{N_{*}})<1\qquad \forall n\geq N_{*}

Sia:

r=\max\{1,d(x_{1},x_{N_{*}}),d(x_{2},x_{N_{*}}),\dots ,d(x_{N_{*}-1},x_{N_{*}})\}

Allora:

d(x_{n},x_{m})\leq d(x_{n},x_{N*})+d(x_{m},x_{N*})\leq r+r=2r\qquad \forall n,m

Perciò $\{x_{n}\}$ è limitata.

Teorema dell'implicazione dalla convergenza

Sia $\{p_{n}\}$ convergente. Allora $\{p_{n}\}$ è una successione di Cauchy.

Infatti, per definizione di convergenza, per ogni $\varepsilon >0$ si può trovare $N(\varepsilon )=N$ tale che esiste $p$ che soddisfa:

d(p_{n},p)<\varepsilon \qquad \forall n\geq N

Dunque esiste un indice di successione $m\geq n$ per cui, applicando la disuguaglianza triangolare, si ha

d(p_{n},p_{m})\leq d(p_{m},p)+d(p,p_{n})<2\,\varepsilon

Per cui il teorema è dimostrato.

Teorema della convergenza in spazi metrici

Sia $(X,d)$ , con $X$ compatto e $\{p_{n}\}$ una successione di Cauchy in $X$ . Allora $\{p_{n}\}$ converge a qualche punto di $X$ .

Infatti, sia, come da enunciato, $\{p_{n}\}$ una successione di Cauchy. Per ogni $N$ numero naturale, si costruisca $E_{N}$ nel seguente modo:

E_{N}\,:=\,\{p_{N},p_{N+1},p_{N+2},\dots \}

{\overline {E}}_{N}\subset X\qquad \forall \,N

dove ${\overline {E}}$ è la chiusura di $E$ (unione dell'insieme con i suoi punti di accumulazione). Trattandosi di insiemi chiusi in un compatto, sono a loro volta compatti, da cui:

\lim _{N\to \infty }\!{\mbox{diam }}{\overline {E}}_{N}=0

Inoltre:

E_{N}\supset E_{N+1}

che implica:

{\overline {E}}_{N}\supset {\overline {E}}_{N+1}

e quindi esiste un unico $p$ tale che $p\in X$ per ogni $N$ . A questo punto, per ogni $\varepsilon >0$ esiste ${\tilde {N}}$ tale per cui:

{\mbox{diam}}\,{\overline {E}}_{N}<\varepsilon \qquad \forall \,N\geq {\tilde {N}}

da cui:

d(p,q)<\varepsilon \qquad \forall \,q\in {\overline {E}}_{N}

che implica:

d(p,p_{n})<\varepsilon \qquad \forall n\geq {\tilde {N}}

il che significa $p_{n}\to p$ , ovvero la successione converge.

Teorema della completezza di R^k

Uno spazio metrico si dice completo quando la condizione di Cauchy per le successioni è condizione sufficiente alla convergenza. Il teorema afferma che in $\mathbb {R} ^{k}$ ogni successione di Cauchy converge.

Infatti, presa una successione di Cauchy $\{\mathbf {x} _{n}\}$ a valori in $\mathbb {R} ^{k}$ , sia come per il teorema precedente:

E_{N}\,:=\,\{x_{N},x_{N+1},x_{N+2},\dots \}

Allora è possibile costruire per qualche $N$ un $E_{N}$ tale che ${\mbox{diam}}\,E_{n}<1$ . Dunque la successione è limitata perché da una parte c'è un insieme finito, quello dell'insieme $\{x_{1},...,x_{N-1}\}\,$ , e dall'altra c'è $E_{N}$ . Per il teorema di Heine-Borel un sottoinsieme limitato in $\mathbb {R} ^{k}$ ha chiusura compatta, quindi si ricade nel caso del teorema precedente. Questo dimostra la completezza di $\mathbb {R} ^{k}$ .

Numeri razionali e numeri reali

Non tutte le successioni di Cauchy convergono: ad esempio, nello spazio dei numeri razionali, la successione

x_{n}={\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}

dove $F_{n}$ sono i numeri della successione di Fibonacci, è di Cauchy e tende a un numero che verifica $x^{2}=x+1$ , ma nessun razionale ha questa proprietà. È necessario quindi costruire un nuovo tipo di numeri; questo è uno dei modi per ottenere l'insieme dei numeri reali a partire dai razionali.

Note

^ Reed, Simon, Pag. 5.
^ Reed, Simon, Pag. 6.

Bibliografia

(EN) Michael Reed e Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2nd ed., San Diego, California, Academic Press, 1980, ISBN 0-12-585050-6.
(EN) Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, New York, McGraw-Hill, Inc., 1953, ISBN 88-386-0647-1.

Voci correlate

Altri progetti

Wikiversità contiene risorse sulla successione di Cauchy

Collegamenti esterni

(EN) Cauchy sequence, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Eric W. Weisstein, Successione di Cauchy, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Successione di Cauchy, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
(EN) Denis Howe, Cauchy sequence, in Free On-line Dictionary of Computing. Disponibile con licenza GFDL

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[1] Reed, Simon, Pag. 5.

[2] Reed, Simon, Pag. 6.

[1]

[2]

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