링크 번호

수학에서 연결번호는 닫힌 두 곡선의 연결을 3차원 공간에서 설명하는 숫자 불변제다. 직관적으로 연결 숫자는 각 곡선이 다른 곡선을 감는 횟수를 나타낸다. 연결 숫자는 항상 정수지만 두 곡선의 방향에 따라 양수 또는 음수일 수 있다. (연결 수치가 분수가 되거나 아예 존재하지 않을 수 있는 대부분의 3-매니폴드의 곡선에 대해서는 해당되지 않는다.)

연결 번호는 연결 적분 형태로 가우스에 의해 도입되었다. 매듭 이론, 대수 위상, 미분 기하학에서 중요한 연구 대상이며, 양자역학, 전자석학, DNA 슈퍼코일링 연구 등 수학과 과학에 수많은 응용을 가지고 있다.

정의

우주에서 어떤 두 개의 닫힌 곡선이든, 서로 통과하지 않고 자신을 통과할 수 있다면, 정확히 다음의 표준 위치 중 하나로 이동할 수 있다. 이렇게 하면 연결 번호가 결정된다.

⋯
	링크 번호 -2	링크 번호 -1	연결번호 0
					⋯
		링크 넘버 1	링크 넘버 2	링크넘버3

각 곡선은 이 동작 동안 스스로 통과할 수 있지만, 두 곡선은 전체적으로 분리되어 있어야 한다. 이것은 정규적인 호모토피로서 공식화되는데, 더 나아가 각 곡선은 어떤 지도뿐만 아니라 몰입이 되어야 한다. 그러나 이 추가된 조건은 연결수의 정의(곡선이 항상 임피션이어야 하는지 여부는 중요하지 않음)를 변경하지 않으며, 이는 h-원칙(호모토피-원칙)의 예로서 기하학이 위상으로 감소한다는 것을 의미한다.

증명

이 사실(연결 번호가 유일한 불변수라는 사실)은 하나의 원을 표준 위치에 배치한 다음 연결 번호가 다른 원의 유일한 불변수임을 보여줌으로써 가장 쉽게 증명된다. 자세한 내용:

• 단일 곡선은 표준 원에 대한 규칙적인 동음이의어이다(곡선이 스스로 통과할 수 있도록 허용하면 어떤 매듭도 매듭이 풀릴 수 있다). 비록 이것이 몰입으로 이루어질 수 있다는 사실에는 약간의 기하학적 논증이 필요하지만, 3-공간은 수축할 수 있고 따라서 그 안에 들어가는 모든 지도는 동음이의학적이기 때문에 그것이 동음이의학적이라는 사실은 분명하다.
• 표준 원의 보어는 점이 제거된 고체 토러스(이는 3-공간을 무한의 점이 제거된 3-sphere로 해석하고 3-sphere를 경계를 따라 접착된 2개의 고체 토리로 해석하면 알 수 있음)에 대한 동형체 또는 보어를 직접 분석할 수 있다.
• 원을 뺀 3공간의 기본 집단은 연결수에 해당하는 정수다. 이는 세이퍼트-반 캄펜 정리(유니피니티 점을 추가하여 고체 토러스(torus)를 얻거나 원을 추가하여 3-공간을 얻으면 원하는 공간의 기본 그룹을 계산할 수 있다)를 통해 알 수 있다.
• 따라서 원을 뺀 3-공간의 곡선의 호모토피 등급은 연결수에 의해 결정된다.
• 규칙적인 호모토피 수업은 번호를 연동시켜 결정하므로 추가적인 기하학적 인수가 필요한 것도 사실이다.

연결 번호 계산

링크 다이어그램에서 두 곡선의 연결 수를 계산하는 알고리즘이 있다. 다음 규칙에 따라 각 교차점에 양 또는 음으로 레이블을 붙이십시오.^[1]

마이너스 교차 수를 뺀 양의 총 교차 수는 연결 수의 두 배와 같다. 즉,

${\displaystyle {\text{number}={\frac {n_{1}+n_{2}-n_{3}-n_{4}:{2}}:}$

여기서 n₁, n₂, n₃, n은₄ 네 가지 유형의 각 교차 수를 나타낸다. n ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ $displaystyle n_{1}+n_{3}\,\},$ $n$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ $displaystyle n_{2}+n_{4}\,\}$의 두 합이 항상 ^[2]같으므로$$ 다음과 같은 대체 공식으로 이어진다.

${\displaystyle {\text{n3}\,=\,n_{1}-n_{4}\,=\,n_{2}-n_{3}.}$

$n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 공식은 빨간색에 의한 청색 곡선의 언더크로싱만 포함하며, ${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}}$2 - ${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}}$ 3$${\$displaystyle n_{2}-n_{3}$ 공식은 너무 많은 로딩만 포함한다$$$$.

속성 및 예제

• 두 개의 연결되지 않은 곡선은 0번으로 연결된다. 그러나 연결 번호 0이 있는 두 곡선은 여전히 연결될 수 있다(예: Whitehead 링크).
• 두 곡선 중 하나의 방향을 반대로 하면 연결 숫자가 무효가 되는 반면, 두 곡선의 방향을 반대로 하면 변경되지 않는다.
• 링크 번호는 chiral이다: 링크의 미러 이미지를 찍는 것은 링크 번호를 부정한다. 양수 연결수에 대한 규약은 오른손 법칙에 기초한다.
• x-y 평면에서 방향 곡선의 구불구불한 숫자는 z-축과의 연결 번호와 같다(3-sphere에서 z축을 닫힌 곡선으로 간주).
• 보다 일반적으로, 두 곡선 중 하나가 단순하다면, 그 보완물의 첫 번째 호몰로지 그룹은 Z에 대해 이형성이 있다. 이 경우 연결 번호는 다른 곡선의 호몰로지 등급에 의해 결정된다.
• 물리학에서 연결수는 위상 양자수의 한 예다. 그것은 양자 얽힘과^{[citation needed]} 관련이 있다.

가우스의 정수

교차되지 않는 두 개의 서로 다른 곡선 $curves{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{\gamma \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$→ R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}\1$}\rightarrow \$$mathb$ {$R}{3$을 지정하면 토러스에서 구체까지 가우스 지도 ${\displaysty.$

${\displaystyle \Gamma(s,t)={\frac {\gamma _{1}s-\gamma _{2}(t){\gamma _{1}s-\gamma _{2}(t)}}}}}}$

v에 수직인 면에 대한 링크의 직교 투영이 링크 다이어그램을 제공하도록 장치 구(v)에서 점을 선택한다. 가우스 지도 아래 v로 가는 점(s, t)은 링크 다이어그램에서 ${\displaystyle {\gamma \mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$}가$$${\displaystyle {\gamma \mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$ 또한 (s, t)의 근방이 가우스 지도 아래에 가우스 지도에 따라 방향을 유지하거나 역방향으로 매핑된 것과 일치하는지 관찰하십시오.건널목의 흔적 따라서 v에 해당하는 다이어그램의 연결 수를 계산하기 위해서는 가우스 지도가 v를 포함하는 횟수를 세는 것으로 충분하다. v는 정규 값이기 때문에, 이것은 정확하게 가우스 지도의 정도(즉, γ의 이미지가 구를 덮는 서명 횟수)이다. 연결수의 동위원소 불변도는 동위원소 지도에서 불변하므로 자동으로 얻는다. 다른 정규 값은 동일한 번호를 제공하므로 연결 번호는 특정 링크 다이어그램에 따라 달라지지 않는다.

γ과₁ γ의₂ 연결 수를 이렇게 공식화하면 이중 선 적분인 Gauss를 연결한 명시적 공식이 가능하다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\operatorname{링크}(\gamma_{1},\gamma_{2})&, ={\frac{1}{4\pi}}\oint _{\gamma_{1}}\oint _{\gamma_{2}}}_{1}-\mathbf{r}_{2}{\frac{\mathbf{r}}};={\frac{1}{4\pi}}\int}{\frac{\det \left({S^{1}_{S^{1}\times _{1}-\mathbf{r}_{2}^{3}\cdot(d\mathbf{r}_{1}d\mathbf{r}\times_{2})[4pt]&{\mathbf{r}.\dot{\gamma }_{1},{\dot {\dot {\dot }_{2}(t)},\no_{1}(s)-\no_{2}(t)\right ^{3}\ds\dt\end{liged}}}$

이 적분은 가우스 지도 이미지(통합과 γ의 자코비안)의 총 부호 영역을 계산한 다음 구의 면적(그것은 4㎛)으로 나눈다.

양자장론에서

양자장 이론에서 가우스의 적분 정의는 ${\displaystyle \mathrm{U}}$( 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle U($1) 체르-시몬스 게이지 이론에서 관측 가능한 윌슨 루프 기대값을 계산할 때 발생한다. 명시적으로, 3-매니폴드 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 게이지 전위 단일 형태 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 대한 아벨리안 체르-시몬스 조치는 다음과 같다$$.

${\displaystyle S_{CS}={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}A\wedge dA}$

$우리$는 M = R${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$M=\$mathb {R}$ ^{$3}$의 Chener-Simons에 통합된 파인만 경로를 수행하는 데 관심이 있다$.$

${\displaystyle Z[\gamma _{1},\gamma _{2}]=\int {\mathcal {D}}A_{\mu }\exp \left({\frac {ik}{4\pi }}\int d^{3}x\varepsilon ^{\lambda \mu \nu }A_{\lambda }\partial _{\mu }A_{\nu }+i\int _{\gamma _{1}}dx^{\mu }\,A_{\mu }+i\int _{\gamma _{2}}dx^{\mu }\,A_{\mu }\right)}$

여기서 $ϵ{\displaystyle }$ ${\displaystyle \epsilon }$은(는) 대칭 기호다. 가우스 이론일 뿐이기 때문에 자외선 정규화나 리노멀화는 필요 없다. 따라서 우측의 위상학적 불변성은 경로 적분 결과가 위상학적 불변성이 되도록 보장한다. 이제 남은 것은 전반적인 정상화 요소를 제공하는 것이고, 자연스러운 선택이 나타날 것이다. 이론은 가우스와 아벨이론이기 때문에 단순히 이론을 고전적으로 $풀어서{\displaystyle }$ A$${\$displaystyle A$}을(를) 대신하는 것만으로 경로 적분을 할 수 있다$.$

고전적인 운동 방정식은

${\displaystyle \varepsilon ^{\lambda \mu \nu \}\partial _{\mu }A_{\nu }={\frac {2\pi }}{k}J^{\lambda }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 우리는 체르-시몬스 필드를 라그랑비아어(Lagrangian)에서$$ -${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ μA$$ {\$displaystyle -J_{\mu }$A^{\mu$$}}}}}라는 용어가 있는 소스에 결합했다. 분명히, $적절한{\displaystyle }$ J ${\displaystyle J}$를 대체함으로써 윌슨 루프를 되찾을 수 있다$.$ 우리는 3차원이기 때문에 운동 방정식을 보다 친숙한 표기법으로 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\vec{\nabla}}\time {\vec{A}={\frac {2\pi}{k}{\vec{J}}}}}}}$

양쪽의 컬을 취하여 로렌츠 게이지${\displaystyle {\mathrm{}}^{}{}_{}\mathrm{\mu A}}$ = 0 ${\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$을 선택하면 방정식이 된다$.$

${\displaystyle \nabla ^{2}{\vec{A}=-{\frac {2\pi }{k}}{\vec {\nabla}}}{\vec}}}}{\vec {J}}}}}$

전기 공학에서 해결책은

${\displaystyle A_{\lambda }({\vec {x}})={\frac {1}{2k}}\int d^{3}{\vec {y}}\,{\frac {\varepsilon _{\lambda \mu \nu }\partial ^{\mu }J^{\nu }({\vec {y}})}{ {\vec {x}}-{\vec {y}} }}}$

임의 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$에 통합된 경로는 이제 이를 Chener-Simons 작업으로 대체하여 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$ 필드에$$ 대한 효과적인 작업을 얻음으로써 쉽게 수행된다$$. Wilson 루프에 통합된 경로를 얻기 위해, 우리는 닫힌 루프에서 이동하는 두 개의 입자를 설명하는 소스를 대체한다. ${\displaystyle {}_{},}$ J =${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ 1 + ${\displaystyle {J\mathrm{}}_{}}$2 {\$displaystyle J=J_{1$}+$J_{$2}}:$$로.

${\displaystyle J_{i}^{\mu }^{\mu }(x)=\int_{\\gamma _{i}^{\mu }\delta ^{3}(x-x_{i})(t)}$

효과적인 작용은 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$에서 2차적이기 때문에 입자의 자기 상호작용을 설명하는 용어가 있을 것이 분명하며, 이것들은 단지 하나의 루프만 있어도 거기에 있을 것이기 때문에 흥미가 없다. 따라서 우리는 이러한 조건을 정확하게 취소하는 요인에 의해 통합된 경로를 정상화한다. 대수학 과정을 거치면서, 우리는

${\displaystyle Z[\gamma _{1},\gamma _{2}]=\exp({\frac {2\pi i}{k}})\\Phi [\gamma _{1},\gamma _{2}]\right)}}}$

어디에

${\displaystyle \Phi [\gamma _{1},\gamma _{2}]={\frac {1}{4\pi }}\int _{\gamma _{1}}dx^{\lambda }\int _{\gamma _{2}}dy^{\mu }\,{\frac {(x-y)^{\nu }}{ x-y ^{3}}}\varepsilon _{\lambda \mu \nu },}$

가우스의 연결 적분일 뿐이지 이것은 위상학적 양자장 이론의 가장 간단한 예로서, 경로 적분은 위상학적 불변량을 계산한다. 이것은 또한 체르노-시몬스 이론의 비아벨리안 변종이 다른 매듭 불변성을 계산한다는 암시로 작용했고, 비아벨리안 이론이 존스 다항식이라고 알려진 불변성을 준다는 것을 에드워드 위튼에 의해 분명히 보여주었다. ^[3]

체르노-시몬스 게이지 이론은 3개의 스페이스타임을 가지고 있다. 보다 일반적으로는 고차원 위상 양자장 이론이 존재한다. 이국적인 위상학적 양자장 이론의 링크 불변수로 포착된 4차원 게이지 이론의 복잡한 다중 루프/끈 브레이딩 통계가 4시간 단위로 존재한다. ^[4]

일반화

• 닫힌 곡선이 3차원으로 연결될 수 있듯이, 치수 m과 n의 닫힌 다지관 2개는 $치수{\displaystyle }$m +${\displaystyle n}$ + ${\displaystyle 1}$의 유클리드 공간$([\displaystyle m+n+1$ 그러한 링크에는 관련 가우스 지도가 있으며, 이 지도의 학위는 연결 번호의 일반화다.
• 모든 프레임 매듭은 프레임 벡터를 따라 C의 점을 약간 움직여서 얻은 새로운 곡선과 결합 C의 연결 번호를 계산하여 얻은 자체 연결 번호를 갖는다. (칠판 프레임을 따라) 수직으로 이동하여 얻은 자가 링크 번호는 카우프만의 자가 링크 번호로 알려져 있다.
• 연결 번호는 두 개의 링크된 원에 대해 정의된다. 3개 이상의 원이 주어진 경우, 밀너 불변량을 정의할 수 있다. 밀너 불변량은 연결 숫자를 일반화하는 숫자 불변형이다.
• 대수적 위상에서 컵 제품은 연결수의 광범위한 대수적 일반화인데, Massey 제품은 Milnor invariants의 대수적 유사점이다.
• 비방향 그래프의 무연계 임베딩은 매 두 사이클마다 0의 연결 수를 가질 수 있도록 3차원 공간에 임베딩하는 것이다. 무연계 내장형 그래프는 피터슨 계열 부전위가 없는 그래프로 금지된 부차적 특성을 가지고 있다.

참고 항목

• 곡선의 차등 기하학
• 호프 불변성
• 키스 번호 문제
• 쓰기

메모들

참조

• A.V. Chernavskii (2001) [1994], "Linking coefficient", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• − (2001) [1994], "Writhing number", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press{{citation}}: CS1 maint: 숫자 이름: 작성자 목록(링크)