코팅을 해제하는 문제

Unknotting problem
수학의 미해결 문제:

다항식 시간에 Unknots를 인식할 수 있는가?

(수학에서 더 풀리지 않은 문제)
두 개의 간단한 언코트 도표
Morwen Thisttwaite의 까다로운 Unknot 도표

수학에서, 매듭 다이어그램과 같은 매듭의 표현에 비추어 볼 때, 매듭이 없는 것을 알고리즘적으로 인식하는 문제가 있다.코팅을 하지 않는 알고리즘에는 몇 가지 유형이 있다.해결되지 않은 주요 과제는 문제가 다항식 시간 알고리즘을 허용하는지 여부, 즉 문제가 복잡도 등급 P에 있는지 여부를 결정하는 것이다.

계산 복잡성

계산 복잡성을 결정하기 위한 첫 번째 단계는 문제가 클래스 P를 포함하는 더 큰 복잡성 클래스에 있다는 것을 증명하기 위해 수행되었다.Has, Lagarias & Pippenger (1999년)는 주어진 매듭의 세이퍼트 표면을 설명하기 위해 정상적인 표면을 사용함으로써, 코팅을 하지 않는 문제가 복잡도 등급 NP에 있다는 것을 보여주었다. 하라, 타니 & 야마모토 (2005년)는 코팅을 하지 않는 것이 AM ∩ co-AM에 있다는 약한 결과를 주장했지만, 나중에는 이 주장을 철회했다.[1]2011년 그레그 쿠퍼버그는 (일반화된 리만 가설을 가정하면) 코칭 문제가 공동 NP에 있다는 것을 증명했고,[2] 2016년 마크 라켄비는 공동 NP 가입에 대한 무조건적인 증거를 제공했다.[3]

코팅을 하지 않는 문제는 유클리드 공간에 비방향 그래프를 내장하는 것이 연결성이 없는지 여부를 테스트하는 것과 동일한 계산 복잡성을 가지고 있다.[4]

예를 들어 [5]139개의 정점이 특징인 오치아이 언코트 중 하나는 원래 108시간 만에 컴퓨터에 의해 코트가 풀렸으나,[6] 이번에는 좀 더 최근의 연구에서 10분으로 줄어들었다.[7]

코팅을 해제하는 알고리즘

코칭되지 않는 문제를 해결하는 몇 가지 알고리즘은 하켄의 정상 표면 이론에 기초한다.

  • 하켄의 알고리즘은 경계선이 매듭인 디스크를 찾기 위해 정상 표면 이론을 사용한다.하켄은 원래 이 알고리즘을 사용해 코팅을 해제할 수 있다는 것을 보여주었지만, 그 복잡성을 더 자세히 분석하지는 않았다.
  • Has, Lagarias, Pippenger는 모든 정상 표면의 집합이 다면 원뿔의 정수 점으로 표현될 수 있고 곡선의 비코트성을 목격하는 표면은 항상 이 원뿔의 극한 광선 중 하나에서 찾을 수 있다는 것을 보여주었다.따라서 정점 열거 방법을 사용하여 극한 광선을 모두 나열하고 그 중 어느 것이 매듭의 경계 원반에 해당하는지 시험할 수 있다.Has, Lagarias, Pippenger는 이 방법을 사용하여 NP에 코튼 (2011a)과 같은 후기 연구자들은 이 알고리즘이 (다항 시간은 아니지만) 유용할 수 있다는 것을 보여주면서 분석을 다듬었고, 복잡성은 교차 횟수의 낮은 순서의 단일-우수 함수로 나타났다.
  • Birman & Hirsch(1998)의 알고리즘은 일반 표면과는 다소 다른 형태의 구조인 브레이드 폴리를 사용한다.그러나 그 행동을 분석하기 위해 그들은 정상적인 표면 이론으로 돌아온다.

그 밖의 접근법에는 다음이 포함된다.

  • Unknot 도표를 표준 Unknot 도표로 변경하는 데 필요한 Reidemeister 이동의 수는 교차 수에서 최대 다항식이다.[8]따라서, 모든 리드미스터 이동 순서에 대한 짐승 같은 힘 검색은 기하급수적인 시간에 비코트성을 탐지할 수 있다.
  • 마찬가지로, 동일한 매듭보완물의 어떤 두 삼각형도 교차 횟수의 최대 2배 지수인 길이의 파흐너 이동 순서에 의해 연결될 수 있다.[9]따라서 주어진 매듭의 보완으로부터 시작하여 이 길이의 파흐너 움직임의 모든 시퀀스를 시험하고, 그 중 어느 것이라도 보어들을 고체 토러스 표준 삼각법으로 변형시키는지 판단함으로써 매듭이 언코트인지 판별할 수 있다.이 방법의 시간은 매우 기하급수적일 것이다. 그러나 실험 증거는 이 한계가 매우 비관적이며 파흐너의 움직임이 더 적게 필요하다는 것을 암시한다.[10]
  • 어떤 아크 표시도 기본적인 동작을 이용하여 단조롭게 최소로 단순화할 수 있다.[11]따라서 복잡성이 크지 않은 모든 원호 표시들 사이에서 무차별적인 힘 검색은 코팅을 하지 않는 문제에 대한 단일 확장 알고리즘을 제공한다.
  • 매듭 그룹의 잔여 정밀도는 알고리즘을 제공한다: 그룹에 비주기적 유한 그룹 지수가 있는지 점검한다.이 생각은 쿠퍼버그가 코르크 마르지 않는 문제가 공동 NP에 있다는 결과에 사용된다.
  • 매듭의 매듭 플로어 호몰로지(Not Floer homology)는 매듭의 속(not)을 감지하는데, 매듭이 매듭이 매듭이 풀리지 않는 경우에만 0이다.결합 버전의 Floer homology는 그것을 계산할 수 있게 한다(Manolescu, Ozsvath & Sarkar 2009).
  • Khovanov homology는 Kronheimer와 Mrowka의 결과에 따라 그 언코트를 검출한다.[12]Kovanov homology의 복잡성은 적어도 존스 다항식 계산의 #P-hard 문제만큼 높지만, Bar-Natan(2007)의 알고리즘과 프로그램을 이용하여 실제로 계산할 수도 있다.Bar-Natan은 그의 알고리즘에 대한 엄격한 분석을 제공하지 않지만, 경험적으로 교차 도표의 경로폭에서 기하급수적으로 추정하는데, 이는 결국 교차 횟수의 제곱근에 가장 비례한다.

이러한 알고리즘의 복잡성을 이해하는 것은 활발한 연구 분야다.

참고 항목

메모들

  1. ^ 쿠퍼버그(2014년)의 참고문헌 [15]에서 "개인적 소통"으로 언급.
  2. ^ 쿠퍼버그(2014년)
  3. ^ 러센비 (2016년)
  4. ^ 카와라바야시, 크뢰처 & 모하르(2010).
  5. ^ Ochiai, M. (1990). "Non-Trivial Projections of the Trivial Knot" (PDF). S.M.F. Asterisque. 192: 7–9.
  6. ^ Grzeszczuk, R.; Huang, M.; Kauffman, L. (1997). "Physically-based stochastic simplification of mathematical knots". IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics. 3 (3): 262–278. doi:10.1109/2945.620492.
  7. ^ 라드 & 카브라키(2004년).
  8. ^ 러센비(2015년).
  9. ^ 미야토비치(2005년).
  10. ^ 버튼(2011b).
  11. ^ 디니코프(2006년).
  12. ^ 크론하이머 & 음로카(2011년)

참조

외부 링크