호바노프 호몰로지

Khovanov homology

수학에서 호바노프 호몰로지(Kovanov homology)는 체인 콤플렉스의 호몰로지(homology)로 발생하는 지향적 링크 불변제다.그것은 존스 다항식의 분류로 간주될 수 있다.

1990년대 후반 미하일 코바노프에 의해 개발되었고, 그 후 캘리포니아 대학교 데이비스 대학교에서 현재 콜롬비아 대학교에서 개발되었다.

개요

링크 L을 나타내는 링크 다이어그램 D에는 등급 벡터 공간의 체인 복합체인 Kovanov Bracket[D]을 할당한다.이것은 존스 다항식 건설에 있어서의 카우프만 브라켓의 아날로그다.다음으로, 새로운 체인 복합체 C(D)를 얻기 위해 일련의 도 이동(등급 벡터 공간)과 높이 이동(체인 복합체 내)으로 [D]를 정규화한다.이 체인단지의 호몰로지(homology)는 L의 불변성으로 밝혀지며, 등급이 매겨진 오일러 특성은 L의 존스 다항식이다.

정의

이 정의는 Dror Bar-Natan의 2002년 논문에서 제시된 형식주의를 따른다.

{l}은(는) 등급화된 벡터 공간에서 정도 이동 작동을 나타냄. 즉, 치수 m의 동질 구성 요소가 치수 m + l까지 이동됨.

마찬가지로, [s]는 체인 단지의 높이 시프트 작동을 나타낸다. 즉, 단지 내 r번째 벡터 공간 또는 모듈이 (r + s)위치를 따라 이동하며, 모든 차동 지도가 그에 따라 이동된다.

V는 1도 발전기 q와 1도 -1의 발전기 q를−1 가진 등급 벡터 공간이 되도록 한다.

이제 링크 L을 나타내는 임의 다이어그램 D를 선택하십시오.호바노프 브래킷의 공리는 다음과 같다.

  1. [ø] = 0 → Z → 0. 여기서 ø는 빈 링크를 의미한다.
  2. [O D] = V ⊗ [D], 여기서 O는 연결되지 않은 사소한 구성요소를 나타낸다.
  3. [D] = F(0 → [D0] → [D1]{1} → 0)

이 중 세 번째에서 F는 대각선을 따라 직접 합계를 취함으로써 이중 콤플렉스에서 하나의 단지가 형성되는 '플랫텐딩' 작전을 의미한다.또한 D는0 D에서 선택된 건널목의 '0-스무팅'을 나타내며, D는1 카우프만 브래킷의 스키틴 관계와 유사하게 '1-스무팅'을 나타낸다.

다음으로 '정상화' 복합 C(D) = [D][-n−]{n+ - 2n−}, 여기서 n은− D에 대해 선택한 다이어그램에서 왼손 교차 횟수를 나타내고, n은+ 오른손 교차 횟수를 나타낸다.

L의 Khovanov 호몰로지 는 이 복합체 C(D)의 호몰로지 H(L)로 정의된다.Khovanov homology는 실제로 L의 불변성이며, 도표의 선택에 의존하지 않는다는 것이 밝혀졌다.H(L)의 등급별 오일러 특성은 L의 존스 다항식인 것으로 밝혀졌다.그러나 H(L)에는 존스 다항식보다 L에 대한 정보가 더 많이 들어 있는 것으로 나타났지만, 정확한 내용은 아직 완전히 파악되지 않고 있다.

2006년에 Dror Bar-Natan은 어떤 매듭에 대해서도 Kovanov 호몰로지(또는 범주)를 계산하는 컴퓨터 프로그램을 개발했다.[1]

관련 이론

호바노프의 호몰로지 중 가장 흥미로운 측면 중 하나는 그것의 정확한 순서가 3마니폴드의 플로어 호몰로지에서 발생하는 것과 공식적으로 유사하다는 것이다.게다가, 그것은 게이지 이론과 그 사촌들을 이용하여 처음 입증된 결과의 또 다른 증거를 생산하는데 사용되어왔다: Jacob Rasmussen의 새로운 증명인 Peter Kronheimer와 Tomasz Mrowka, 전에는 Milnor 추측으로 알려져 있었다(아래 참조).피터 오즈바스와 졸탄 소보(Dowlin 2018)의 매듭 플로어 호몰로지(Floer homology)와 관련된 호바노프 호몰로지(Khovan homology)[2]와 관련된 스펙트럼 시퀀스가 있다.이 스펙트럼 시퀀스는 두 이론 사이의 관계에 대한 초기 추측을 해결했다(Dunfield et al. 2005).또 다른 스펙트럼 시퀀스(Ozsvarth-Szabo 2005)는 매듭을 따라 갈라진 이중 커버의 Heegaard Floer 호몰로지(Heegaard Floer homology)와 Kovanov 호몰로지(Homology)를 연관시킨다.세 번째(Bloom 2009)는 분기된 이중 커버의 단극 플로어 호몰로지 변종으로 수렴된다.2010년 크론하이머와 Mrowka는 인스턴트온 매듭 Floer 호몰로지 그룹에 맞춰 스펙트럼 시퀀스를 전시했고, 이를 사용해 (인스턴 매듭 Floer 호몰로지처럼) 코바노프 호몰로지(즉석 매듭 Floer 호몰로지)가 언코트를 감지한다는 것을 보여주었다.

호바노프 호몰로지(Khovanov homology)는 리 대수 sl의2 표현 이론과 관련이 있다.미하일 코바노프와 레브 로잔스키가 그 이후 모든 n에 대해 sl과n 관련된 공동 호몰로지 이론을 정의했다.In 2003, Catharina Stroppel extended Khovanov homology to an invariant of tangles (a categorified version of Reshetikhin-Turaev invariants) which also generalizes to sln for all n. Paul Seidel and Ivan Smith have constructed a singly graded knot homology theory using Lagrangian intersection Floer homology, which they conjecture to be isomorphic to단일 등급의 Kovanov homology시프리안 마놀레스쿠는 그 후 그들의 건축을 단순화하고 그의 버전의 세이델-스미스 불변제 밑에 있는 체인 콤플렉스에서 존스의 다항식을 어떻게 회수하는지를 보여주었다.

링크(knot) 다항식과의 관계

2006년 국제수학자대회에서 미하일 코바노프는 다항식 매듭과의 관계에 대해 코바노프 호몰로지 관점에서 다음과 같은 설명을 했다.의 L 1, L L_}}및 {\에 대한 스키인 관계는 다음과 같이 설명된다.

= 0 을(를) 대체하면 다항식 불변성 P ()[ - q^{-1}이 정규화됨

n>로 0{\displaystyle n>0}은 다항식 Pn(L){\displaystyle P_{n}(L)}양자 그룹의 나는(n){\displaystyle sl(n)}는 표현론과 P0(L){\displaystyle P_{0}(L)을 통해}그것은 양자의 통해superalgebra Uq(g나는(11) 누우세요){\displaysty 해석될 수 있다.르 U_{.

  • 알렉산더 다항식 ( ) 은 큰 줄무늬 매듭 호몰로지 이론의 오일러 특성이다.
  • ( )= }은는) 사소한 것이다.
  • 존스 다항식 2( ) 는 큰 틀의 링크 호몰로지 이론의 오일러 특성이다.
  • 전체 HOMFLI-PT 다항식은 삼각 링크 호몰로지 이론의 오일러 특성이다.

적용들

호바노프 호몰로지 첫 적용은 호바노프 호몰로지(Kovanov homology)를 사용하여 s-invariant를 정의한 제이콥 라스무센이 제공했다.매듭의 이 정수 불변성은 슬라이스 속(slice mines)에 구속을 주며, 밀노르 추측을 입증하기에 충분하다.

2010년 크론하이머와 음로카는 코바노프 호몰로지(Kovanov homology)가 언코트를 검출한다는 것을 증명했다.분류된 이론은 비분류 이론보다 더 많은 정보를 가지고 있다.코바노프 호몰로지(Kovanov homology)가 언코트를 탐지하지만, 존스 다항식(Jones 다항식)이 탐지하는지는 아직 알려져 있지 않다.

메모들

  1. ^ 신과학자 2008년 10월 18일
  2. ^ Dowlin, Nathan (2018-11-19). "A spectral sequence from Khovanov homology to knot Floer homology". arXiv:1811.07848 [math.GT].
  3. ^ Kronheimer, Peter B.; Mrowka, Tomasz (2011). "Khovanov homology is an unknot-detector". Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 113: 97–208. arXiv:1005.4346. doi:10.1007/s10240-010-0030-y. S2CID 119586228.

참조

외부 링크