동음이의어

투사 기하학에서 동음이의학은 투사 공간의 이형성에 의해 유도되는 투사 공간의 이형성이다.^[1]선을 선에 매핑하는 편향이며, 따라서 선으로 배열하는 것이다.일반적으로 일부 콜라인은 동음계가 아니지만 투영 기하학의 근본적인 정리는 적어도 2차원 실제 투영 공간의 경우에는 그렇지 않다고 주장한다.동의어에는 투영성, 투영적 변환, 투영적 콜라인이 포함된다.

역사적으로 유클리드 기하학에서 원근법과 투영법을 연구하기 위해 동음이의어(그리고 투영 공간)가 도입되었으며, 어원학적으로 대략 '비슷한 그림'을 뜻하는 동음이의어(동음이의어)는 이 시기의 연대를 의미한다.19세기 말에는 투사적 공간에 대한 형식적 정의가 도입되었는데, 무한대에 포인트를 더하여 유클리드나 아핀 공간을 확장하는 것과는 차이가 있었다."프로젝트적 변환"이라는 용어는 이러한 추상적 구조에서 유래되었다.이러한 구조는 동등한 것으로 나타난 두 부류로 나뉜다.투사 공간은 주어진 영역에 걸친 벡터 공간의 선의 집합으로 구성될 수 있다(위의 정의는 이 버전에 기초한다). 이 구조는 투사 좌표의 정의를 용이하게 하고 동음이의 연구를 위해 선형대수의 도구를 사용할 수 있게 한다.대안적 접근방식은 명시적으로 어떤 필드(인공 기하학, 또한 합성 기하학 참조)를 포함하지 않는 공리의 집합을 통해 투사적 공간을 정의하는 데 있다. 이 맥락에서, 콜라인은 호모그래피보다 정의하기 쉽고, 동음계는 특정한 콜라인으로 정의되어 있으므로 "투사적 콜라인"이라고 한다.".

달리 명시되지 않는 한 단순성을 위해, 본 문서에서 고려하는 투사적 공간은 (주요) 필드에 걸쳐 정의되어야 한다.동등하게 파푸스의 육각 정리, 데스아게스의 정리는 사실이라고 여겨진다.결과의 상당 부분이 참으로 남아 있거나, 이러한 이론이 뒷받침되지 않는 투영적 기하학으로 일반화될 수 있다.

기하학적 동기

역사적으로, 동음이의 개념은 시각적 관점을 이해하고 설명하며 연구하기 위해 도입되었으며, 구체적으로는 서로 다른 관점에서 바라본 두 평면 객체의 외관상의 차이를 설명하기 위해 도입되었다.

3차원 유클리드 공간에서, O를 포함하지 않는 평면 P로 점 O(중심)에서 중심 투영하는 것은 선 OA와 평면 P의 교차점(존재하는 경우)에 점 A를 보내는 매핑이다.점 A가 O를 통과하는 평면에 속하고 P에 평행하면 투영은 정의되지 않는다.투사 공간의 개념은 원래 유클리드 공간, 즉 무한대에 점을 추가하여 O를 제외한 모든 점에 대한 투사를 정의함으로써 도입되었다.

O를 포함하지 않는 또 다른 평면 Q에 대해 상기 투영의 Q에 대한 제약을 관점이라고 한다.

이러한 정의와 함께 관점은 부분함수일 뿐 투영공간으로 확장되면 편견이 된다.따라서 이 개념은 일반적으로 투영 공간에 대해 정의된다.이 개념은 또한 다음과 같은 방법으로 어떤 차원의 투영적 공간에 쉽게 일반화된다.

치수 n의 투영 공간 P와 Q의 두 개의 투영 공간을 감안할 때, 관점은 치수 n + 1의 투영 공간 R에 P와 Q를 내장하고 Q에 대한 중심 투영을 P로 제한함으로써 얻을 수 있는 P에서 Q까지의 편향이다.

만약 f가 P에서 Q까지의 관점과 Q에서 P까지의 관점이 서로 다른 중심이라면, g ⋅ f는 P의 치수가 적어도 2일 때 중심 콜라인화라고 하는 P에서 그 자체까지의 동음이의어다.(아래 § 중앙선 및 § 관점선 참조).

원래, 동음이의어는 한정된 수의 관점의 구성으로 정의되었다.^[2]이 정의가 도입부에서 스케치된 보다 대수적 정의와 일치하고 아래에 상세히 기술되는 것은 투영 기하학의 기본 정리의 일부(아래 참조)이다.

균질 좌표에서의 정의 및 표현식

A projective space P(V) of dimension n over a field K may be defined as the set of the lines through the origin in a K-vector space V of dimension n + 1. If a basis of V has been fixed, a point of V may be represented by a point ${\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})}$ of Kⁿ⁺¹.따라서 V의 선인 P(V)의 점은 투영점의 균일한 좌표라고 불리는 이 선의 0이 아닌 점의 좌표로 나타낼 수 있다.

동일한 차원의 두 투영 공간 P(V)와 P(W)가 주어진 경우, 동음이의어는 P(V)에서 P(W)까지의 매핑으로, 벡터 공간 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$→ W ${\displaystyle f:$$V\rightarrow W$ 그러한 이형성은 f의 선형성 때문에 P(V)에서 P(W)로 편차를 유도한다.이러한 두 가지 등형성인 f와 g는 g = af와 같은 K의 비제로 원소 a가 존재하는 경우에만 동일한 호모그래피를 정의한다.

이는 다음과 같은 방법으로 균일한 좌표의 관점에서 작성될 수 있다: 동음이의 φ은 동음이의 행렬이라 불리는 비동음 n+1 × n+1 행렬[a_i,j]로 정의할 수 있다.이 행렬은 K의 0이 아닌 요소에 의해 곱셈까지 정의된다.점의 동일$$ 좌표${\displaystyle }$[${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$:${\displaystyle }$⋯${\displaystyle }$: x ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle [x_{0}:\cdots$:${\displaystyle {}_{}}$${n}}}}$과(와) 이미지$[{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$: ${\displaystyle \cdots }$: ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystystyle [y_{0}:\cdots :y_{n}]}}$은(에 의해 관련된다.

${\displaystyle {\ligned}y_{0}&=a_{0,0}x_{0}+\a_{0,n}x_{n}\\\\\vdots \\\\\\\n,0}x_{n}>a_{0}x}+\n,n}.\end{정렬}}}$

투사공간이 부착공간(투사완성)에 무한의 점을 추가하여 정의될 때(투사완성) 앞의 공식은 부착좌표에서,

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&={\frac {a_{1,0}+a_{1,1}x_{1}+\dots +a_{1,n}x_{n}}{a_{0,0}+a_{0,1}x_{1}+\dots +a_{0,n}x_{n}}}\\&\vdots \\y_{n}&={\frac {a_{n,0}+a_{n,1}x_{1}+\dots +a_{n,n}x_{n}}{a_{0,0}+a_{0,1}x_{1}+\dots +a_{0,n}x_{n}}}\end{aligned}}}$

다음 섹션의 동음이의어 함수의 표현을 일반화한다.이는 부착 공간 사이의 부분 함수만 정의하며, 분모가 0인 하이퍼플레인 외부에서만 정의된다.

투영선의 호모그래피

필드 K에 걸친 투영 선은 K와 점의 결합으로 식별할 수 있으며, "point at in infinity"(투영 선 참조)라고 하며, ∞로 표시된다.이 투영 선으로, 호모그래피는 매핑이다.

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d},{\text{{}여기서 }ad-bc\neq 0,}$

이를 동음이의 함수 또는 선형 부분 변환이라고 한다.

리만 구와 동일시할 수 있는 복잡한 투영선의 경우, 호모그래피를 뫼비우스 변환이라고 한다.이것들은 방향을 유지하고 순응하는 리만 구의 그러한 편견과 정확히 일치한다.^[3]

콜라인먼트 연구에서는 작은 치수 때문에 투영 라인의 경우는 특별하다.선을 고립된 투영공간으로 볼 때, 투영선의 점들의 순열은 모든 점들의 집합이 일렬로 되어 있기 때문에,^[4] 콜라인화 된다.그러나 투영선이 고차원 투영 공간에 박혀 있으면 그 공간의 기하학적 구조를 이용하여 선에 기하학적 구조를 부과할 수 있다.따라서 합성 기하학에서 고려되는 투영 선의 호모그래피와 콜라인화는 더 높은 차원의 공간의 호모그래피와 호모그래피에 대한 제한에 의해 얻어지는 것이다.이는 투영 기하학의 기본 정리(아래 참조)가 1차원 설정에서 유효하다는 것을 의미한다.투영 라인의 동음이의어는 매핑이 교차 비율을 보존한다고 주장함으로써 적절하게 정의될 수 있다.^[5]

투영 프레임 및 좌표

치수 n의 투사 공간의 투사 프레임 또는 투사 기반은 하이퍼플레인이 n + 1을 포함하지 않는 n + 2 점의 순서 집합이다.치수 n의 공간에 있는 심플렉스에는 최대 n + 1 정점이 있지만 ^[6]투영 프레임을 심플렉스라고 부르기도 한다.

대부분의 결과가 분할 링 위의 투사적 공간으로 일반화될 수 있지만, 이 절에서는 정류 필드 K 위의 투사적 공간을 고려한다.

P(V)를 차원 n의 투영공간으로 하자. 여기서 V는 차원 n + ${\displaystyle 1}$의 K 벡터 공간이며, $p{\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \setminus }${ 0 ${\displaystyle \}}$→ P ${\displaystyle (V}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle p:$$V\setminus \{0\}\to P(V)}$는 0이 아닌 벡터를 포함하는 벡터 라인에 매핑하는 표준 투영법이다$$.

For every frame of P(V), there exists a basis ${\displaystyle e_{0},\dots ,e_{n}}$ of V such that the frame is ${\displaystyle \left(p(e_{0}),\ldots ,p(e_{n}),p(e_{0}+\dots +e_{n})\right),}$ and this basis is unique up to the multiplication o동일한 K의 0이 아닌 원소에 의한 모든 원소의 f.Conversely, if ${\displaystyle e_{0},\dots ,e_{n}}$ is a basis of V, then ${\displaystyle \left(p(e_{0}),\ldots ,p(e_{n}),p(e_{0}+\dots +e_{n})\right)}$ is a frame of P(V)

두 개의 프레임을 감안할 때 첫 번째 프레임을 두 번째 프레임에 매핑하는 동음이의어가 정확히 한 개 있다.특히 프레임의 포인트를 고정하는 동음이의어로는 아이덴티티 맵밖에 없다.이 결과는 합성 기하학(공리를 통해 투영 공간이 정의되는 곳)에서 훨씬 더 어렵다.그것은 때때로 투영 기하학의 첫 번째 근본적인 정리라고 불린다.^[7]

Every frame ${\displaystyle (p(e_{0}),\ldots ,p(e_{n}),p(e_{0}+\cdots +e_{n}))}$ allows to define projective coordinates, also known as homogeneous coordinates: every point may be written as p(v); the projective coordinates of p(v) on this frame are the coordinates of v on the base${\displaystyle }$( ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$e ${\displaystyle n_{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle (e_{0},\ldots, e_{n}).$$}}$ 프레임이나 p(v)를 변경하지 않고 $e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$와 v를 변경하면 투영 좌표에 동일한 K의 0이 아닌 요소를 곱하는 결과를 얻을 수 있음을 검증하는$$ 것은 어렵지 않다.

투사 공간 P_n(K) = P(Kⁿ⁺¹)는 K의ⁿ⁺¹ 표준 기준 p에 의한 이미지로 구성되는 표준 프레임을 가지고 있다(비제로 엔트리가 1인 1만 있는 원소의 일치), (1, 1, ..., 1)이를 근거로 p(v)의 균일한 좌표는 단순히 tuple v의 입력(코퍼레이션)일 뿐이다. 동일한 차원의 또 다른 투영 공간 P(V)와 그 프레임 F를 주어진다면 P_n(K)의 표준 프레임에 F를 매핑하는 하나뿐인 동음이의 h가 있다.프레임 F에 있는 점 a의 투영 좌표는 P_n(K)의 표준 프레임에 있는 h(a)의 균일한 좌표다.

중심선

위 절에서 호모그래피는 선형대수를 통해 정의되었다.합성 기하학에서 그것들은 전통적으로 중심 콜라인이라고 불리는 하나 또는 여러 개의 특별한 동음이의 구성으로 정의된다.두 정의가 동등하다는 것은 투영 기하학의 기본 정리의 일부분이다.

치수 n ≥ 2의 투영 공간 P에서 P의 연선은 선에 선을 매핑하는 P에서 P로의 편향이다.사용자 간 직접 접속에서 중앙 공선 변환(전통적으로 이 perspectivities,[8]지만 이번 학기 혼란을 줄 또 한번 의미를 가지고, 보십시오라고 불렸다 Perspectivity)은 bijection α 등이 점별α(그것은, α(X))X모든 점 XH에서)고정은 초평면 H(라고 불리는 축 α), 1인 지점과 O(의 중심이라고 불리는 존재한다.α)은 α에 의해 선으로 고정된다(O를 통과하는 어떤 선은 α에 의해 그 자체로 매핑되지만 반드시 점으로 표시된 것은 아니다).^[9]중앙 콜라인에는 두 가지 유형이 있다.용출은 중심이 축과 충돌하는 중심 콜라인이며, 동어는 중심과 축이 충돌하지 않는 중심 콜라인이다.중심 콜라인은 중심 O와 다르고 축에 속하지 않는 주어진 점 P의 중심, 축 및 영상 α(P)에 의해 고유하게 정의된다.(다른 점 Q의 α(Q)는 O와 Q에 의해 정의된 선과 α(P)를 통과하는 선의 교차점이며, P와 Q에 의해 정의된 선의 축과 교차점이다.)

중심 콜라인(central collineation)은 치수 n의 eigenspace를 갖는 (n+1) × (n+1) 행렬에 의해 정의된 호모그래피다.행렬이 또 다른 고유값을 가지며 따라서 대각선이 가능한 경우 이는 호몰로지다.모든 고유값이 동일하고 행렬이 대각선으로 가능하지 않으면 용출이다.

중심 콜라인의 기하학적 경관은 투영면에서 가장 쉽게 볼 수 있다.Given a central collineation α, consider a line ${\displaystyle \ell }$ that does not pass through the center O, and its image under α, ${\displaystyle \ell '=\alpha (\ell )}$. Setting ${\displaystyle R=\ell \cap \ell '}$, the axis of α is some line M through R.α 아래의$$ ℓ ${\displaystyle \ell }$ 지점 A의 이미지는${\displaystyle {}^{}}\ell {\displaystyle {}^{}}$ ${\$ '}과$($와) OA의 교차점이다$.$$\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell }$에 속하지 않는 점 B의 이미지 B는 다음과 같은 방법으로 구성할 수 있다$$: $S{\displaystyle }$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \cap }$ M ${\displaystyle S=AB\cap M$ $B{\displaystyle {}^{}}$let${\displaystyle }$= S${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystytle$ B$'=$$사캡$ OB$\}.$

일반적으로 동음이의어인 두 개의 중심 콜라인의 구성은 중심 콜라인이 아니다.사실, 모든 동음이의어는 한정된 수의 중심 콜라인들의 구성이다.합성 기하학에서는 투영 기하학의 기본 이론의 일부인 이 속성을 동음이의 정의로 삼는다.^[10]

투영 기하학의 기본 정리

호모그래피 말고도 줄거리가 있다.특히 필드 F의 어떤 필드 오토모프리즘 ism은 점의 모든 균일한 좌표(프로젝트 프레임에 걸쳐)에 σ을 적용함으로써 F를 통한 모든 투영 공간의 연선을 유도한다.이러한 선형을 자동 선이라고 한다.

투영 기하학의 기본 정리는 다음의 세 가지 이론으로 구성된다.

1. 투사 공간 P의 투사형 프레임 2개를 감안하면, 첫 번째 프레임을 두 번째 프레임에 매핑하는 P의 동음이의어가 정확히 한 개 있다.
2. 투영 공간 P의 치수가 최소 2인 경우, P의 모든 연선은 자동형 콜라인화와 동음이의 구성이다.특히 실재에 걸쳐 최소 2차원 투영공간의 모든 연계는 동음이의어다.^[11]
3. 모든 동음이의어는 한정된 수의 관점의 구성이다.특히 묵시적 투영 공간의 치수가 최소 2인 경우 모든 호모그래피는 한정된 수의 중심 콜라인 구성이다.

투영 공간이 공리(합성 기하학)를 통해 정의된다면, 제3부는 단순히 정의일 뿐이다.반면에 투영공간이 선형대수를 통해 정의된다면, 첫 부분은 정의의 쉬운 귀결이다.따라서 합성 기하학에서 제1절의 증명과 선형대수적인 측면에서 제3절의 증명은 모두 투영 공간을 정의하는 두 가지 방법의 등가성을 증명하는 근본적인 단계다.

동음이의어군

모든 호모그래피는 역지도가 있고 두 호모그래피의 구성이 다른 것이므로 주어진 투영 공간의 호모그래피는 그룹을 형성한다.예를 들어, 뫼비우스 그룹은 어떤 복잡한 투영 라인의 호모그래피 그룹이다.

동일한 분야에 걸쳐 동일한 차원의 모든 투사적 공간이 이형성이기 때문에 이들의 동음이의어군도 마찬가지다.따라서 그것들은 여러 공간에 작용하는 단일 그룹으로 간주되며, 특정한 투영 공간이 아닌 차원과 필드만이 표기법으로 나타난다.

투영 선형 그룹이라고도 불리는 동음이의 그룹은 필드 F에 걸쳐 차원 n의 투영 공간에 작용하는 경우 PGL(n + 1, F)로 표시된다.Above definition of homographies shows that PGL(n + 1, F) may be identified to the quotient group GL(n + 1, F) / F^×I, where GL(n + 1, F) is the general linear group of the invertible matrices, and F^×I is the group of the products by a nonzero element of F of the identity matrix of size (n + 1) × (n + 1).

F가 갈루아 필드 GF(q)인 경우 호모그래피 그룹은 PGL(n, q)로 작성된다.예를 들어 PGL(2, 7)은 유한장 GF(7)에 걸쳐 투사선의 8점에 작용하는 반면, 이형인₅ PGL(2, 4)은 5점을 갖는 투사선의 호모그래피 그룹이다.^[12]

호모그래피 그룹 PGL(n + 1, F)은 치수 n의 투영 공간의 콜라인먼트 그룹 PγL(n + 1, F)의 하위 그룹이다.투사 공간의 점 및 선을 블록 설계로 볼 때, 블럭이 선에 포함된 점들의 집합인 경우, 콜라인화 그룹을 설계의 자동화 그룹이라고 부르는 것이 일반적이다.

크로스 레이티오

4개의 콜린어 점의 교차 비율은 선들의 동음이의 연구에 기초하는 동음이의 아래에 있는 불변성분이다.

필드 F 위로 투사 선에 있는 세 개의 구별되는 점 a, b, c는 이 선의 투사 프레임을 형성한다.따라서 이 선에는 a ~ ∞, b ~ 0, c ~ 1을 매핑하는 F ∪ ∞에 대한 고유한 동음이의 h가 있다.같은 선에 네 번째 점을 부여하면 [a, b, c, d]로 표시된 4개의 점 a, b, c, d의 교차비율은 F of의 요소 h(d)이다.즉, d가 투사 프레임(a, b, c) 위에 균일한 좌표[k : 1]를 갖는 경우, [a, b; c, d] = k.^[13]

반지를 넘어

A가 반지이고 U가 그것의 단위 그룹이라고 가정하자.호모그래피는 A(A) 위에 투영된 선에 작용하며, 투영 좌표가 있는 U[a, b] 포인트로 구성된다.P(A)의 호모그래피는 매트릭스 매핑으로 설명된다.

${\displaystyle U[z,1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}=U[za+b,\zc+d].}$

A가 정류반지일 때에는 동음이의어를 쓸 수 있다.

${\displaystyle z\mapsto {\frac {za+b}{zc+d}\,}$

그러나 그렇지 않으면 선형 부분 변환은 동등성으로 간주된다.

${\displaystyle U[za+b,\zc+d]\thicksim U[(zc+d)^{-1}(za+b),\1].}$

정수 Z의 링의 동음계 그룹은 모듈형 그룹 PSL(2, Z)이다.링 호모그래피는 쿼터니온 분석과 나사 이론을 용이하게 하기 위한 이중 쿼터니온에 사용되어 왔다.시간 간격의 정규 그룹은 A가 바이쿼터니온의 구성 대수인 동음계로 나타낼 수 있다.^[14]

주기적 호모그래피

그때 h nx(1n01))(1001).{\displaystyle h^{n}={\begin{pmatrix}1& 때부터 그 반지를 Z/nZ(그 정수의 나머지 n)은 일자 일음 주의의 철자 법 h)(1101){\displaystyle h={\begin{pmatrix}1&, 1\\0&, 1\end{pmatrix}}};n\\0&, 1\end{pmatrix}}={\begin{pma 주기다.trix}1&, 0\\0&, 1\en$d{pmatrix}}.$$}}$ 아서 케일리는 1879년 반복을 계산할 때 주기성에 관심이 있었다.^[15]H. S. M. Coxeter는 동음이의 주기성에 대한 짐승 같은 힘 접근법에 대한 검토에서 다음과 같은 분석을 내놓았다.

실제 동음이의어는 +d = 0인 경우에만 비자발적(2의 기간)이다. 기간 n > 2로 주기적이라면 타원적이며, ad - bc = 1. 특성 뿌리가 exp(±hπi/m)이므로 여기서 (h, m) = 1인 경우, 추적은 +d = 2 cos(h π/m)이다.^[16]

참고 항목

• W-곡선

메모들

참조

• Artin, E. (1957), Geometric Algebra, Interscience Publishers
• Baer, Reinhold (2005) [First published 1952], Linear Algebra and Projective Geometry, Dover, ISBN 9780486445656
• 1977년 프랑스어 원본에서 M에 의해 번역되었다Berger, Marcel (2009), Geometry I, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-11658-5.콜과 S.레비, 1987년 영문번역 4번역
• Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Projective Geometry: From Foundations to Applications, Cambridge University Press, ISBN 0-521-48364-6
• Hartshorne, Robin (1967), Foundations of Projective Geometry, New York: W.A. Benjamin, Inc
• Hirschfeld, J. W. P. (1979), Projective Geometries Over Finite Fields, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850295-1
• Meserve, Bruce E. (1983), Fundamental Concepts of Geometry, Dover, ISBN 0-486-63415-9
• Yale, Paul B. (1968), Geometry and Symmetry, Holden-Day

추가 읽기

• Patrick du Val (1964) 호모그래피, 쿼터니온과 회전, 옥스퍼드 수학 모노그래프, Clarendon Press, 옥스퍼드, MR0169108.
• 건터 에발트(1971) 기하학: 소개, 263페이지, 벨몬트:워즈워스 출판사 ISBN 0-534-00034-7

외부 링크

• 위키미디어 커먼스의 호모그래피 관련 매체