비틀림 텐서

측지선을 따라 비틀림.

미분 기하학에서 비틀림 개념은 곡선을 중심으로 움직이는 프레임의 비틀림 또는 나사를 특징짓는 방법입니다.예를 들어, Frenet-Serret 공식에서 나타나는 곡선의 비틀림은 곡선이 진화함에 따라(또는 오히려 Frenet-Serret 프레임의 회전) 접선 벡터에 대한 곡선의 비틀림을 수량화합니다.지표면 기하학에서 지오데식 비틀림은 지표면이 지표면에서 곡선을 따라 어떻게 뒤틀리는지를 나타냅니다.곡률의 동반 개념은 움직이는 프레임이 곡선을 "뒤틀리지 않고" "롤링"하는 방법을 측정합니다.

보다 일반적으로 아핀 접속(즉, 접선 번들의 접속)을 갖춘 미분 가능한 다지관에서는 비틀림과 곡률이 접속의 두 가지 기본적인 불변성을 형성합니다.이러한 맥락에서 비틀림은 접선 공간이 평행하게 이송될 때 곡선에 대해 어떻게 뒤틀리는지에 대한 본질적인 특성을 제공하는 반면, 곡률은 접선 공간이 곡선을 따라 어떻게 구르는지 설명합니다.비틀림은 구체적으로 텐서 또는 다지관상의 벡터값 2-형식으로 설명할 수 있다.θ가 미분 다지관상의 아핀 연결일 경우, 비틀림 텐서는 벡터 필드 X 및 Y의 관점에서 다음과 같이 정의된다.

T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]

여기서 [X,Y]는 벡터 필드의 Lie 브래킷입니다.

비틀림은 지오데식 기하학 연구에 특히 유용하다.파라미터화된 측지학 시스템이 주어진 경우, 이러한 측지학이 있지만 비틀림에 따라 다른 아핀 접속의 클래스를 지정할 수 있습니다.비틀림을 흡수하는 고유한 연결이 있으며, 다른 비메트릭 상황(Finnler 지오메트리 등)에 대한 Levi-Civita 연결을 일반화합니다.비틀림이 있는 연결부와 비틀림이 없는 해당 연결부의 차이는 콘토션 텐서라고 불리는 텐서입니다.비틀림의 흡수는 또한 G-구조와 카르탄의 등가법 연구에 있어 기본적인 역할을 한다.비틀림은 연관된 투영 연결을 통해 비모수화된 측지학 계열의 연구에도 유용합니다.상대성 이론에서, 그러한 생각은 아인슈타인-카르탄 이론의 형태로 구현되었다.

비틀림 텐서

M을 탄젠트 다발(일명 공변 도함수) θ에 아핀 접속을 가진 다양체라고 하자.θ의 비틀림 텐서(Cartan (토션) 텐서라고도 함)는 벡터 필드 X와 Y에 정의된 벡터 값 2 형식이다.

T(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]

여기서 [X, Y]는 두 벡터 필드의 Lie 브래킷입니다.라이프니츠 법칙에 따르면 매끄러운 함수 f에 대해 T(fX, Y) = T(X, fY) = fT(X, Y)이다.따라서 T는 1차 미분 연산자인 연결 측면에서 정의되어 있음에도 불구하고 텐셔너리입니다. 즉, T는 접선 벡터에 대한 2-형식을 제공하는 반면 공변 도함수는 벡터 필드에 대해서만 정의됩니다.

비틀림 텐서의 구성 요소

접선다발 단면의 국소적 기초(e₁, ..., e_n)에 관한 비틀림 $T^{c}{}_{ab}$ $T^{c}{}_{ab}$ c $T^{c}{}_{ab}$ $T^{c}{}_{ab}$ {\ $displaystyle$ T $^{c}_{ab}}$ 의 $T^{c}{}_{{ab}}$ 성분은 X = e_i, Y = e를_j 설정하고 정류자 계수 δe^k_ij_k : [e_i, e_j]를 도입하여 도출할 수 있다.토션의 구성 요소는 다음과 같습니다.

{\displaystyle T^{k}_{ij}=\Gamma ^{k}_{ji}-\gamma ^{k}{ij}-\gamma ^{k}{}_{ij},\gamma i,j,k=1,2,\ldots,n}.

$다음$ 은 ${\Gamma ^{k}}_{ij}$ 연결을 정의하는 연결 계수입니다 $.$ 기본이 홀로노믹일 경우 Lie 괄호는 사라집니다. $T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}$ $\gamma ^{k}{}_{ij}=0$ i $T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}$ $\gamma ^{k}{}_{ij}=0$ 0 \ $displaystyle$ \ $display$ style ^ { $k } _$ { $ij$ $T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}$ $T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}$ $T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}$ k [ $T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}$ $T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}$ ]{ $displaystyle$ T^ { $k } _$ { $ij = 2$ \ $Gamma$ ^ { $k$ } { k } $}$ { $i$ }텐서는 반대칭 부품을 결정합니다.

비틀림 형태

비틀림의 대안적 특성인 비틀림 형태는 매니폴드 M의 프레임 번들 FM에 적용됩니다.이 주요 번들은 수직 벡터를 gl(n)의 오른쪽 동작 발생기에 매핑하고 FM의 접선 번들 상의 GL(n)의 오른쪽 동작과 gl(n)의 인접 표현과 등가적으로 얽히는 gl(n) 값 단일 형식인 접속 형식 δ를 갖추고 있다.프레임 번들은 프레임 u_x ∈ FM(선형 함수 uⁿ_x : R → TM)에서 정의된 R 단위의ⁿ 값을 갖는 표준 단일 형식 ,도 전송합니다.

(\displaystyle \theta (X)=u^{-1}(\pi _{*}(X)))}})

여기서 " : FM → M은 주요 번들에 대한 투영 매핑이고 "M"은 푸시 포워드입니다.비틀림 형태는 다음과 같습니다.

\Theta = d\theta +\Omega \timeout \theta

마찬가지로, δ = Dδ이며, 여기서 D는 연결에 의해 결정되는 외부 공변량 도함수입니다.

비틀림 형태는 R의 값을 갖는ⁿ (수평) 텐셔너리 형식입니다. 즉, g µ GL(n)의 올바른 작용 하에서 다음과 같이 등변환됩니다.

R_{g}^{*}\Theta = g^{-1}\cdot \Theta

여기서 g는 R에서의 인접ⁿ 표현을 통해 우측에서 동작합니다.

프레임의 비틀림 형태

비틀림 형태는 접선다발(e, ..., e)의₁_n 특정 프레임에 기재된 베이스 매니폴드 M의 연결형태로 표현할 수 있다.연결 형식은 다음과 같은 기본 섹션의 외부 공변량 도함수를 나타냅니다.

D\mathbf {e}_{i}=\mathbf {e}_{j}_{i}.

탄젠트 번들의 납땜 형태(이 프레임에 포함)는_i e의 이중 염기 δⁱ^∗ TM이므로 δⁱ_j(e) = δⁱ_j (크로네커 델타)이다.그런 다음 토션 2-폼에 구성 요소가 있습니다.

\Theta ^{k}=d\theta ^{k}+{\Omega ^{k}}_{j}\displaystyle \theta ^{j}={T^{k}_{ij}\theta ^{i}\wedge \theta ^{j}.

가장 오른쪽에 있는 표현으로

{\displaystyle {T^{k}}_{ij}=\theta ^{k}\left(\displayla _{\mathbf {e}_{j}-\mathbf {e}_{j}\mathbf {e}_{i})_{j}\mathbf {e}, \mathbf},

는 이전 정의에 제시된 비틀림 텐서의 프레임 성분입니다.

만약 다른 프레임이 다음과 같은 의미에서ⁱ δ가 텐서적으로 변환된다는 것을 쉽게 보여줄 수 있다.

({displaystyle {tilde {mathbf {e}})_{i}=\mathbf {e}_{j}_{i})

일부 가역 행렬 값 함수(g)의^j_i 경우

디스플레이 스타일Theta }}^{i}=왼쪽(g^{-1}\오른쪽)^{i}_{j}\Theta ^{j} 입니다.}

즉, δ는 유형(1, 2)의 텐서(반변 지수 1개와 공변 지수 2개를 전달함)이다).

또는 이중성 동형 End(TM) tm TM tm^∗ TM tm TM 하에서의 접선다발의 동일 내형성에 대응하는 M상의 TM값 일형 θ로서 납땜 형태를 프레임에 의존하지 않는 형태로 특징지을 수 있다.그러면 비틀림 2-폼이 단면입니다.

\표시 스타일\Theta\텍스트{Hom}}\left({\textstyle \bigwedge }^{2}{\rm {T}}M,{\rm {T}}M\right})}

에 의해 주어지는

(\displaystyle\Theta=D\theta,)

여기서 D는 외부 공변 도함수입니다(자세한 내용은 연결 양식을 참조하십시오).

환원 불가 분해

비틀림 텐서는 두 개의 축소할 수 없는 부분으로 분해할 수 있습니다. 즉, 트레이스 프리 부품과 트레이스 항을 포함하는 다른 부품입니다.인덱스 표기법을 사용하면 T의 트레이스는 다음과 같이 표시됩니다.

a_{i}=T^{k}{}_{ik}

트레이스 프리 부분은

B^{i}_{jk}=T^{i}_{jk}+{\frac {1}{n-1}\delta ^{i}_{j}a_{k}-{\frac {1}{n-1}\delta ^{i}_{k}a_{j}}

여기서 θ는ⁱ_j 크로네커 델타입니다.

본질적으로, 사람은

\displaystyle T\in \operatorname {Hom} \left({\textstyle \bigwedge }^{2}{\rm {T}}M, {\rm {T}}M\오른쪽).}

T, tr T의 Trace는 다음과 같이 정의된 TM의^∗ 요소입니다.각 고정 X µ TM에 대해 T는 다음을 통해 Hom(TM, TM)의 요소 T(X)를 정의합니다.

T(X):Y\mapsto T(X\wedge Y)

다음으로 (tr T)(X)를 이 내형성의 트레이스로 정의한다.그것은,

{\displaystyle(\operatorname {tr} \,T)(X){\stackrel {text{def}}{=}}\operatorname {tr}(T(X)})}.

T의 트레이스 프리 부분은 다음과 같습니다.

(\displaystyle T_{0}=T-{\frac {1}{n-1}}\iota(\operatorname {tr} \,T),}

여기서 denotes는 인테리어 제품이다.

곡률과 비앙치의 정체성

θ의 곡률 텐서는 벡터 필드 X, Y, Z에 다음과 같이 정의된 매핑 TM × TM → End(TM)입니다.

R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{X,Y]}Z

한 점에 있는 벡터의 경우, 이 정의는 벡터가 해당 지점에서 떨어진 벡터 필드로 확장되는 방법과 독립적입니다(따라서 비틀림과 매우 유사한 텐서를 정의합니다).

Biancchi 정체성은 다음과 같이 곡률과 비틀림을 관련짓는다.^[1] $(\$ 는 ${\mathfrak {S}}$ X, Y, Z에 대한 순환합을 나타냅니다.예를 들어.

{S}}\left(R\left(X,Y\right)Z\right):=R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y

그러면 다음 ID가 유지됩니다.

비앙치의 첫 번째 정체성:
$({displaystyle {S}\left(R\left(X,Y\right)Z\right)=mathfrak {S}\left(T\left(X,Y,Z\right)+left(\nabla _{X}T\right)\left(\nabla _{X}T\right)\left(오른쪽)\left(Y,Z\오른쪽)\right)\right)$
비앙치의 두 번째 정체성:
${S}}\left(\nabla _{X}R\오른쪽)\left(Y,Z\오른쪽)+R\left(T\left(X,Y\right),Z\right)=0$

곡률 형태와 비앙치 정체성

곡률 형식은 gl(n) 값 2-형식입니다.

\displaystyle \Omega = D\Omega +\Omega \displaystyle \Omega }

여기서 D는 외부 공변 미분을 나타낸다.곡률 형태와 비틀림 형태에 관하여, 대응하는 비앙치 식별성은^[2] 다음과 같다.

$(\display style D\]Theta = \Omega \syslog \theta }$
$(\displaystyle D\Omega = 0).}$

또, 곡률이나 비틀림 형태로부터 다음과 같이 곡률이나 비틀림 텐서를 회복할 수 있다.FM의_x u 지점에서, 사람은^[3]

{\displaystyle {begin{aligned}R(X,Y)Z&=left(2\Omega \left(X),\pi ^{-1}(Y)\right)\left(u^{-1}(Z)\right),\T(X,Y)\ta(좌측)\ta=좌측

여기서 u : Rⁿ → TM은_x 파이버 내의 프레임을 지정하는 함수이며, 곡률 및 비틀림 형태는 수평이기 때문에 θ를⁻¹ 통한 벡터 리프트 선택은 관련이 없습니다(모호한 수직 벡터에서는 사라집니다).

특성화 및 해석

이 절 전체에 걸쳐, M은 미분 가능한 다양체이며, 달리 언급하지 않는 한, M의 접선 다발의 공변 도함수라고 가정한다.

기준 프레임의 비틀림

곡선의 고전적인 미분 기하학에서 Frenet-Serret 공식은 특정 이동 프레임(Frenet-Serret 프레임)이 곡선을 따라 어떻게 뒤틀리는지를 나타냅니다.물리적인 관점에서 비틀림은 곡선의 접선을 따라 이상화된 꼭대기의 각 운동량에 대응합니다.

(미터) 연결이 있는 다지관의 경우도 유사한 해석을 허용합니다.관측자가 연결을 위해 측지선을 따라 이동하고 있다고 가정합니다.이러한 관찰자는 가속을 경험하지 않기 때문에 일반적으로 관성인 것으로 생각됩니다.또한 관찰자가 견고한 직선 측정봉 시스템(좌표 시스템)을 휴대한다고 가정하자.각 로드는 직선 세그먼트이며 측지선입니다.각 막대가 궤적을 따라 평행하게 이송된다고 가정합니다.이 막대들이 물리적으로 궤적을 따라 운반된다는 것은 그들이 Lie-draged이거나 전파되어 접선을 따라 있는 각 막대들의 Lie 도함수가 사라짐을 의미합니다.그러나 Frenet-Serret 프레임에서 상단이 느끼는 토크와 유사한 토크(또는 비틀림 힘)를 경험할 수 있습니다.이 힘은 비틀림으로 측정됩니다.

보다 정확하게는 관측자가 측지 경로 θ(t)를 따라 이동하며 측정 막대를 운반한다고 가정하자.관찰자가 경로를 따라 이동할 때 막대가 표면을 쓸어냅니다.이 표면에는 자연 좌표(t, x)가 있습니다. 여기서 t는 관찰자가 취한 파라미터 시간이고 x는 측정 막대를 따른 위치입니다.로드의 접선이 곡선을 따라 평행하게 변환되어야 하는 조건은 다음과 같습니다.

(\displaystyle\왼쪽).\fracla _{\frac {\frac t}{\frac x}\right _{x=0}=0.}

그 결과 비틀림은 다음과 같이 주어진다.

(\displaystyle\왼쪽).T\left({\frac}{\frac}{\frac t}}\오른쪽)_{x=0}=\left.\fracla _{\frac x}{\frac t}\right _{x=0}}

이 값이 0이 아니면 로드에 표시된 점(x = 일정한 곡선)이 측지학 대신 나선형을 추적합니다.관찰자 주위로 회전하는 경향이 있습니다.이 인수에서는 " $\gamma (t)$ ( $\gamma (t)$ ) \ $displaystyle \gamma ($ t )"가 $\gamma (t)$ 측지학이라는 것은 필수가 아닙니다.어떤 곡선이든 상관없습니다.

비틀림에 대한 이러한 해석은 상대성 이론의 대안적 공식인 아인슈타인-카르탄 이론으로도 알려진 텔레패럴리즘 이론에서 역할을 한다.

필라멘트의 비틀림

재료 과학, 특히 탄성 이론에서 비틀림 개념은 또한 중요한 역할을 한다.한 가지 문제는 넝쿨의 성장을 모델화하며 넝쿨이 어떻게 물체를 ^[4]휘감는지에 대한 질문에 초점을 맞추고 있습니다.덩굴식물 자체는 한 쌍의 신축성 있는 필라멘트가 서로 꼬여 있는 형태로 만들어졌다.에너지를 최소화하는 상태에서 덩굴 식물은 자연스럽게 나선형으로 자란다.그러나 덩굴은 또한 그 범위(또는 길이)를 최대화하기 위해 뻗을 수 있다.이 경우 포도나무의 비틀림은 한 쌍의 필라멘트의 비틀림(또는 필라멘트를 연결하는 리본의 표면 비틀림)과 관련지어 포도나무의 길이 최대화(지오데식) 구성과 에너지 최소화 구성의 차이를 반영한다.

비틀림 및 소용돌이

유체역학에서 비틀림은 자연스럽게 소용돌이 라인과 연관된다.

측지학 및 비틀림 흡수

θ(t)가 M에 대한 곡선이라고 가정하자.다음으로 θ는 아핀 파라메타화된 측지선이다.

\displaystyle \dotsla _{\dot {\dots }}(t) {\dots {\dots }(t) = 0}

(여기서 점은 t에 대한 미분을 나타내며, t를 따라 가리키는 θ 탄젠트 벡터와 관련된다.) $각$ 측지선은 시간 t = 0, ${\dot {\gamma }}(0)$ ${\dot {\gamma }}(0)$ )의 $초기$ 접선 벡터에 의해 고유하게 결정된다 $.$

연결부의 비틀림 적용 중 하나는 연결부의 측지선 스프레이를 사용하는 것입니다. 대략적으로 모든 아핀 매개 변수화된 측지선 계열입니다.비틀림은 지오데식 스프레이와 관련하여 연결을 분류할 때 모호함입니다.

동일 파라미터화된 지오데식(즉 동일 지오데식 스프레이)을 가진 2개의 접속부 θ 및 θ는 ^[5]비틀림만으로 다르다.

좀 더 정확히 말하면, X와 Y가 p m M에서 접선 벡터의 쌍이라면,

\displaystyle \Delta (X,Y)=\nabla _{X}{\tilde {Y}}-\nabla '_{X}{\tilde {Y}}

두 연결의 차이이며, p에서 떨어진 X와 Y의 임의 확장으로 계산됩니다.라이프니츠 곱의 법칙에 따르면, 실제로 δ는 X와 Y are의 연장 방법에 의존하지 않는다는 것을 알 수 있다(따라서 M에 대한 텐서를 정의한다). S와 A는 δ의 대칭 및 교대 부분이라고 하자.

(\displaystyle S(X,Y)=tfrac {1}{2}}\left(\Delta(X,Y)+\Delta(Y,X)\오른쪽)}

(\displaystyle A(X,Y)=tfrac {1}{2}}\left(\Delta(X,Y)-\Delta(Y,X)\right)}

그리고나서

$A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)$ ( $A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)$ , $A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)$ ) $A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)$ $A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)$ 2 ( $A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)$ , $A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)$ Y $A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)$ ) - $A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)$ $A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)$ ( $X$ , Y $A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)$ ) $A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)$ （ $A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)$ , $A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)$ ) = $display tfrac {1$ } ${2}}$ \ left $( T$ ( $X$ , $Y$ ) - $T$ ' ( $X$ , $Y$ ) \ $right$ }는 $A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)$ 비틀림의 차이입니다.
and과 ′는 S(X, Y) = 0인 경우에만 동일한 패밀리의 매개변수화된 측지선학을 정의한다.

즉, 2개의 접속차이의 대칭부분은 동일한 파라미터화된 측지선을 가지는지 아닌지를 결정하는 반면, 차이의 스큐부분은 2개의 접속의 상대적인 비틀림에 의해 결정된다.또 다른 결과는 다음과 같습니다.

임의의 아핀 접속이 주어지면 아핀 파라미터화된 동일 패밀리 측지선과의 고유한 비틀림 없는 접속이 존재한다.이 두 연결 사이의 차이는 사실 텐서, 즉 콘텐션 텐서입니다.

이것은 일반 아핀(아마도 비메트릭) 접속에 대한 리만 기하학의 기본 정리의 일반화입니다.파라메트릭화된 측지학 계열에 종속되는 고유한 비틀림 없는 연결을 선택하는 것을 비틀림 흡수라고 하며, 이는 카르탄 등가법의 단계 중 하나입니다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 고바야시 & 노미즈 1963, 제1권, 발의안 III.5.2.
^ 고바야시 & 노미즈 1963, 제1권 III.2.
^ 고바야시 & 노미즈 1963, 제1권 III.5.
^ Gorliely et al. 2006.
^ Spivak(1999) Volume II, 6장 부록 1을 참조하십시오.Bishop and Goldberg(1980), 섹션 5.10을 참조하십시오.

레퍼런스

Bishop, R.L.; Goldberg, S.I. (1980), Tensor analysis on manifolds, Dover Publications
Cartan, É. (1923), "Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie)", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 40: 325–412
Cartan, É. (1924), "Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite)", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 41: 1–25
Elzanowski, M.; Epstein, M. (1985), "Geometric characterization of hyperelastic uniformity", Archive for Rational Mechanics and Analysis, 88 (4): 347–357, Bibcode:1985ArRMA..88..347E, doi:10.1007/BF00250871
Goriely, A.; Robertson-Tessi, M.; Tabor, M.; Vandiver, R. (2006), "Elastic growth models" (PDF), BIOMAT-2006, Springer-Verlag, archived from the original (PDF) on 2006-12-29
Hehl, F.W.; von der Heyde, P.; Kerlick, G.D.; Nester, J.M. (1976), "General relativity with spin and torsion: Foundations and prospects", Rev. Mod. Phys., 48, Bibcode:1976RvMP...48..393H, doi:10.1103/revmodphys.48.393, 393.
Kibble, T.W.B. (1961), "Lorentz invariance and the gravitational field", J. Math. Phys., 2: 212–221, Bibcode:1961JMP.....2..212K, doi:10.1063/1.1703702, 212.
Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963), Foundations of Differential Geometry, vol. 1 & 2 (New ed.), Wiley-Interscience (published 1996), ISBN 0-471-15733-3
Poplawski, N.J. (2009), Spacetime and fields, arXiv:0911.0334, Bibcode:2009arXiv0911.0334P
Schouten, J.A. (1954), Ricci Calculus, Springer-Verlag
Schrödinger, E. (1950), Space-Time Structure, Cambridge University Press
Sciama, D.W. (1964), "The physical structure of general relativity", Rev. Mod. Phys., 36: 463, Bibcode:1964RvMP...36..463S, doi:10.1103/RevModPhys.36.463
Spivak, M. (1999), A comprehensive introduction to differential geometry, Volume II, Houston, Texas: Publish or Perish, ISBN 0-914098-71-3

[FOOTNOTEKobayashiNomizu1963Volume_1,_Proposition_III.5.2-1] 고바야시 & 노미즈 1963, 제1권, 발의안 III.5.2.

[FOOTNOTEKobayashiNomizu1963Volume_1,_III.2-2] 고바야시 & 노미즈 1963, 제1권 III.2.

[FOOTNOTEKobayashiNomizu1963Volume_1,_III.5-3] 고바야시 & 노미즈 1963, 제1권 III.5.

[FOOTNOTEGorielyRobertson-TessiTaborVandiver2006-4] Gorliely et al. 2006.

[5] Spivak(1999) Volume II, 6장 부록 1을 참조하십시오.Bishop and Goldberg(1980), 섹션 5.10을 참조하십시오.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v t 미분 기하학에서 정의된 곡률의 다양한 개념
미분 지오메트리 곡선의	곡률 곡선의 비틀림 프레네-세레 공식 곡률 반지름(어플리케이션) 아핀 곡률 총 곡률 총 절대 곡률
미분 지오메트리 표면의	주요 곡선 가우스 곡률 평균 곡률 다르부스 프레임 가우스-코다치 방정식 제1기초형식 제2기초형식 제3의 기본형
리만 기하학	리만 다양체의 곡률 리만 곡률 텐서 리치 곡률 스칼라 곡률 단면 곡률
접속 곡률	곡률 형태 비틀림 텐서 코커버처 홀로노미

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