Continuità uniforme

In matematica, in particolare in analisi matematica, una funzione uniformemente continua è una particolare funzione continua. Intuitivamente, una funzione $f$ è uniformemente continua se una piccola variazione del punto $x$ comporta una piccola variazione dell'immagine $f(x)$ (quindi $f$ è continua), e la misura della variazione di $f(x)$ dipende solo dalla misura della variazione di $x$, ma non dal punto $x$ stesso.

La continuità uniforme è quindi una proprietà globale della funzione, contrariamente alla continuità semplice, che è una proprietà locale. Infatti, quando si dice che una funzione è continua, si intende semplicemente che è continua in ogni punto del suo dominio; non ha invece alcun senso affermare che una funzione è uniformemente continua in un punto.

Definizione

Nel caso specifico di una funzione $f:I\to \mathbb {R}$, dove $I\subseteq \mathbb {R}$ è un intervallo, si dice che $f$ è uniformemente continua se per ogni numero reale $\varepsilon >0$ esiste un numero reale $\delta >0$ tale che per ogni $x_{1},x_{2}\in I$ con $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ (cioè "sufficientemente vicini l'uno all'altro") si ha

$|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$

Diversamente dalla continuità semplice la distanza $\delta$ dipende quindi unicamente dalla distanza $\varepsilon$ e non dal punto $x_{1}$ o $x_{2}$.

La definizione di cui sopra si può immediatamente generalizzare ad arbitrari spazi metrici: dati due spazi metrici $(X,d_{X})$ e $(Y,d_{Y})$, si dice che una funzione $f:X\to Y$ è uniformemente continua se per ogni $\varepsilon >0$ esiste un $\delta >0$ tale che, comunque scelti due punti $x_{1},x_{2}\in X$ che soddisfano $d_{X}(x_{1},x_{2})<\delta$, allora si ha:

$d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))<\varepsilon$

Esempi

Grafico della funzione $\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$, che non è uniformemente continua in $(0,1]$.

La funzione costante, l'identità o una qualsiasi funzione lineare sono funzioni uniformemente continue; altri esempi sono le funzioni derivabili in un insieme convesso la cui derivata è limitata (ad esempio le funzioni seno e coseno).

Al contrario, i polinomi di grado maggiore di $1$ non sono funzioni uniformemente continue sull'intera retta reale, sebbene lo siano sugli insiemi limitati: data ad esempio la funzione $f(x)=x^{2}$, infatti, per ogni $\delta >0$ la differenza:

$f(x+\delta )-f(x)=(x+\delta )^{2}-x^{2}=2\delta x+\delta ^{2}$

tende ad infinito per $x\to \pm \infty$.

Un analogo ragionamento può essere usato per dimostrare che la funzione $f(x)=1/x$ non è uniformemente continua nell'intervallo $(0,1]$, mostrando che funzioni continue su un insieme limitato non sono necessariamente uniformemente continue. Neppure aggiungendo l'ipotesi che la funzione sia limitata si ottengono funzioni uniformemente continue: ad esempio la funzione $f(x)=\sin(1/x)$ (sempre nell'intervallo $(0,1]$) non è uniformemente continua, perché in ogni intervallo $(0,\delta )$ si possono trovare $x_{1},x_{2}\in I$ tali che $|f(x_{1})-f(x_{2})|=2$.

Condizioni sufficienti per la continuità uniforme

Il teorema di Heine-Cantor afferma che le funzioni continue su un insieme compatto (in $\mathbb {R} ^{n}$ un insieme chiuso e limitato) sono uniformemente continue su tale insieme compatto; il teorema può essere esteso a comprendere anche insiemi non compatti, purché la funzione tenda (per $x\to \pm \infty$) ad un limite finito oppure ammetta un asintoto obliquo.

Inoltre, ogni funzione lipschitziana $f$ è uniformemente continua: dato $\varepsilon >0$, si può scegliere $\delta :={\frac {\varepsilon }{K}}$, dove $K>0$ è una costante di Lipschitz di $f$. La lipschizianità è una condizione sufficiente ma non necessaria per l'uniforme continuità (si veda il seguente esempio).

Esempio

Si prenda $f(x)=x^{\frac {1}{3}}$. Essa non è lipschitziana in $\mathbb {R}$, ma lo è in qualunque insieme del tipo $\left(-\infty ,-a)\cup (a,+\infty \right)$, con $a>0$ (la sua derivata, infatti, si mantiene in questo caso limitata, il che è sufficiente per la lipschitzianità). Pertanto, $f(x)$ è uniformemente continua in questi intervalli.

D'altra parte, attorno a $0$ (ossia in un intervallo del tipo $\left[-a,a\right]$, complementare degli intervalli suddetti), si può garantire l'uniforme continuità di $f(x)$ (continua e definita in un compatto).

Combinando questi risultati, otteniamo che $f(x)$ è uniformemente continua in $\mathbb {R}$, pur non essendo lipschitziana.

Altre proprietà

Una funzione uniformemente continua in un insieme $X$ lo è anche in ogni sottoinsieme $E\subseteq X$; non vale il viceversa (ad esempio, $f(x)=x^{2}$ è uniformemente continua in ogni intervallo limitato ma non negli intervalli illimitati).

L'immagine di un intervallo limitato attraverso una funzione uniformemente continua è limitato.

Bibliografia

• Enrico Giusti, Analisi matematica 1, terza, Bollati Boringhieri, 2002, ISBN 88-339-5684-9.
• Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi Matematica Uno, Liguori Editore, 1998, ISBN 88-207-2819-2.
• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi Matematica Due, Liguori Editore, 1996, ISBN 88-207-2675-0.
• Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.
• (EN) Nicolas Bourbaki, General Topology: Chapters 1–4 [Topologie Générale], ISBN 0-387-19374-X. Chapter II is a comprehensive reference of uniform spaces.
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• (EN) Patrick Fitzpatrick, Advanced Calculus, Brooks/Cole, 2006, ISBN 0-534-92612-6.
• (EN) John L. Kelley, General topology, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1955, ISBN 0-387-90125-6.
• (EN) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, New York, McGraw-Hill, 1976, ISBN 978-0-07-054235-8.

Voci correlate

• Funzione continua
• Funzione lipschitziana
• Spazio uniforme
• Teorema di Heine-Cantor

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Continuità uniforme, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) L.D. Kudryavtsev, Uniform continuity, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.