Integrale di volume

In matematica, in particolare nel calcolo in più variabili, un integrale di volume è l'integrale di superficie della funzione costante $f=1$, e fornisce il volume della superficie considerata.

Definizione

Si definisce elemento di volume in $\mathbb {R} ^{k}$ la k-forma:

$d\mathbf {V} =dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge \cdots \wedge dx_{k}$

Sia $S$ una k-superficie positivamente orientata in $\mathbb {R} ^{k}$ e $f=1$ la funzione costante definita sull'immagine di $S$. Allora:

$\int _{S}f(\mathbf {x} )dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge \cdots \wedge dx_{k}=\int _{S}fd\mathbf {V} _{k}$

Sia $D\in \mathbb {R} ^{k}$ il dominio di parametrizzazione di $S$ e $S:D\to \mathbb {R} ^{k}$ iniettiva e differenziabile con matrice jacobiana $J_{S}$ positiva. Allora il volume della superficie è dato da:

$\int _{S}dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge \cdots \wedge dx_{k}=\int _{S}J_{S}(\mathbf {u} )d\mathbf {u} =\int _{S(D)}d\mathbf {x}$

Volume in tre dimensioni

L'integrale di volume è un integrale triplo della funzione costante 1, che restituisce il volume della regione $D\subseteq \mathbb {R} ^{3}$, cioè:

$\operatorname {Vol} (D)=\iiint \limits _{D}dx\,dy\,dz$

Con "integrale di volume" si identifica anche l'integrale triplo calcolato nella regione $D$ di una funzione $f(x,y,z),$ ed è generalmente scritto:

$\iiint \limits _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.$

Un integrale di volume in coordinate cilindriche è:

$\iiint \limits _{D}f(r,\theta ,z)\,r\,dr\,d\theta \,dz,$

mentre un integrale di volume in coordinate sferiche ha la forma:

$\iiint \limits _{D}f(r,\theta ,\phi )\,r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\phi$

Esempio

Integrando la funzione $f(x,y,z)=1$ su un cubo di spigolo unitario si ottiene il seguente risultato:

$\iiint \limits _{0\ 0\ 0}^{\ \ \ 1\ 1\ 1}1\,dx\,dy\,dz=\iint \limits _{0\ 0}^{\ \ \ 1\ 1}(1-0)\,dy\,dz=\int \limits _{0}^{1}(1-0)dz=1-0=1$

Quindi il volume del cubo unitario è 1 come previsto. In realtà, l'integrale di volume permette di risolvere problemi molto più complessi. Per esempio se abbiamo una funzione scalare $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ che descrive la densità del cubo in un punto assegnato $(x,y,z)$ da $f=x+y+z$ si può calcolare la massa totale del cubo calcolando l'integrale di volume:

$\iiint \limits _{0\ 0\ 0}^{\ \ \ 1\ 1\ 1}\left(x+y+z\right)\,dx\,dy\,dz=\iint \limits _{0\ 0}^{\ \ \ 1\ 1}\left({\frac {1}{2}}+y+z\right)\,dy\,dz=\int \limits _{0}^{1}\left(1+z\right)\,dz={\frac {3}{2}}$

Bibliografia

• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.

Voci correlate

• Teorema della divergenza
• Integrale di superficie
• Integrale di linea

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Integrale di volume, su MathWorld, Wolfram Research.