Metodi di integrazione

Un metodo di integrazione è una procedura per il calcolo del valore di una precisa tipologia di integrali. Se l'integrale è risolvibile, per giungere alla soluzione è quasi sempre necessario utilizzare diversi metodi, ad esempio le tavole di integrali.

Oltre ai metodi di integrazione analitici si può ricorrere a metodi di approssimazione numerica o a software di calcolo simbolico. Alcuni metodi numerici sono il metodo di Simpson, il metodo di Lobatto e il metodo del trapezio.

Integrali elementari

Il caso più semplice che può capitare è quando si riconosce la funzione integranda essere la derivata di una funzione nota, $\Phi$. In tal caso, come conseguenza delle regole di derivazione, del fatto che la derivata di una funzione costante è la funzione identicamente nulla, e del teorema di Lagrange, si ha:

$\int \varphi (x)\;\mathrm {d} x=\Phi (x)+c$,

se la funzione $\varphi$ è definita su un intervallo. Per gli integrali definiti invece si ha:

$\int _{a}^{b}\varphi (x)\;\mathrm {d} x=\Phi (b)-\Phi (a).$

Esempi

• $\int (x-x^{2})\;\mathrm {d} x={x^{2} \over 2}-{x^{3} \over 3}+c$ in quanto $D\left({x^{2} \over 2}-{x^{3} \over 3}\right)=x-x^{2}$
• $\int _{a}^{b}\varphi '(x)\varphi (x)^{n-1}\;\mathrm {d} x={1 \over n}(\varphi ^{n}(b)-\varphi ^{n}(a))$ in quanto $D\left({1 \over n}\varphi ^{n}(x)\right)=\varphi '(x)\varphi (x)^{n-1}$

Integrazione per scomposizione o per decomposizione in somma

L'integrazione per scomposizione si rifà alla proprietà di linearità dell'integrale. Infatti dovendo calcolare $\int f(x)\;\mathrm {d} x$ è talvolta più semplice scrivere $f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)+...+f_{n}(x)$ e sfruttare l'uguaglianza:

$\int f(x)\;\mathrm {d} x=\int f_{1}(x)\;\mathrm {d} x+\int f_{2}(x)\;\mathrm {d} x+...+\int f_{n}(x)\;\mathrm {d} x$

Integrazione di funzioni razionali

Gli integrali che rientrano nella forma:

$\int {{a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_{1}x} \over {b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_{1}x}}\,\;\mathrm {d} x\qquad n,m\in \mathbb {N}$

sono integrali di funzioni razionali. Esistono varie metodologie per la risoluzione di tali integrali.

Le prime cose da analizzare sono il grado del numeratore e il grado del denominatore.

Grado del numeratore maggiore o uguale al grado del denominatore

Nel caso in cui il grado del numeratore $f(x)$ sia maggiore o uguale al grado del denominatore $g(x)$ si effettua la divisione tra polinomi ottenendo il quoziente $Q(x)$ e il resto $R(x)$:

$f(x)=g(x)Q(x)+R(x)\$

dalla quale ricaviamo

${f(x) \over g(x)}=Q(x)+{R(x) \over g(x)}$

con $R(x)$ polinomio di grado inferiore al grado $n$ del divisore $g(x)$. Perciò possiamo scrivere:

$\int {f(x) \over g(x)}\;\mathrm {d} x=\int Q(x)\;\mathrm {d} x+\int {R(x) \over g(x)}\;\mathrm {d} x$

riconducendoci al caso di una funzione razionale con grado del numeratore strettamente minore di quello del denominatore.

Grado del numeratore minore del grado del denominatore

In questo caso, in generale, si può applicare la scomposizione di Hermite.

Se tra il grado del numeratore e quello del denominatore vi è una differenza unitaria si può provare a modificare opportunamente il numeratore, in modo da ottenere la derivata del denominatore.

Esaminiamo nel dettaglio funzioni razionali con denominatore di 2º grado:

$\int {a_{1}x+a_{0} \over x^{2}+b_{1}x+b_{0}}\;\mathrm {d} x$

In questo caso distinguiamo tre casi in base allo studio del discriminante $\delta =b_{1}^{2}-4b_{0}$ (eventualmente dividendo per il termine di grado massimo ci si può sempre riportare ad un polinomio monico al denominatore):

Denominatore con due radici reali distinte

Se $\delta >0$ allora $x^{2}+b_{1}x+b_{0}=0$ ammette due radici reali distinte $x_{1}$ e $x_{2}$ dunque $x^{2}+b_{1}x+b_{0}=(x-x_{1})(x-x_{2})$. Esistono dunque due costanti reali $A,B$ tali che:

${a_{1}x+a_{0} \over x^{2}+b_{1}x+b_{0}}={a_{1}x+a_{0} \over (x-x_{1})(x-x_{2})}={A \over x-x_{1}}+{B \over x-x_{2}}\,\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{x_{1},x_{2}\}$

$A$ e $B$ si determinano in base alla condizione:

$A(x-x_{2})+B(x-x_{1})=a_{1}x+a_{0}\ \forall x$

Questa è equivalente al sistema lineare:

$\left\{{\begin{matrix}A+B=a_{1}\\-Ax_{2}-Bx_{1}=a_{0}\end{matrix}}\right.$

che ammette un'unica soluzione in $(A,B)$ poiché la matrice dei coefficienti ${\begin{pmatrix}1&1\\-x_{2}&-x_{1}\end{pmatrix}}$ ha determinante $-x_{1}+x_{2}\neq 0$.

Determinate $A,B$ (risolvendo il sistema), si calcola:

$\int {{a_{1}x+a_{0}} \over {x^{2}+b_{1}x+b_{0}}}\;\mathrm {d} x=\int {{A} \over {x-x_{1}}}\;\mathrm {d} x+$$\int {{B} \over {x-x_{2}}}\;\mathrm {d} x=A\log |x-x_{1}|+B\log |x-x_{2}|+c$

Denominatore con due radici reali coincidenti

Se $\delta =0$ allora $x^{2}+b_{1}x+b_{0}=0$ ammette due radici reali coincidenti $x_{1}=x_{2}=x_{0}$, dunque $x^{2}+b_{1}x+b_{0}=(x-x_{0})^{2}$ ed esistono due costanti reali $A,B$ tali che:

${a_{1}x+a_{0} \over x^{2}+b_{1}x+b_{0}}={a_{1}x+a_{0} \over (x-x_{0})^{2}}={A \over x-x_{0}}+{B \over (x-x_{0})^{2}}\ \forall x\in \mathbb {R} \setminus \{x_{0}\}$

$A,B$ si determinano in base alla condizione

$a_{1}x+a_{0}=A(x-x_{0})+B\ \forall x\in \mathbb {R}$

Questa è equivalente al sistema lineare:

$\left\{{\begin{matrix}A=a_{1}\\-x_{0}A+B=a_{0}\end{matrix}}\right.$

che ammette un'unica soluzione $(A,B)$ poiché il determinante della matrice dei coefficienti è

$\det {\begin{pmatrix}1&0\\-x_{0}&1\end{pmatrix}}=1$

Determinate $A,B$ si calcola:

$\int {{a_{1}x+a_{0}} \over {x^{2}+b_{1}x+b_{0}}}\;\mathrm {d} x=\int {{A} \over {x-x_{0}}}\;\mathrm {d} x+$$\int {{B} \over {(x-x_{0})^{2}}}\;\mathrm {d} x=A\log |x-x_{0}|-{B \over {x-x_{0}}}+c$

Denominatore con due radici complesse coniugate

Se $\delta <0$ allora $x^{2}+b_{1}x+b_{0}=0$ non ammette radici reali. È sempre possibile determinare $A,B$ tali che

${a_{1}x+a_{0} \over x^{2}+b_{1}x+b_{0}}=A{2x+b_{1} \over x^{2}+b_{1}x+b_{0}}+{B \over x^{2}+b_{1}x+b_{0}}$

$A,B$ si ricavano in base alla condizione

$a_{1}x+a_{0}=2Ax+Ab_{1}+B$

Questo è equivalente al sistema lineare

$\left\{{\begin{matrix}2A=a_{1}\\b_{1}A+B=a_{0}\end{matrix}}\right.$

che ammette un'unica soluzione poiché il determinante della matrice dei coefficienti è $2\cdot 1-b_{1}\cdot 0=2$.

Ora, per il secondo addendo, è sempre possibile ricavare $K,D$ tali che $x^{2}+b_{1}x+b_{0}=(x+K)^{2}+D^{2}\ \forall x\in \mathbb {R}$. Dall'uguaglianza precedente si imposta il sistema dal quale si ricavano $K$ e $D$:

$\left\{{\begin{matrix}2K=b_{1}&\\K^{2}+D^{2}=b_{0}&\end{matrix}}\right.$

che ammette soluzione poiché $D^{2}=b_{0}-({b_{1} \over 2})^{2}=-{\delta \over 4}>0$.

Il calcolo dell'integrale si può scrivere quindi come:

$\int {a_{1}x+a_{0} \over x^{2}+b_{1}x+b_{0}}\;\mathrm {d} x=A\int {2x+b_{1} \over x^{2}+b_{1}x+b_{0}}\;\mathrm {d} x+B\int {1 \over (x+K)^{2}+D^{2}}\;\mathrm {d} x=A\int {2x+b_{1} \over x^{2}+b_{1}x+b_{0}}\;\mathrm {d} x+B{1 \over D^{2}}\int {1 \over {({x+K \over D})^{2}+1}}\;\mathrm {d} x$

$=A\log(x^{2}+b_{1}x+b_{0})+{B \over D}\arctan {x+K \over D}+C$

Denominatore di grado qualunque

Per concludere segnaliamo che esistono metodi analoghi applicabili per qualunque grado del denominatore: se $g(x)=b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_{1}x$ è un qualsiasi denominatore, allora

• se esso possiede tutte radici distinte, $g(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})$ si procede come nel primo caso qua trattato:

${f(x) \over g(x)}={A_{1} \over x-x_{1}}+{A_{2} \over x-x_{2}}+...{A_{n} \over x-x_{n}}$.

• se esso possiede una o più radici multiple $x_{1},...,x_{j}$ (supponiamo ad esempio siano le prime) di molteplicità $n_{1},...,n_{j}$, si procede come nel secondo caso:

${f(x) \over g(x)}={A_{1}^{1} \over x-x_{1}}+{A_{1}^{2} \over (x-x_{1})^{2}}+...+{A_{1}^{n_{1}} \over (x-x_{1})^{n_{1}}}+{A_{2}^{1} \over x-x_{2}}+...+{A_{2}^{n_{2}} \over (x-x_{2})^{n_{2}}}+...+{A_{j+1} \over x-x_{j+1}}+{A_{j+2} \over x-x_{j+2}}+...$.

• se esso possiede due o più radici complesse coniugate semplici $z_{1},{\bar {z}}_{1},z_{2},{\bar {z}}_{2},...,z_{j},{\bar {z}}_{j}$ (e un certo numero di radici reali), si procede come nel terzo caso:

${f(x) \over g(x)}={a_{1}^{1}x+a_{0}^{1} \over x^{2}+b_{1}^{1}x+b_{0}^{1}}+...+{a_{1}^{j}x+a_{0}^{j} \over x^{2}+b_{1}^{j}x+b_{0}^{j}}+...$

L'ultimo caso, in cui il denominatore presenta radici complesse multiple, è più laborioso da risolvere (vedi Tavola degli integrali indefiniti di funzioni razionali).

Integrazione per parti

Se $f$ e $g$ sono derivabili in $[a,b]$ si ha:

$\ (fg)^{'}=f^{'}g+fg^{'}$

ossia:

$\ fg^{'}=(fg)^{'}-f^{'}g$.

Prendendo l'integrale indefinito di entrambi i membri ed osservando che $\int {(fg)^{'}}\,\;\mathrm {d} x=fg$ a meno di una costante si trova la formula di integrazione per parti:

$\int f(x)g^{'}(x)\;\mathrm {d} x=f(x)g(x)-\int f^{'}(x)g(x)\;\mathrm {d} x$

Da cui per gli integrali definiti:

$\int _{a}^{b}f(x)\cdot g'(x)\,\;\mathrm {d} x=f(b)\cdot g(b)-f(a)\cdot g(a)-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,\;\mathrm {d} x$

Integrazione per sostituzione

$\int f(y)\;\mathrm {d} y=\left[\int f\left(\varphi (t)\right)\varphi '(t)\ \mathrm {d} t\right]_{t=\phi (y)}$

dove $\phi$ è la funzione inversa di $\varphi$, oppure nel caso degli integrali definiti

$\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x=\int _{\phi (a)}^{\phi (b)}f(\varphi (t))\varphi '(t)\ \mathrm {d} t$

Integrazione di funzioni inverse

Se $f^{-1}$ è l'inversa di una funzione $f$ che ammette una primitiva $F$, allora

$\int f^{-1}(x)dx=xf^{-1}(x)-(F\circ f^{-1})(x)+C.$

Bibliografia

• L. Acquabona Nozioni di calcolo integrale (Torino: Vincenzo Bona, 1899)

Voci correlate

• Integrale
• Integrale multiplo
• Regole di derivazione