Disuguaglianza di Minkowski

In matematica, la disuguaglianza di Minkowski è una disuguaglianza che porta il nome di Hermann Minkowski. Segue dalla disuguaglianza di Hölder.

La disuguaglianza

Sia $\Omega$ uno spazio di misura con misura $\mu$, e sia $p\geq 1$. Allora, se $f$ e $g$ sono funzioni misurabili in $L^{p}(\Omega )$ si ha:

$\left(\int _{\Omega }(f+g)^{p}d\mu \right)^{1 \over p}\leq \left(\int _{\Omega }f^{p}d\mu \right)^{1 \over p}+\left(\int _{\Omega }g^{p}d\mu \right)^{1 \over p}$

In modo equivalente:

$\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}$

Attraverso quest'ultima formulazione, la disuguaglianza di Minkowski si generalizza al caso $p=\infty$. Dalla disuguaglianza di Minkowski segue che $L^{p}(\Omega )$ è uno spazio normato, in quanto vale la disuguaglianza triangolare. In particolare, $L^{p}(\Omega )$ è uno spazio di Banach per ogni $1\leq p\leq \infty$. Nel caso in cui lo spazio di misura sia l'insieme dei naturali $\mathbb {N}$ con la misura del conteggio $\mu (A)=\#A$, allora per ogni coppia di successioni $(a_{i})_{i\geq 1}$ e $(b_{i})_{i\geq 1}$ in $l^{p}(\mathbb {N} )$ la disuguaglianza di Minkowski si scrive:

$\left(\sum _{i=1}^{\infty }|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{\infty }|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{i=1}^{\infty }|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}$

Minkowski per gli integrali

Siano $(X,{\mathcal {M}},\mu )$ e $(Y,{\mathcal {N}},\nu )$ due spazi di misura $\sigma$-finiti, e sia $f$ una funzione $({\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {N}})$-misurabile. Se $f\geq 0$, allora per ogni $1\leq p<\infty$

$\left(\int \left(\int f(x,y)d\nu (y)\right)^{p}d\mu (x)\right)^{1 \over p}\leq \int \left(\int f(x,y)^{p}d\mu (y)\right)^{1 \over p}d\nu (x)$

In particolare, da ciò ne consegue che se $f(\cdot ,y)\in L^{p}(\mu )$ per quasi ogni $y\in Y$, con $1\leq p\leq \infty$, e se la funzione $y\mapsto \Vert f(\cdot ,y)\Vert _{p}$ sta in $L^{1}(\nu )$, allora

$\left\Vert {\int f(\cdot ,y)d\nu (y)}\right\Vert _{p}\leq \int \Vert f(\cdot ,y)\Vert _{p}\,d\nu (y)$

Bibliografia

• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
• (EN) G. H. Hardy, J. E. Littlewood; G. Pólya, Inequalities, Cambridge, Cambridge Mathematical Library, 1952, ISBN 0-521-35880-9.

Voci correlate

• Disuguaglianza di Hölder
• Distanza di Minkowski

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Disuguaglianza di Minkowski, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) M.I. Voitsekhovskii, Minkowski inequality, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.