744(번호)

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추기경	칠백사십사
서수	제744회 (7,400 4)
인수분해	23 × 3 × 31
나눗셈	1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 31, 62, 93, 124, 186, 248, 372, 744
그리스 수	ψ μ δ'
로마 숫자	DCCXLIV
이진법	10111010002
테르나리	10001203
세니어	32406
팔달	13508
십이진법	52012
16진수	2E816

744(칠백이십사)는 743보다 크고 745보다 앞선 자연수입니다.

744는 유한 단순군의 분류와 관련하여 산발군의 문샤인 이론 내에서 중요한 역할을 합니다.

수론

744 is the nineteenth number of the form ${\displaystyle pqr^{3}}$ where ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle p}$ and ${\displaystyle q}$ represent distinct prime numbers (2, 3, and 31; respectively).^[1]

It can be represented as the sum of nonconsecutive factorials ${\displaystyle k!}$,^[2] as the sum of four consecutive primes ${\displaystyle p}$,^[3] and as the product of sums of divisors ${\displaystyle \sigma (n)}$ of consecutive integers ${\displaystyle n}$;^[4] respectively:^[i]

744에는 가장 큰 단일 나눗셈기와 가장 작은 나눗셈기를 제외한 16개의 총 나눗셈기가 포함되어 있으며, 이들 모두는 ${\displaystyle 120}$=${\displaystyle 5}$의 정수 산술 평균을 생성합니다${\displaystyle !}$ ${\displaystyle 120$=$5!$$}$$이$^[10][11] 숫자는 ${\displaystyle {pqr\mathrm{}}^{}}$ 3 형식의 첫 번째 숫자이기도 합니다${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle pqr^{3}}$

7(49)의 제곱을 소수 부분으로 나누는 분할의 수는 744이고,^[17] 48을 최대 4개의 서로 다른 부분으로 나누는 분할의 수는 744입니다.^[18][iii]

744는 ^[23]432개의 풍부한 숫자입니다.^[24][iv] 제수의 부분 집합(예: 1 + 2 + 4 + 24 + 62 + 93 + 124 + 186 + 248)의 합과 같기 때문에 반완전입니다.^[33][v]

또한 실질적인 숫자이며,^[50] 8가지 이상의 방법으로 9개의 정육면체의 합이 되는 ^[51]첫 번째 숫자이자 십진법으로 6자리의 완벽한 거듭제곱의 숫자입니다.^[52]

한편, 9월 744는 회문(2112₇)이고,^[53] 이진법에서는 숫자 표현(1011101000₂)이 소수(5)를 포함하기 때문에 유해한 숫자입니다.^[54][vii]

토텐츠

744는 상대적으로 소수이거나 그 자체와 최대인 정수를 240개 가지고 있으며, 오일러 토텐트에 해당합니다.^[5][viii]

744의 이 토션은 나눗셈의 합과 같이 규칙적이며, 744는 1920년의${\displaystyle }$σ$(n$), ${\displaystyle \sigma($n)}에 대해 29번째 기록을 세웠습니다. 744의 토텐던트 및 분할자 합계 값은 모두 동일한 고유한 소인수 집합(2, 3 및 5)을 포함합니다.^[68] 7444에서 카마이클 함수 또는 감소된 토션$({\displaystyle n}$의 정수 모듈의 곱셈 그룹에서 요소 순서의 최소 공배수를 계산하는 것$)$은${\displaystyle }$λ(744) = ${\displaystyle 30}$ = 2$$× 3 × 5${\displaystyle$\lambda($744$) =$30$= $2\times$3\times 5}와 같습니다. 또한 744는 나눗셈을 같은 합(960)으로 두 개의 분리된 집합으로 분할할 수 있는 줌켈러 번호입니다.^[80][xi]

이 240개의 토탈 중 110개는${\displaystyle }$± ${\displaystyle 1\mathrm{}}$ ${\displaystyle mod}$ ${\displaystyle 6\mathrm{}}$ ${\$ style $\pm {1}{\bmod {6}}$에 일치하는 최대 744개의 합성 수열과 거의 일치하는 엄격한 합성 토탈입니다$.$ 이는 3보다 큰 모든 소수가 유지하는 것과 동일한 일치입니다.^[88][xii] 이 수열에 존재하는 7개의 숫자만이 744(미만)의 토털이 아닙니다. 713, 589, 527, 403, 341, 217, 155입니다. 이들은 모두 11번째 소수 31로 나뉠 수 있습니다.^{[xiii][xiv][xv]} 나머지^[xvi] 130개의 도수는 1이고 31개(소인수분해에 포함되지 않은 모든 744보다 작은 모든 소수)를 제외하고 5와 743 사이의 모든 소수(소수 중 가장 작은 자릿수 재조립 수)입니다.^[127][xvii] 반면에 1119, 1492, 2238 세 개의 숫자만이 토텐트 744를 유지합니다.^[5][xviii]

744는 토텐셜 값이 $n$ ${\displaystyle$ n$}$과(와) 동일한 약수의 합을 갖는 여섯 번째 숫자 $n$ ${\displaystyle$ $n$$}$입니다$.$${\displaystyle }$σ${\displaystyle (}$φ(${\displaystyle 744}$))$$= 744${\displaystyle$\sigma(\$varphi$744)) = 744}. 그렇지 않으면 744의 모든 약수의 합을 나타내는 744의 부분합, 1176은^[14] 48번째 삼각수이고,^[6] 파스칼 삼각형의 49번째 행 안에 존재하는$$ 이항계수 $C{\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle 49,}$ 2${\displaystyle )}$ ${\$입니다$.$^[132][xix] 총 7개의 숫자만 합이 744이고, 그들은 240,^[xx] 350, 366, 368, 575, 671, 743입니다.^[32][xxi] 744의 14개의 적절한 나눗셈만 고려하면, 이들에 의해 생성된 합은 1175이며, 그의 6개의 나눗셈은 산술 평균 248을 포함하며,^[11][xxii] 744의 세 번째(또는 14번째) 가장 큰 나눗셈입니다. 하나의 숫자만 744, 456입니다.^[14][xxiii]

그래프 이론

6개의 정점과 15개의 간선에 대한$$ 완전한 무방향 그래프 ${\displaystyle {K6\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 오일러 투어(또는 오일러 사이클) 수는 744개입니다.^[164] 7개의 정점에 129,976,320개의 오일러 투어가 있습니다. 3개 이상의 정점을 가진 완전한 그래프에서만 생성할 수 있습니다. 3개, 4개 및 5개의 정점에 대한 순회 수는 각각 2, 2 및 264(후자는 10번째 숫자의 두 번째 숫자 재조립 수)입니다.^[127] 반면에 네 개의 정점에서 완전한 디그래프, 즉 방향 그래프의 오일러 투어 수는 256개인 반면, 다섯 개의 정점에서는 972,000개(그리고 여섯 개의 정점에서 247,669,456,896개)^[165]입니다.

744의 가장 큰 소수와 관련하여, (이러한 모든 솔루션의 결합인 집합을 제외하고)

3번째 743은 2229이고,^[xxiv] 그의 약수의 평균은 744입니다(3번째 소수 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 3p}$와 마찬가지로$,$ 약수의 평균은 ${\displaystyle \mathrm{p}}$+ 1 ${\displaystyle p+1}$입니다).$$^{[10][11][xxv]} 이^[25] 값은 743의 역수 743의 반복자리 수 742의 ^[xxvi]합인 3339와 1110의 차이입니다. (744의 오일러 토텐트를 갖는 가장 작은 숫자는 1119입니다).^[5]

길이가 8과 9인 개방형 트레일의 경우, 레이블이 지정된 5개의 정점에 있는 완전한 무방향 그래프에서 고정된 별개의 정점에서 시작하고 끝나는 경우, 그 수는 132개(프라임 인덱스 743, 하프 264)이며,^[195] 이는 15개의 정점을 가진 축소할 수 없는 트리의 수를 나타냅니다.^[196][xxvii] 완전 무방향 그래프 ${\displaystyle {K5\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 경우 264개의 방향 오일러 회로가 있지만$$,^[201][202] 보다 구체적으로는 레이블이 지정된 5개의 정점에 있는 완전 무방향 그래프의 길이가 10인 회로의 수이다. 따라서 $삼각형{\displaystyle }$ T${\displaystyle (n,}$ ${\displaystyle k)}$ ${\displaystyle$ T$(n,$$k)$$n개$의 ${\displaystyle$ $n$$}$개의$$ 레이블이 지정된 정점에서$$ $길이{\displaystyle }$ k ${\displaystyle$ k$}$의 $}$입니다.^[203]

그렇지 않으면 745는 6개의 정점을 커버하는 연결 해제된 단순 레이블 그래프의 수이며, 여기서 가장 대칭적인 그래프는 각각 하나의 간선만으로 커버되고 3개의 간선이 모두 교차하는 3쌍의 서로 다른 정점을 가지며, 이를 통해 연결 해제된 커버 그래프${\displaystyle \{\{1,}$ ${\displaystyle 4\},}${${\displaystyle 2,}$ 5${\displaystyle \},}$ ${\displaystyle \{3,}$ 6${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{\{1, 4\},\{2,$육각형 $배열$로 1 ${\displaystyle$ $1$$}$ ~ $6$ ${\displaystyle$ 6$}$ 레이블이 지정된 $꼭지점$의 5$\},\{3,6\}\},$ 나머지 744개 그래프는 다른 가능한 모든 형태를 나타냅니다.^[204]

456(알리쿼트 합이 744인 유일한 숫자)은 7개의 정점을 가진 레이블이 지정되지 않은 그래프의 수이다.(여기서 짝짓기 $또는{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$ 그래프는$$ 두 정점이 동일한 이웃 집합을 갖지 않는 그래프임) 7개의 정점과 하나 이상의 끝점을 포함하는 레이블이 지정되지 않은 그래프의 수와 클리크에 있는 두 개의 서로 다른 정점의 모든 부분 집합이 인접한 7개의 triang 그래프의 클리크 수. 7개의 꼭짓점을 갖는 짝수 그래프의 수는 456개이며, 여기서 그래프의 가장자리 방향이 홀수이고, 그렇지 않은 경우에도 그래프의 가장자리 방향이 홀수인 경우와 그 가장자리의 홀수 수의 감각을 역전시키는 자동 변형이 있는 경우입니다.^{[207][208][xxviii]}

특히 456은 264의 부분 샘플 합으로, $s{\displaystyle (n)}$에 대해 이 값을 갖는 유일한 숫자입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyles(n)}$

피보나치 수의 컨볼루션

744는 연속적인 정수가 없는$$ $\{{\displaystyle 1,}$ 2${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 3,}$ ${\displaystyle ...,}$ ${\displaystyle 11\}}$ ${\displaystyle \{1, 2,$ 3,^{[225][226][227]} $..., 11\}$의 모든 부분집합에 있는 요소의 수와 동등한 피보나치 수이다.

추상대수

j-불변형은 푸리에 급수 q-확장으로 유지되며,^[α]

프렌들리 자이언트 $F{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 이 시리즈의 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ 계수와$$ 동일한 무한 등급의 충실한 차원 표현을 포함합니다$$. 여기서 $q$ = ${\displaystyle e^{}}$ 2$$π i τ {\$displaystyle q$ =e^{2\$pi$i\tau $} 및$ τ {\displaystyle \tau } 타원 함수의 반주기 비율을 τ합니다.

또한 거의 정수^[233]

이 수는 초월수인 라마누잔 상수로 알려져 있습니다.^[234] 마크 로넌과 다른 저명한 수학자들은 이 숫자에서$$ ${\displaystyle 163}$ ${\displaystyle 163}$의 출현이 달의 빛 이론과 관련이 있다고 언급했습니다. 여기서 1백 63은 사각형이 없는 양의 정수 $d{\displaystyle }$ ${\$$\sqrt{\mathrm{displaystyle}}$ $d}$인 9개의 헤그너 수 중 가장 큰 값이므로 가상의 $이차장\mathbb{}$ Q$$[$\sqrt{}$- d$]$ ${\$는 클래스 $번호$가 1 ${\displaystyle$ 1$}($동수로, 동일한 대수적 수 필드 위의 정수환은 유일한 인수분해를 갖습니다).^{[235]: pp.227, 228} ${\displaystyle {F1}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm {F_{1}}$은 문자 테이블에서 생성된${\displaystyle {\mathrm{194}}_{}}$개${\displaystyle {\mathrm{(}}_{}}$194 = 97 × 2)의 접합 클래스를 가지고 있으며, 이 클래스는 모두 선형적으로 독립적이지는 않지만 동일한 수의 타원형 문샤인 함수를 집합적으로 생성합니다. 오직 163개만이 서로 완전히 독립적입니다. 라마누잔 상수에 대한$$ 오차 $O{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ O$}$의 선형 항은 대략 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 ${\displaystyle 196884}$ ${\displaystyle 196\,884}$는 가장 큰 산발적 그룹인$$${\displaystyle {F1\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 최소 충실 복소 차원 표현 값입니다.^[237]

구체적으로, 오일러 토텐트, 나눗셈의 합$,$ 감소 토텐트$744$를 나누는$$ 세 가지 공통 소수 계수$({\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle 3,}$ ${\displaystyle 5)}$ ${\$$displaystyle$$(2, 3,$ 5$)}$는 모두 6개 그룹$({\displaystyle F\mathrm{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$ B${\displaystyle )}$과 대조적으로 26개의 산발적인 그룹의 순서를 모두 나누는 가장 작고 유일한 소수입니다$$.${\displaystyle(\mathrm {F_{1}}, {\text{ }}\mathrm {B}, {\text{ }}\mathrm {F_{3}}, {\text{ }\mathrm {Ly}, {\text{ }}\mathrm {ON},$순서는 연속되는 최대 초단수와 최대 소인수인 74,44, ${\displaystyle 31}$ ${\displaystyle 31}$로 나눌 수 있는$$ ${\text{ }}\mathrm {J_{4}}}$입니다$.$^{[235]: pp.244–246 [β]} 이 중 3개는 ${\displaystyle {F1}_{}}$의 하위 요소가 아닌 6개의 파라야 그룹으로 구성된 소인수군에 속합니다${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm {F_{$$1}}}.$$}$^[245] The largest supersingular prime that divides the order of ${\displaystyle \mathrm {F_{1}} }$ is ${\displaystyle 71,}$^[246][247] which is the eighth self-convolution of Fibonacci numbers, where ${\displaystyle 744}$ is the twelfth.^[226][γ]

> ${\displaystyle d$> $19}$인 가장 큰 3개의 헤이그너 수는 또한 $744$ {\$displaystyle$744}을$$포함하는$$π d {\$displaystyle$e^{\$pi {\$sqrt {d}}}의 거의 정수를 생성합니다. 근사치 순서가 증가하면,

클래스 $번호$가 2 ${\displaystyle$ 2$}$인 부정된 허수 이차 필드 위의 정사각형이 없는 양의 정수는 또한 $d$ ${\displaystyle$ ${\displaystyle d^{}}$$}$ 값에 대해 거의 정수를 생성합니다$.$ 예를 들어 ${\displaystyle {\sqrt{199}}^{}}$ ${\displaystyle {148648}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 0.000}$ ${\displaystyle 97}$… ≈${\displaystyle {}^{}}$e π${\displaystyle {}^{}148}$ + (8${\displaystyle \times }$103 + $744$ ). ${\displaystyle 199\,148\,$648^{2} - 0.000\,$97\ldots \approx e^{\pi {\sqrt {148}}+(8\times 10^{3}+744).$$}$^{[266][267][ε][ζ]}

D와₄₄ F

${\displaystyle 744}$ is theta series coefficient ${\displaystyle 25}$ of four-dimensional cubic lattice ${\displaystyle \mathbb {D} _{4}\cong \mathbb {(Z^{4})^{+}} .}$^[280][281] On the other hand, in the theta series of the four-dimensional body-centered cubic lattice ${\displaystyle \mathbb {F} _{4}}$ — whose geometry with ${\displaystyle \mathbb {D} _{4}}$ defines Hurwitz quaternions of even and odd square norm as realized in the ${\displaystyle 24}$–cell honeycomb that is dual to the ${\displaystyle 16}$${\displaystyle 16}$– 셀 허니콤(및, 두 개의 자체 dual $8$ {\$displaystyle$8} – cell honeycomb) - ${\displaystyle \mathrm{16번째}}$ ${\displaystyle {144}^{}}$ =$$122 {\$displaystyle 144$ =$$12^{2} 계수는 시리즈의 74번째 계수이며, 계수 ${\displaystyle \mathrm{지수}}$144 {\$displaystyle$144}는 40ninth이 아닌 표준입니다.

4차원 공간에서, 6개의 $정4$ ${\displaystyle$ 4$}$– 폴리토프(옥타플렉스, 도데카플렉스, 테트라플렉스) 중 3-최대의 3차원 셀 패싯은 집합번호 ${\displaystyle 24}$+ ${\displaystyle 120}$+ ${\displaystyle 600}$ = ${\displaystyle \mathrm{744입니다.}}$${\displaystyle 24+120+600=744.}$

E와₈ 리치 격자

Lie 유형의 유한 단순 그룹 내에서 예외적인 Lie ${\displaystyle {대수\mathfrak{}}_{}}$ 8 ${\$은 ${\displaystyle 248}$ ${\displaystyle 248}$이 ${\displaystyle 744}$ ${\displaystyle 744}$을 세$$ 번 분할하는 28차원에서 최소 충실도 표현을 유지합니다$$.^{[286][287]: p.4} 존 맥케이(John McKay)는 거짓말 유형의 유한 단순 그룹과 산발적인 그룹 사이의 교차점에 주목했습니다. where symmetries of nodes in the Dynkin diagrams of complex Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$ as well as those of ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$ and ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$ respectively coincide with the three largest conjugacy classes of ${\displaystyle {\mathrm{F}}_1}$${\displaystyle \mathrm {F_{1$ 여기서 산발적으로 발생하는 $Thompson$ $Th {\displaystyle \mathrm {$Th}}의 해당 McKay-Thompson 시리즈 $j{\displaystyle (3{}^{}}$$τ$$)$ 1 / 3${\displaystyle j$($3\tau)^{$1/3}도 충실한 차원 표현을 나타내는 계수를 보유합니다(${\displaystyle \mathrm{차원}}$$⁡$ 248${\displaystyle }${\displaystyle에서도 ${\displaystyle \mathrm{최소값}}$).값 자체가 ${\displaystyle {e8\mathfrak{}}_{}}$ ${\$의 축소 불가능한 표현을 포함하는 $\operatorname {dim} 248$$\}).$^{[288][237][289]: p.6} 차례로, exceptional Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {e_{8}}}}$ is shown to have a graded dimension ${\displaystyle j(q)^{1/3}}$^[290] whose character ${\displaystyle \chi }$ lends to a direct sum equivalent to,^{[289]: p.7, 9–11}

${\displaystyle \chi _{e_{8}\oplus e_{8}\oplus e_{8}}(q)=J(q)+744=j(q),}$ where the CFT probabilistic partition function for ${\displaystyle \mathrm {F_{1}} }$ is ${\displaystyle J(q)}$ of character ${\displaystyle {\chi }_{F_1}.}$${\displaystyle \chi _{F_{1}}.$$}$^[291]

The twenty-four dimensional Leech lattice ${\displaystyle \Lambda _{24}}$ in turn can be constructed using three copies of the associated ${\displaystyle \mathbb {E_{8}} }$ lattice^{[292][285]: pp.233–235 [ι]} and with the eight-dimensional octonions ${\displaystyle \mathbb {O} }$ (see also, Freudenthal magic square),^[297] $여기$서 O ${\$의 오토모피즘 그룹은 ${\displaystyle {e8\mathfrak{}}_{}}$ ${\$${2$$}}}$ 안에 포함된$$가장 작은 예외적 리 대수 ${\displaystyle {g2\mathfrak{}}_{}}$ ${\$mathfrak {g_${2$$}}}$입니다$.$ 꼭짓점 연산자 대수의 형태로, the Leech lattice VOA is the first aside from ${\displaystyle V_{1}}$ (as ${\displaystyle \mathbb {C} _{24}}$) with a central charge ${\displaystyle c}$ of ${\displaystyle 24}$, out of a total seventy-one such modular invariant conformal field theories of holomorphic VOAs of weight one.^[298] Known as Schellekens' list, these algebras form deep holes in ${\displaystyle V_{\Lambda _{24}}}$ whose corresponding orbifold constructions are isomorphic to the moonshine module ${\displaystyle V_{2}}$^♮ that contains ${\displaystyle \mathrm {F_{1}} }$ as its automorphism;^[299] of these, the second and third largest contain affine structures ${\displaystyle E_{8,1}^{3}}$ and ${\displaystyle D_{16,1}E_{8,1}}$ that are realized in ${\displaystyle \operatorname {dim} 744}$.^{[κ][304][305]}

기타속성

${\displaystyle 744}$ ${\displaystyle 744}$는 연속된 오각수의 합이기도 합니다.^{[306][307][xxxv]}

"selfie 번호"로, ${\displaystyle 744}$ = (${\displaystyle 7}$-${\displaystyle }$4${\displaystyle )!!}$ +${\displaystyle 4}$!$${\$displaystyle 744$= (7-4$)!!!$$+4!.}$^{[309][310][xxxvi]}

${\displaystyle 744}$ ${\displaystyle 744}$는 ${\displaystyle 41}$ ${\displaystyle 41}$에서 ${\displaystyle 223}$ ${\displaystyle 223}$ 사이의$$ 연속적인 소수 36개로 구성된 6 x 6 마법 사각형의 마법 상수입니다.^{[311][xxxvii]}

모든 대각선이 그려진 정규 ${\displaystyle 36}$ ${\displaystyle 36}$–곤에 있는 합동이 아닌 다각형 영역의 수이다.^{[319][xxxviii]}

크기가 다른 14개의 정사각형이 더 큰 직사각형 안에 가장자리부터 가장자리까지 들어갈 수 있는 744가지 방법이 있습니다.^[321][xxxix]

참고 항목

• Moonshine 이론 – F가 갖는 관계와 모듈 함수, 특히 j(τ) 사이의 연구

• 희그너 숫자 — 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 및 163
• 초단수 — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 및 31과 41, 47, 59 및 71
• j-invariant은 1728 = 12 = j(i)로, 첫 번째 택시 번호 1729(라마누잔)보다 하나 적습니다.하디수)

• 오시리스(Osiris) 또는 숫자 재조립 숫자 - 자체 숫자의 부분 집합의 모든 순열의 합과 동일함(예: 대칭 그룹 S 대비₆ 소수점 132)

메모들

상위산술

헤그너 수, 유한 단순군, 격자 D, F, E, λ

참고문헌