Formula di Eulero-Maclaurin

Nel calcolo infinitesimale la formula di Eulero-Maclaurin fornisce un collegamento di grande utilità tra il calcolo degli integrali (vedi calcolo infinitesimale) e il calcolo di somme e serie. Essa si può usare per approssimare integrali mediante somme finite e viceversa per valutare somme finite e somme di serie a partire da valori di integrali definiti ottenuti analiticamente o mediante approssimazioni ottenute usando il computer. In particolare da questa formula si deducono molti sviluppi asintotici e la formula di Falhauber per la somma di potenze di interi è una sua immediata conseguenza.

La formula è stata scoperta indipendentemente da Leonhard Euler e Colin Maclaurin attorno al 1735. Eulero l'ha trovata mentre cercava di calcolare serie infinite lentamente convergenti, mentre Maclaurin l'ha utilizzata per calcolare degli integrali specifici. Questa formula è stata generalizzata nel 1886 da Gaston Darboux e questa generalizzazione è nota come formula di Darboux.

La formula

Se $n$ è un intero positivo e $f(x)$ è una funzione liscia (cioè una funzione differenziabile un numero sufficientemente elevato di volte) definita per tutti i numeri reali $x$ tra $0$ e $n$, allora l'integrale

$I=\int _{0}^{n}f(x)\,dx$

può essere approssimato con la somma

$S=f(0)/2+f(1)+\cdots +f(n-1)+f(n)/2$

(regola del trapezio). La formula di Eulero-Maclaurin fornisce espressioni per la differenza tra la somma e l'integrale in termini di derivate di ordine elevato $f^{(k)}$ nei punti finali dell'intervallo $0$ e $n$. Per ogni numero naturale $p$, si ha

$S-I=\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right)+R,$

dove $B_{2}=1/6,B_{4}=-1/30,B_{6}=1/42,B_{8}=-1/30,\ldots$ sono i numeri di Bernoulli e $R$ è un termine di errore che è normalmente piccolo se $p$ è abbastanza grande e può essere stimato come

$\left|R\right|\leq {\frac {2}{(2\pi )^{2p}}}\int _{0}^{n}dx\,\left|f^{(2p+1)}(x)\right|.$

Impiegando la regola di sostituzione, si può adattare questa formula anche a funzioni che sono definite su qualche intervallo della retta reale diverso da $[0,n]$.

Se $f$ è un polinomio e $p$ è un intero abbastanza grande, allora il termine residuo vale zero. Per esempio, se $f(x)=x^{3}$, può essere scelto $p=2$ per ottenere dopo la semplificazione

$\sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.$

Con la funzione $f(x)=\log(x)$, la formula di Eulero-Maclaurin può essere usata per derivare con precisione l'errore stimato per l'approssimazione di Stirling della funzione fattoriale.

Bibliografia

• M. Abramowitz e I. Stegun (eds.) Handbook of Mathematical Functions (US Governement Printing Office, 1964) p. 806

Collegamenti esterni

• Bernoulli numbers, polynomials and applications of the Euler-Maclaurin formula, su numbers.computation.free.fr.