Mollificatore

Un mollificatore a supporto contenuto nell'intervallo [-1,1]

In matematica, più precisamente in analisi funzionale, un mollificatore è una funzione di variabile reale che soddisfa certe proprietà di regolarità e di limitatezza del supporto.

Le successioni di mollificatori sono usate spesso per approssimare (in un senso ben preciso) funzioni che presentano delle discontinuità o degli "angoli" mediante funzioni più regolari, che localmente sono costruite tramite una media integrale del valore della funzione nel punto.

Definizione

Un mollificatore è una funzione $\rho :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ che soddisfa le seguenti proprietà:

• $\rho \in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$
• ${\mbox{supp}}(\rho )\subset B\left(0,{\frac {1}{n}}\right)$
• $\rho \geq 0$
• $\int _{\mathbb {R} ^{n}}\rho =1$

dove con ${\mbox{supp}}(\rho )$ si intende il supporto di $\rho$, cioè la chiusura dell'insieme di punti dove $\rho$ non si annulla, e $B\left(0,{\frac {1}{n}}\right)$ è la palla centrata nell'origine di raggio $1/n$.

Si dimostra che esistono infinite successioni di mollificatori; una possibile costruzione è la seguente:

$\rho _{1}(x)={\begin{cases}e^{1 \over ||x||^{2}-1}&{\mbox{ se }}||x||<1\\0&{\mbox{ se }}||x||\geq 1\end{cases}}$

$\rho _{n}(x)=c_{n}\rho _{1}(nx)$

dove $c_{n}$ è una costante che normalizza l'integrale a 1.

Proprietà e utilizzi

In alto: un mollificatore. In basso, una funzione irregolare in rosso e la sua regolarizzata in blu

In analisi funzionale e teoria delle distribuzioni si lavora di solito con funzioni "regolari", cioè possedenti un certo numero di derivate, costruendo strumenti per estrapolare informazioni e dare risultati su esse. Se ciò non è possibile, si tenta di "regolarizzare" una funzione, cioè approssimarla con funzioni regolari, che tendano alla funzione originaria in una certa topologia funzionale.

I mollificatori si prestano bene allo scopo: se ad es. $u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ è la funzione da regolarizzare (ad esempio localmente integrabile), allora la funzione:

$\rho *u(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\rho (y)u(x-y)dy$

per le proprietà della convoluzione è liscia e dunque altamente regolare. Tale funzione si presenta come una media pesata dei valori di $u$ per punti vicini a $x$, in quanto per definizione di $\rho$ l'integranda è non nulla solo in una palla centrata in $x$ di raggio $1/n$ e assume valori massimi (che quindi per l'integrale "contano" di più) per valori molto vicini a $x$.

La bontà di questa costruzione è assicurata dai seguenti risultati:

• Se $u$ è continua allora $\rho _{n}*u$ converge a $u$ uniformemente sui compatti.

• Se $u\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$, con $p<\infty$, allora $\rho _{n}*u$ converge a $u$ in norma $L^{p}$.

Quest'ultimo risultato consente anche di dimostrare che lo spazio delle funzioni test è denso sia in $L^{p}$ che nello spazio di Sobolev $W^{1,p}$ per $p<\infty$.

Bibliografia

• Haïm Brezis, Analisi funzionale - Teoria e applicazioni, Napoli, Liguori, 1990, ISBN 88-207-1501-5.

Voci correlate

• Convoluzione
• Funzione di cutoff
• Funzione test
• Spazio Lp
• Spazio di Sobolev