미적분학

기요시 잇ô의 이름을 딴 이토 미적분학은 미적분의 방법을 브라운 운동과 같은 확률적 과정으로 확장한다(Wiener 과정 참조). 그것은 수학 재정과 확률적 미분 방정식에 중요한 응용을 가지고 있다.

중심 개념은 리만-스티엘트제스 분석의 확률론적 일반화인 Itô 확률론적 적분이다. 통합업체와 통합업체는 현재 확률적인 프로세스:

${\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s}}$

여기서 H는 X(Revuz & Yor 1999, 제4장)에 의해 발생하는 여과에 적응한 국소적으로 정사각형 통합 프로세스로서, 브라운 운동 또는 보다 일반적으로 세미마팅게일이다. 통합의 결과는 그때 또 다른 확률적 과정이다. 구체적으로는 0부터 특정 t까지의 적분은 무작위 변수의 특정 시퀀스의 한계로 정의되는 랜덤 변수다. 브라운 운동 경로는 미적분학의 표준 기법을 적용할 수 있는 요건을 충족시키지 못한다. 따라서 통합과 확률적 프로세스를 통해 Itô 확률적 적분은 어느 지점에서나 다를 수 없고 매 시간 간격에 걸쳐 무한 변동을 갖는 기능에 대한 적분량에 이른다. 주요 통찰력은 통합과 H를 채택하는 한 통합과 H를 정의할 수 있다는 것인데, 느슨하게 말하면 통합의 가치는 이 때까지 이용할 수 있는 정보에만 의존할 수 있다는 것을 의미한다. 대략적으로 말하면, 0에서 t까지의 구간의 일련의 칸막이를 선택하고 리만 합계를 구성한다. 리만 합계를 계산할 때마다 통합업체의 특정 인스턴스화를 사용하고 있다. 함수의 값을 계산하기 위해 각 작은 간격의 어느 점을 사용하는지가 중요하다. 그러면 파티션의 메쉬가 0이 될 때 한계는 확률로 취해진다. 이 제한이 존재하며 파티션의 특정 순서와 무관하다는 것을 보여주기 위해 수많은 기술적 세부사항을 처리해야 한다. 일반적으로 구간의 왼쪽 끝이 사용된다.

Itô 미적분학의 중요한 결과는 부품 공식에 의한 통합과 변수 공식의 변화인 Itô의 보조정리 등이다. 이것은 2차 변동 항으로 인해 표준 미적분학의 공식과 다르다.

수학적 금융에서는, 적분자의 기술된 평가전략을 개념화하여, 우선 무엇을 할 것인가를 결정하고, 그 다음에 가격의 변화를 관찰하고 있다. 통합은 우리가 얼마나 많은 주식을 보유하고 있는지, 통합업체는 가격의 움직임을 나타내며, 중요한 것은 우리가 주식의 가치를 포함한 총 금액을 어느 순간에 얼마나 가지고 있느냐 하는 것이다. 주식 및 기타 거래 금융자산의 가격은 브라운 운동과 같은 확률적 과정이나 기하학적 브라운 운동(Black-Scholes 참조)에 의해 모델링될 수 있다. 그 다음, It integral 확률적 적분은 시간 t에서 주식의 금액 H를_t 보유하는 것으로 구성되는 연속 시간 거래 전략의 대가를 나타낸다. 이러한 상황에서 H를 적응시키는 조건은 거래전략이 언제든지 이용 가능한 정보만을 이용할 수 있다는 필요한 제한에 해당한다. 이는 고주파수 거래를 통해 무제한적인 이득이 발생할 가능성을 차단한다. 즉, 증시가 상승하기 직전에 주식을 매입하고 하락하기 전에 주식을 매도하는 것이다. 마찬가지로 H가 적응된다는 조건은 리만 합계의 한계로 계산될 때 확률적 적분이 이탈하지 않는다는 것을 의미한다(Revuz & Yor 1999, 4장).

표기법

이전에 정의한 프로세스 Y:

${\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{0}H\,dX\equiv \int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s}}$

그 자체가 시간 매개변수 t를 갖는 확률적 과정으로, 때로는 Y = H · X(Rogers & Williams 2000)로도 표기된다. 또는 적분은 종종 Y - Y = H₀ · X에 해당하는 미분형 dY = H dX로 표기된다. Itô 미적분은 연속 시간 확률적 공정에 관계하므로, 기저에 여과된 확률 공간이 주어진다고 가정한다.

${\displaystyle (\Oomega ,{\mathcal {F}_{t}),({\mathcal {F}_{t}_{t\geq 0},\mathb {P}).}$

σ-알지브라 F는_t 시간 t까지 이용 가능한 정보를 나타내며, X가_t F-measurable이면_t 공정 X가 적응된다. 브라운 운동 B는 F-브라운_t 운동으로 이해되는데, 이것은 B가_t F-measurable이고_t B_t+s - B가_t 모든 s,t 0에 대해 F와_t 독립적이라는 특성을 가진 표준 브라운 운동일 뿐이다(Revuz & Yor 1999).

브라운 운동과 관련된 통합

Itô 적분은 Riemann-Stieltjes 적분과 유사한 방식으로 정의될 수 있으며, 이는 Riemann 합계의 확률 한계로서, 그러한 한계가 반드시 경로상 존재하는 것은 아니다. B가 Wiener 공정(브라운 모션)이고 H가 우측 연속(카들래그)이며, 적응되고 국부적으로 경계되는 공정이라고 가정하자. {${\displaystyle {\pi n}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{\pi _{n}\}\}}}$이(가) 메쉬가 0인 [0, t]의 일련의 파티션이라면, B ~ 시간 t에 대한 It integral 적분 H는 랜덤 변수다.

${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\wrightarrow \infit }\sum _{n[t_{i-1}}t_{i}]\in \pi _{n}}}}}}}H_{t_{i-1}(B_{t_{i_}-B_{t_{i-1}).}$

이 한계가 확률로 수렴된다는 것을 알 수 있다.

마팅게일 대표성 이론 및 현지 시간과 같은 일부 애플리케이션의 경우, 연속적이지 않은 프로세스에 통합이 필요하다. 예측 가능한 프로세스는 시퀀스의 한계에서 닫히는 최소 클래스를 형성하며, 모든 적응된 좌-연속 프로세스를 포함한다. 만일 H가 모든 t ≥₀^t 0에 대해² H ds < ∞과 같이 예측 가능한 과정이라면, B에 대한 H의 적분을 정의할 수 있으며, H는 B-적분이라고 한다. 그러한 모든 프로세스는 다음과 같은 의미에서 좌연속, 적응 및 국부 경계 프로세스의 시퀀스 H에_n 의해 대략적으로 추정할 수 있다.

${\displaystyle \int _{0}^{t}(H-H_{n})^{2}\,ds\to 0}$

in probability. Then, the Itô integral is

${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{t}H_{n}\,dB}$

where, again, the limit can be shown to converge in probability. The stochastic integral satisfies the Itô isometry

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\left(\int _{0}^{t}H_{s}\,dB_{s}\right)^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right]}$

which holds when H is bounded or, more generally, when the integral on the right hand side is finite.

Itô processes

An Itô process is defined to be an adapted stochastic process that can be expressed as the sum of an integral with respect to Brownian motion and an integral with respect to time,

${\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,ds.}$

Here, B is a Brownian motion and it is required that σ is a predictable B-integrable process, and μ is predictable and (Lebesgue) integrable. That is,

${\displaystyle \int _{0}^{t}(\sigma _{s}^{2}+ \mu _{s} )\,ds<\infty }$

for each t. The stochastic integral can be extended to such Itô processes,

${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dX=\int _{0}^{t}H_{s}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}H_{s}\mu _{s}\,ds.}$

This is defined for all locally bounded and predictable integrands. More generally, it is required that Hσ be B-integrable and Hμ be Lebesgue integrable, so that

${\displaystyle \int _{0}^{t}(H^{2}\sigma ^{2}+ H\mu )ds<\infty .}$

Such predictable processes H are called X-integrable.

An important result for the study of Itô processes is Itô's lemma. In its simplest form, for any twice continuously differentiable function f on the reals and Itô process X as described above, it states that f(X) is itself an Itô process satisfying

${\displaystyle df(X_{t})=f^{\prime }(X_{t})\,dX_{t}+{\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }(X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt.}$

이것은 변수 공식과 체인 규칙의 변화에 대한 확률적 미적분학 버전이다. 브라운 운동이 0이 아닌 2차 변동을 갖는 속성에서 유래한 f의 두 번째 파생상품과 관련된 추가 용어 때문에 표준 결과와 다르다.

통합업체로서의 세미마틴화일즈

Itô 적분은 세미마팅ale X와 관련하여 정의된다. 이것들은 국소 마팅게일 M과 유한변동 공정 A에 대해 X = M + A로 분해될 수 있는 공정이다. 그러한 과정의 중요한 예로는 마팅게일인 브라운 운동과 레비 과정이 있다. 왼쪽 연속적이고 국부적으로 경계되고 적응된 공정 H의 경우 적분 H · X가 존재하며, 리만 합계의 한계로 계산할 수 있다. 메쉬가_n 0이 되는 [0, t] 칸막이의 연속이 되도록 하자.

${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dX=\lim _{n\wrightarrow \infit }\sum _{t_{i-1}t_{i}\in \pi _{n}}}}}}H_{t_{i-1}(X_{t_{i}-X_{t_{i-1})}$

이 한계는 확률로 수렴된다. 좌-연속 과정의 확률적 적분은 확률적 미적분을 많이 연구하기에 충분히 일반적이다. 예를 들어, Itô의 lema의 적용, Girsanov의 정리를 통한 조치의 변경, 확률적 미분 방정식의 연구에 충분하다. 그러나 마팅게일 대표성 이론과 현지 시간 등 다른 중요한 주제에는 불충분하다.

적분은 지배적인 수렴 정리가 유지되는 독특한 방식으로 예측 가능하고 국부적으로 경계된 모든 통합자들에게 확장된다. 즉, 국부적 경계가 있는 공정 J에 대해_n H → ;H 및 H_n ≤ J가 있다면,

${\displaystyle \int _{0}^{t}H_{n}dX\to \int_{0}^{t}}HdX,}$

개연성이 있는 좌-연속적 통합체에서 예측 가능한 통합체로 확장된 고유성은 단조로운 등급 보조정리체의 결과물이다.

일반적으로 예측 가능한 공정 H가 국부적으로 경계되지 않는 경우에도 확률적 적분 H·X를 정의할 수 있다. K = 1 / (1 + H )이면 K와 KH가 경계된다. 확률적 통합의 연관성은 만약 Y₀ = 0, K · Y = (KH) · X의 경우에만 H가 일체형 H · X = Y를 갖는 X 통합형임을 의미한다. X 통합 프로세스 세트는 L(X)로 표시된다.

특성.

(Revuz & Yor 1999)와 (Rogers & Williams 2000)와 같은 작품에서 다음과 같은 속성을 발견할 수 있다.

• 확률적 적분은 카들래그 과정이다. 게다가 세미마틴데일이다.
• 확률적 적분의 불연속성은 적분자와 적분량을 곱한 적분자의 점프로 주어진다. 한 번에 cadlag 공정의 점프는 X_t - X이며_t−, 종종 ΔX로_t 표시된다. 이 표기법으로 Δ(H · X) = H ΔX. 이것의 특별한 결과는 연속적인 프로세스에 대한 통합은 항상 그 자체로 연속적이다.
• 연상성. J, K는 예측 가능한 프로세스, K는 X-통합이 가능하도록 한다. 그 다음, JK가 X 통합이 가능한 경우에만 J · X 통합이 가능하며, 이 경우 J는 K · X 통합이 가능하다.

  ${\displaystyle J\cdot(K\cdot X)=(JK)\cdot X}$

• 지배적인 융합. H_n → H 및 H ≤ J, 여기서_n J는 X 통합 공정이라고 가정한다. 그 다음_n H · X → H · X. 수렴은 각 시간 t에서 확률에 있다. 실제로 확률상 콤팩트 세트에 균일하게 수렴한다.
• 확률적 적분은 2차 공변량 섭취의 작동과 통한다. X와 Y가 세미마팅일 경우 모든 X 통합 프로세스도 [X, Y] 통합이 가능하며 [H · X, Y] = H · [X, Y]가 된다. 그 결과 확률적 적분의 2차 변동 프로세스는 2차 변동 프로세스의 적분과 동일하다.

  $[H\cdot X]=H^{2}\cdot [X]}$

부품별 통합

일반 미적분과 마찬가지로 부품별 통합은 확률적 미적분학의 중요한 결과물이다. Itô 적분에 대한 부품 공식별 통합은 2차 공분산 항을 포함하기 때문에 표준 결과와 다르다. 이 용어는 Itô 미적분학이 0이 아닌 2차 변동을 가진 공정을 다루고 있다는 사실에서 유래한 것으로, 무한 변동 공정(브라운 운동 등)에서만 발생한다. 만약 X와 Y가 반마르크화목이라면

${\displaystyle X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t}}}}}$

여기서 [X, Y]는 2차 공분산 과정이다.

결과는 리만-스티엘트제스 적분(Rieman-Stieltjes)의 부품 정리별 통합과 유사하지만 2차 변동 항이 추가된다.

It le의 보조정리

Itô의 보조정리란 Itô 적분(Integrity)에 적용되는 체인 룰의 버전이나 변수 공식의 변경이다. 그것은 확률 미적분학에서 가장 강력하고 자주 사용되는 이론들 중 하나이다. 연속 n차원 세미마팅게일 X = (X¹,...,Xⁿ)와 R에서ⁿ R까지 연속적으로 두 번 다른 함수 f의 경우, f(X)는 세미마팅게일이며,

${\displaystyle df(X_{t})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.}$

이는 2차 공분산을 포함하는 용어[Xⁱ,X^j ]로 인해 표준 미적분학에 사용되는 체인 규칙과는 다르다. 이 공식은 순수한 점프 용어를 추가하여 좌우측 점프가 일치하는지 확인함으로써 비연속 세미마틴으로 일반화할 수 있다(It (의 보조정리 참조).

마팅게일 통합업체

지역마팅게일스

Itô 적분의 중요한 재산은 지역 마팅게일 재산을 보존한다는 것이다. 만약 M이 로컬 마팅게일이고 H가 로컬로 경계된 예측 가능한 공정이라면 H·M도 로컬 마팅게일이다. 국부적으로 경계하지 않는 통합업체의 경우, H · M이 국부 마팅게일이 아닌 경우가 있다. 그러나 이는 M이 연속적이지 않을 때만 발생할 수 있다. 만약 M이 지속적인 로컬 마팅게일이라면, 예측 가능한 프로세스 H는 만약의 경우에 한해 M-통합이 가능하다.

${\displaystyle \int _{0}^{t}H^{2}d[M]<\fully ,}$

각각의 t, 그리고 H · M은 항상 지역 마팅게일이다.

불연속 로컬 마팅게일 M에 대한 가장 일반적인 설명은 (H² · [M])^1/2이 국부적으로 통합될 수 있다면 H · M이 존재하고, 국부 마팅게일이라는 것이다.

정사각형 일체형 마팅게일즈

경계가 있는 통합업체의 경우 Itô 확률적 적분은 모든 t에 대해 E[M_t²]가 유한할 수 있도록 Cadlag 마팅ales M의 집합인 사각 통합 마팅ales의 공간을 보존한다. 그러한 모든 정사각형 통합형 마팅게일 M의 경우, 2차 변이 공정[M]은 통합이 가능하며 Itô Isometry는 다음과 같이 기술하고 있다.

${\displaystyle \mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]\right].}$

This equality holds more generally for any martingale M such that H² · [M]_t is integrable. The Itô isometry is often used as an important step in the construction of the stochastic integral, by defining H · M to be the unique extension of this isometry from a certain class of simple integrands to all bounded and predictable processes.

p-Integrable martingales

For any p > 1, and bounded predictable integrand, the stochastic integral preserves the space of p-integrable martingales. These are càdlàg martingales such that E( M_t ^p) is finite for all t. However, this is not always true in the case where p = 1. There are examples of integrals of bounded predictable processes with respect to martingales which are not themselves martingales.

The maximum process of a càdlàg process M is written as M*_t = sup_{s ≤t} M_s . For any p ≥ 1 and bounded predictable integrand, the stochastic integral preserves the space of càdlàg martingales M such that E[(M*_t)^p] is finite for all t. If p > 1 then this is the same as the space of p-integrable martingales, by Doob's inequalities.

The Burkholder–Davis–Gundy inequalities state that, for any given p ≥ 1, there exist positive constants c, C that depend on p, but not M or on t such that

${\displaystyle c\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]\leq \mathbb {E} \left[(M_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]}$

for all càdlàg local martingales M. These are used to show that if (M*_t)^p is integrable and H is a bounded predictable process then

${\displaystyle \mathbb {E} \left[((H\cdot M)_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[(H^{2}\cdot [M]_{t})^{\frac {p}{2}}\right]<\infty }$

and, consequently, H · M is a p-integrable martingale. More generally, this statement is true whenever (H² · [M])^p/2 is integrable.

Existence of the integral

Proofs that the Itô integral is well defined typically proceed by first looking at very simple integrands, such as piecewise constant, left continuous and adapted processes where the integral can be written explicitly. Such simple predictable processes are linear combinations of terms of the form H_t = A1_{{t > T}} for stopping times T and F_T-measurable random variables A, for which the integral is

${\displaystyle H\cdot X_{t}\equiv \mathbf {1} _{\{t}T\}A(X_{T}-X_{T}).}$

이것은 H에서 H · X의 선형성에 의해 모든 단순 예측 가능한 공정으로 확장된다.

브라운 운동 B의 경우, 평균이 0이고 분산이 Bar(B_t) = t인 독립적 증분을 갖는 특성을 사용하여 단순 예측 가능한 통합자에 대한 Itô 등계도를 입증할 수 있다.

${\displaystyle \mathb {E} \left[(H\cdot B_{t})^{2}\right]=\mathb {E} \left[\int_{0}^{t}}H_{s}^{2}\,ds\right].}$

연속적인 선형 확장에 의해, 적분은 만족스러운 모든 예측 가능한 통합체로 독특하게 확장된다.

${\displaystyle \mathb {E} \left[\int_{0}^{t}H^{2}ds\right]<\flitty ,}$

이토메트리가 여전히 유지되는 방식으로. 이후 국산화하여 모든 B-통합 공정으로 확장할 수 있다. 이 방법은 Itô 프로세스에 대해 적분을 정의할 수 있다.

일반 세미마팅게일 X의 경우 X = M + A를 국소 마팅게일 M으로 분해하고 A를 유한 변이 공정으로 사용할 수 있다. 그 다음, 적분자는 M과 A에 대하여 별도로 존재함을 보여줄 수 있으며, 선형성 H · X = H · M + H · A를 이용하여 결합하여 X에 관한 적분을 얻을 수 있다. 표준 Lebesgue-Stieltjes 적분은 한정된 변동 프로세스에 대해 통합을 정의할 수 있도록 허용하므로 세미마틴팅ales를 위한 Itô 적분들의 존재는 지역 마팅ales를 위한 어떤 구조에서든 따를 것이다.

카들래그 사각형 통합형 마팅게일 M의 경우 Itô Isometry의 일반화된 형식을 사용할 수 있다. 첫째, Dub-Meyer 분해 정리는 분해² M = N + ⟨M⟩이 존재함을 보여주기 위해 사용되며, 여기서 N은 마팅게일이고 ⟨M⟩은 0에서 시작되는 우연속적이고 증가하며 예측 가능한 과정이다. 이것은 M의 예측 가능한 이차변동이라고 일컬어지는 ⟨M⟩을 고유하게 정의한다. 정사각형 통합 마팅칼레스에 대한 Itô Isometry는 그때 이다.

${\displaystyle \mathb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathb {E} \left[\int_{0}^{t}}H_{s}^{2}\,d\langle M\rangle _{s}\rigle,}$

단순하고 예측 가능한 통합업체를 위해 직접 증명할 수 있다. 브라운 모션의 위 사례와 마찬가지로 E[H² · ⟨M⟩]_t < ∞을 만족하는 모든 예측 가능한 통합체로 고유하게 확장하기 위해 연속적인 선형 확장을 사용할 수 있다. 이 방법은 현지화에 의해 모든 현지 스퀘어 통합 마팅 판매로 확장될 수 있다. 마지막으로, Dob-Meyer 분해는 어떤 지역 마팅게일을 지역적 정사각형 통합형 마팅게일과 유한 변동 과정의 합으로 분해하는데 사용될 수 있으며, 어떤 세미마팅게일에 관해서도 It integral 적분을 구성할 수 있다.

It apply Isometry에서 2차 변동[M]의 사용, Doléans 측정의 하위 판매 또는 It it isometry 대신 Burkholder-Davis-Gundy 불평등을 사용하는 등 유사한 방법을 적용하지만 Dob-Meyer 분해 정리의 사용을 피할 수 있는 많은 다른 증거들이 존재한다. 후자는 정사각형 통합형 마팅게일 케이스를 먼저 처리할 필요 없이 지역 마팅게일에 직접 적용된다.

대안적 증거는 X가 cadlag이고, 적응되어 있으며, 세트 {H_t · X: H 1 1은 단순하게 evaluable}이라는 사실만을 이용하여 각 시간 t에 대한 확률을 제한하고 있는데, 이는 X가 세미마팅일이라는 대안적 정의인 것이다. 연속적인 선형 확장은 모든 좌-연속 및 조정된 통합품에 대한 적분을 구성하는데 사용될 수 있으며, 모든 곳에 (카그라드 또는 L-프로세스) 오른쪽 한계가 있다. 이는 Itô의 보조정리(Protter 2004) 등의 기법을 적용할 수 있을 정도로 일반적이다. 또한, 킨치네 불평등은 지배적인 수렴 정리를 증명하고 그 적분을 예측 가능한 일반 통합자들에게 확장하는데 사용될 수 있다(Bichteler 2002).

Itô 미적분학의 미분화

Itô 미적분은 위에서 설명한 대로 우선 적분으로 정의된다. 그러나 브라운 운동과 관련하여 "파생적"이라는 개념도 다르다.

말리아빈 파생상품

Malliavin 미적분학은 부품 공식에 의한 통합을 포함하여 Wiener 공간에 정의된 랜덤 변수에 대한 분화 이론을 제공한다(Nualart 2006).

마팅게일 표현

다음 결과는 마팅ales를 Itsu 통합으로 표현할 수 있다: M이 Brownian 운동 B에 의해 생성된 여과와 관련하여 시간 간격[0, T]에 있는 정사각형 통합 프로세스 α가 있다면, [0, T]에는 다음과 같이 적응된 정사각형 통합 프로세스 α가 있다.

${\displaystyle M_{t}=M_{0}+\int_{0}^{t}\알파_{s}\,\mathrm {d}B_{s}}}}}$

거의 확실하고 모든 t ∈ [0, T] (Rogers & Williams 2000, Organic 36.5)에 대해. 이 표현 정리는 결정론적 미적분학에서처럼 정확히_t M - M을₀ 얻기 위해 시간 t까지 통합되어야 하는 과정이기 때문에 브라운 운동 B에 관해서 α는 M의 "시간 파생물"이라고 말하는 것으로 공식적으로 해석할 수 있다.

물리학자들을 위한 미적분학

물리학에서는 대개 확률적 통합보다는 랜지빈 방정식과 같은 확률적 미분 방정식(SDE)이 사용된다. 여기서 Itô 확률적 미분방정식(SSE)은 종종 다음을 통해 공식화된다.

${\dot}{x}_{k}=h_{k}+g_{kl}\xi _{l}}}$

여기서 $\xi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$은(는) 가우스 백색 소음이며

${\displaystyle \langle \xi _{k}(t_{1})\,\xi _{l}(t_{2})\angle =\cl}\properties(t_{1}-t_{2})}}$

그리고 아인슈타인의 요약 규칙이 사용된다.

$y{\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$ (${\displaystyle x_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle y=y(x_{k})$가 x의_k 함수인 경우$$ Itô의 보조정리기를 사용해야 한다.

${\dot스타일 {\dot{y}}={\frac {\frac}{\preason x_{j}}{\dot{x}_{j}+{{1}{1}:{1}2}}:{\frac {\preason ^{2}y}{\preason x_{l}g}g}g_{ml}.}$

위와 같은 Itde SDE는 또한 Stratonovich SSE에 해당하며, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle {\x}_{k}=h_{k}+g_{kl}\xi_{l}-{l}-{\frac {1}{1}{{l}-{l}-{{l}}}}{\frac {\cl}{x_}}}}}g_{ml}.}$

SSE는 스트라토노비치 형태의 물리학에서 자주 발생하는데, 소음 항의 상관 시간이 0에 근접할 경우 색소음에 의해 구동되는 확률적 미분 방정식의 한계로 나타난다. 확률적 미분 방정식의 다른 해석에 대한 최근 치료는 예를 참조한다(Lau & Lubensky 2007).

SDE의 Itô 해석과 초대칭 이론

SSDE의 초대칭 이론에서 확률적 진화는 위상 공간의 차등 형태에 작용하는 확률적 진화 연산자(SO)를 통해 정의된다. Itô-Stratonovich 딜레마는 확률적 진화의 운영자 대표성에 통합된 경로에서 발생하는 운영자 주문의 모호성의 형태를 취한다. Itô 해석은 모든 모멘텀 운영자가 모든 포지션 운영자 뒤에 작용한다는 운영자 주문 규약에 해당한다. SEO는 소음-구성 의존적 SSE 정의 차이점형성에 의해 유도된 풀백에 대한 가장 자연스러운 수학적 정의를 제공하고 소음 구성에 대한 평균을 제공함으로써 독특하게 만들 수 있다. 이러한 혼란은 SSDE의 흐름 벡터장의 특정 이동에 의해 It interpretation 해석으로 바뀔 수 있는 SSDE의 스트라토노비치 해석으로 이어진다.

참고 항목

• 확률 미적분학
• 위너 공정
• It le의 보조정리
• 스트라토노비치 적분
• 세미마팅게일

참조

• Bichteler, Klaus (2002), Stochastic Integration With Jumps (1st ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-81129-5
• Cohen, Samuel; Elliott, Robert (2015), Stochastic Calculus and Applications (2nd ed.), Birkhaueser, ISBN 978-1-4939-2867-5
• 하겐 클라인어트(2004) Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physical and Financial Markets, 제4판, World Scientific(싱가포르); Paperback ISBN 981-238-107-4. 온라인에서 5번째 판 이용 가능: PDF 파일, 가우스 이외의 프로세스에 대한 Itô의 보조정리 일반화.
• He, Sheng-wu; Wang, Jia-gang; Yan, Jia-an (1992), Semimartingale Theory and Stochastic Calculus, Science Press, CRC Press Inc., ISBN 978-0849377150
• Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven (1991), Brownian Motion and Stochastic Calculus (2nd ed.), Springer, ISBN 0-387-97655-8
• Lau, Andy; Lubensky, Tom (2007), "State-dependent diffusion", Phys. Rev. E, 76 (1): 011123, arXiv:0707.2234, Bibcode:2007PhRvE..76a1123L, doi:10.1103/PhysRevE.76.011123
• Nualart, David (2006), The Malliavin calculus and related topics, Springer, ISBN 3-540-28328-5
• Øksendal, Bernt K. (2003), Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, Berlin: Springer, ISBN 3-540-04758-1
• Protter, Philip E. (2004), Stochastic Integration and Differential Equations (2nd ed.), Springer, ISBN 3-540-00313-4
• Revuz, Daniel; Yor, Marc (1999), Continuous martingales and Brownian motion, Berlin: Springer, ISBN 3-540-57622-3
• Rogers, Chris; Williams, David (2000), Diffusions, Markov processes and martingales - Volume 2: Itô calculus, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-77593-0
• TI-Basic의 수학적 재무 프로그래밍, TI-계산기용 Ito 미적분학을 구현한다.