Utente:Rcmf2020/Sandbox

In matematica, in particolare nel calcolo infinitesimale, il differenziale di una funzione in un punto, a meno di traslazioni, è l'operatore lineare che meglio approssima nel punto la funzione stessa.

Nel caso di funzioni ad una variabile reale, il differenziale di una funzione derivabile $f$ è rappresentabile tramite la derivata. Infatti, sia $x_{0}$ un punto interno del domino di f, allora vale l'approssimazione data da

$f(x)=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})+o(\vert x-x_{0}\vert )$,

dove $o(\vert x-x_{0}\vert )$ è tale che $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {o(\vert x-x_{0}\vert )}{\vert x-x_{0}\vert }}=0$. Quindi a meno della traslazione data da $f(x_{0})$, la funzione $f$ è approssimata dall'operatore lineare rappresentato dalla moltiplicazione per lo scalare $f'(x_{0})$. Nel seguito indicheremo con $df(x_{0})$ o con $df_{x_{0}}$ il differenziale della funzione $f$ nel punto $x_{0}$.

Nel caso di funzioni da $\mathbb {R} ^{n}$ a $\mathbb {R} ^{m}$, l'operatore lineare $df(x_{0})$, come tutti gli operatori da da $\mathbb {R} ^{n}$ a $\mathbb {R} ^{m}$, può essere rappresentato da un'opportuna matrice e la sua azione è data dal consueto prodotto righe per colonne.

Definizione

Il differenziale è la parte lineare dell'applicazione affine che ha il grafico tangente a quello della funzione

Una funzione da $\mathbb {R} ^{n}$ a $\mathbb {R} ^{m}$ è detta differenziabile nel punto $x_{0}$, punto interno del dominio di $f$, se esiste un operatore lineare $A_{f}$ da $\mathbb {R} ^{n}$ a $\mathbb {R} ^{m}$ tale che, detto $h$ un vettore di $\mathbb {R} ^{n}$, soddisfa

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})-A_{f}(h)}{\Vert h\Vert }}=0$,

o in modo equivalente si può scrivere che $f(x_{0}+h)-f(x_{0})-A_{f}(h)=o(\|h\|)$.

Se tale operatore esiste allora viene detto il differenziale di $f$ in $x_{0}$, $df(x_{0})=A_{f}$. Si noti che il limite sopra indicato è per il vettore $h$ che va a zero, questo consiste nel far tendere a zero coordinata per coordinata in tutti i modi possibili.

Il differenziale $df(x_{0})$, essendo un operatore lineare da $\mathbb {R} ^{n}$ a $\mathbb {R} ^{m}$, può essere rappresentato da una matrice $n\times m$.

definizione di differenziale di una funzione tra spazi di Banach

Una generalizzazione del concetto di differenziale di funzione da $\mathbb {R} ^{n}$ a $\mathbb {R} ^{m}$ appena data è quella di differenziale di una funzione tra spazi di Banach.

Siano $E$ e $F$ due spazi di Banach (ad esempio $E$ può coincidere con $\mathbb {R} ^{n}$ e $F$ con $\mathbb {R} ^{m}$), sia $f:E\to F$ e sia $x_{0}$un punto interno del dominio di $f$. Allora, $f$ si dice differenziabile in $x_{0}$ se esiste un operatore lineare $A_{f}$ da $E$ a $F$ tale che per ogni vettore $h$ di $E$ soddisfa

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})-A_{f}(h)}{\Vert h\Vert }}=0$.

Se tale operatore esiste allora viene detto il differenziale di $f$ in $x_{0}$, $df(x_{0})=A_{f}$. Gli spazi di Banach comprendono anche spazi infinito dimensionali, quindi non è detto in questo caso che il differenziale sia rappresentabile per mezzo di una matrice.

Differenziale di morfismi tra varietà

Un'ulteriore generalizzazione è quella di differenziale di funzione (morfismo) tra varietà differenziabili.

Siano $M$ e $N$ due varietà differenziabili (ad esempio $M$ può coincidere con $\mathbb {R} ^{n}$ e $N$ con $\mathbb {R} ^{m}$), sia $f:M\to N$ una funzione liscia e sia $x_{0}$un punto interno del dominio di $f$. Allora, il differenziale di $f$ in $x_{0}$ è definito come l'operatore lineare che mappa lo spazio tangente a $M$ in $x_{0}$, $T_{x_{0}}M$, nello spazio tangente a $N$ in $f(x_{0})$, $T_{f(x_{0})}N$, che agisce come segue

$df_{x_{0}}(v)(g)=v(g\circ f)$

per ogni $g\in {C^{\infty }}(f(x_{0}))$, dove si sono considerati i vettori tangenti come derivazioni. Considerando i vettori tangenti come classi di equivalenza di curve passanti per $m$ si ottiene la definizione corrispondente:

$df_{x_{0}}([\gamma ])=[f_{*}\gamma ]=[f\circ \gamma ]$

La mappa $df_{p}$ (scritta anche come $Tf_{p}$, $Df_{p}$, $f_{*}$, $f'(p)$) è detta anche mappa tangente, perché il simbolo $T$ definisce un funtore covariante dalla categoria delle varietà differenziabili in quella dei fibrati vettoriali.

Rapporto tra differenziale e matrice Jacobiana

Torniamo a prendere in esame il differenziale di una funzione $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$. Supponiamo che $f$ sia differenziabile, allora per definizione di differenziabilità, facendo il limite sui vettori $h$ proporzionali al $i$-esimo vettore della base di $\mathbb {R} ^{n}$, $h=te_{i}$, con $e_{i}$ il vettore della base e $t\in \mathbb {R}$, otteniamo che

$\lim _{t\to 0^{+}}{\frac {f(x_{0}+te_{i})-f(x_{0})-df_{x_{0}}(te_{i})}{t}}=0$,

da questo segue immediatamente che

$df_{x_{0}}(e_{i})=\left(\lim _{t\to 0^{+}}{\frac {tdf_{x_{0}}(e_{i})}{t}}=\lim _{t\to 0^{+}}{\frac {df_{x_{0}}(te_{i})}{t}}\right)=\lim _{t\to 0^{+}}{\frac {f(x_{0}+te_{i})-f(x_{0})}{t}}$,

dove abbiamo usato la linearità dell'operatore differenziale nel punto e la linearità dell'operazione di limite.

Quindi, $df_{x_{0}}(e_{i})$ è la derivata direzionale di $f$ rispetto alla $i$-esima variabile. Si noti inoltre che $df_{x_{0}}(e_{i})$ è un vettore riga perché tale è la derivata direzionale di $f$.

Ripetendo tale ragionamento per ogni $i=1,\ldots ,m$ otteniamo che l'operatore differenziale $df_{x_{0}}$ è rappresentabile con una matrice che ha per righe le derivate direzionali della funzione $f$ rispetto alle sue variabili. L'azione di $df_{x_{0}}$ su un generico vettore $h$ di $\mathbb {R} ^{m}$ è data dall'usuale prodotto righe per colonne. La matrice che rappresenta $df_{x_{0}}$è dunque la matrice Jacobiana.

Proprietà del differenziale

Le seguenti regole valgono in tutti i diversi contesti in cui abbiamo definito il differenziale (funzioni da $\mathbb {R} ^{n}$ a $\mathbb {R} ^{m}$, funzioni tra spazi di Banach e morfismi tra varietà differenziabili).

• Il differenziale è un operatore lineare, quindi se f e g sono due funzioni differenziabili in $x_{0}$ vale $d(\alpha f+\beta g)(x_{0})=\alpha df(x_{0})+\beta dg(x_{0})$;
• Vale la regola di Leibniz, ovvero se f e g sono due funzioni differenziabili in $x_{0}$ vale $d(fg)(x_{0})=f(x_{0})dg(x_{0})+g(x_{0})df(x_{0})$;
• Vale la regola della catena. Sia g una funzione differenziabile in $x_{0}$ e sia f una funzione differenziabile in $g(x_{0})$, allora $d(f\circ g)(x_{0})=Df(g(x_{0}))dg(x_{0})$.

Notiamo come le proprietà sopra riportate siano simili a corrispondenti proprietà godute dalla derivata di una funzione in un punto.

Notazione di Leibniz nel caso di funzioni da $\mathbb {R}$ in $\mathbb {R}$

Giustificazione della notazione di Leibniz in termini del differenziale della funzione

La funzione identità associa $x$ a sé stesso ed è lineare e differenziabile. Come ogni funzione lineare, il suo differenziale è uguale alla funzione stessa indipendente dal punto $x_{0}$ in cui lo si calcola. Se lo si indica con $dx(x_{0})$ si ha, indipendentemente da $x_{0}$:

$dx(x_{0})(h)=h$

Dal momento il differenziale per funzioni da $\mathbb {R}$ in $\mathbb {R}$ agisce come il prodotto per la derivata, si ottiene:

$df(x)(h)=f'(x)h=f'(x)dx(h)$

da cui:

$f'(x)={\frac {df(x)(h)}{dx(h)}}$

Quindi, il rapporto delle due funzioni lineari (i due differenziali) è costante come funzione di $h$ ed è uguale alla derivata nel punto. In questo modo è possibile dare un senso rigoroso alla notazione di Leibniz, che esprime la derivata di una funzione come il quoziente tra il differenziale della funzione e quello della variabile indipendente. Tuttavia, la trattazione svolta in questa forma non è in grado di giustificare le operazioni aritmetiche sui differenziali che, nella notazione di Leibniz, nonostante la mancanza di una base rigorosa forniscono un metodo mnemonico semplice per la scrittura di proprietà delle derivate. Per un recupero rigoroso dei metodi leibniziani è invece necessario rifarsi a metodi che appartengono all'analisi non standard, formulata da Abraham Robinson negli anni sessanta.

Alcuni risultati notevoli

Ricordiamo qui in maniera informale alcuni risultati notevoli circa il differenziale:

• Teorema del differenziale totale. Tale teorema ci dice che sotto opportune condizioni di regolarità delle derivate parziali della funzione nell'intorno di un punto la funzione è differenziabile nel punto.
• Teorema della funzione implicita (di Dini). Tale teorema ci di che se se il differenziale di una funzione in più variabili non si annulla in un punto che soddisfa l'equazione $f(x)=0$, allora una o più coordinate si possono esplicitare in funzione delle altre, in modo che localmente la funzione ottenuta descriva il luogo dei punti che soddisfano l'equazione stessa.
• Teorema della funzione inversa. Tale teorema ci dice che una funzione è localmente invertibile li dove il differenziale è in isomorfismo tra spazi vettoriali, ovvero se è un omeomorfismo invertibile.

Differenziali di ordine superiore

I differenziali di ordine superiore di una funzione $y=f(x)$ di una sola variabile $x$ possono essere definiti nel modo seguente:

$d^{2}y=d(dy)=d(f'(x)dx)=f''(x)\,(dx)^{2}$

e più in generale:

$d^{n}y=f^{(n)}(x)\,(dx)^{n}$

Informalmente, questo giustifica l'utilizzo della notazione di Leibniz per derivate di ordine superiore:

$f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}$

Ad esempio nel caso di una funzione $f(x):\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ in cui $dx$ non sia una forma chiusa, usando la regola di Leibniz per il prodotto tra funzioni si ha

$d^{2}f(x_{0})=d(df(x_{0}))=d(f'(x_{0})dx)=f''(x_{0})(dx)^{2}+f'(x_{0})d^{2}x$.

Un altro esempio è dato dal differenziale $n$-esimo di una funzione $f(x,y):\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$, con $dx$ e $dy$ forme non chiuse,

$d^{n}f=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {\partial ^{n}f}{\partial x^{k}\partial y^{n-k}}}(dx)^{k}(dy)^{n-k}$

dove $\scriptstyle {\binom {n}{k}}$ è il coefficiente binomiale. In più variabili l'espressione è analoga a patto di utilizzare l'appropriata espansione multinomiale.

Differenziale esatto

Un differenziale esatto $df$ è una 1-forma che ammette una primitiva, ovvero una funzione Q, detta anche potenziale, che soddisfa:

$dQ=df$.

Essendo le 1-forme, quindi i differenziali, nello spazio $\mathbb {R} ^{n}$ della forma

$df=f_{1}(x1,\ldots ,x_{n})dx_{1}+\ldots +f_{n}(x1,\ldots ,x_{n})dx_{n}$,

con $f_{1}(x1,\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{n}(x1,\ldots ,x_{n})$ opportune funzioni continue, allora la condizione richiesta risulta soddisfatta quando

$f_{1}={\frac {\partial Q}{\partial x_{1}}}\;\dots \;f_{n}={\frac {\partial Q}{\partial x_{2}}}$.

Bibliografia

• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi Matematica Due, Napoli, Liguori Editore, 1996, ISBN 978-88-207-2675-1. (capitolo 3, paragrafo 29)
• M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011, ISBN 978-88-470-1919-5.
• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
• Giuseppe De Marco, Analisi Due, Decibel-Zanichelli, 1999.
• (EN) Serge Lang, Undergraduate Analysis, Springer, 1997.
• (EN) Serge Lang, Real and Functional Analysis, Springer, 1993.
• (EN) James Munkres, Analysis on Manifolds, Westview Press, 1991.
• (EN) Frank Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer, 1983.

Voci correlate

• 1-forma
• Differenziale esatto
• Derivata
• Derivata direzionale
• Derivata parziale
• Funzione continua
• Funzione differenziabile
• Gradiente
• Matrice jacobiana
• Subdifferenziale
• Trasformazione lineare

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) G.P. Tolstov, Differential, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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