수학철학

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수학철학은 수학의 가정과 기초, 함축성을 연구하는 철학의 한 분야다.수학의 본질과 방법을 이해하고, 사람들의 생활 속에서 수학의 위치를 알아내는 것을 목표로 한다.수학 자체의 논리적이고 구조적인 성질은 이 연구를 철학적 상대들 사이에서 넓고 독특하게 만든다.

수학 철학은 크게 수학 현실주의와 수학 반현실주의라는 두 가지 주제를 가지고 있다.

역사

수학의 기원은 논쟁과 의견 불일치의 대상이 된다.수학의 탄생이 물리학과 같은 다른 과목이 발달하는 동안 닥치는 대로 일어난 일이었는지 아니면 필요에 의해 유도된 것이었는지는 여전히 다작다작의 논쟁의 문제다.^[1][2]

많은 사상가들이 수학의 본질에 관한 그들의 생각을 기고해 왔다.오늘날, 수학의 철학자들 중에는^[who?] 이러한 형태의 연구와 그 결과물에 대해 그들이 서 있는 그대로 설명하는 것을 목표로 하는 사람들이 있는가 하면, 다른 사람들은 단순한 해석을 넘어 비판적인 분석에 이르는 자기자신을 위한 역할을 강조한다.서양철학과 동양철학에는 모두 수학철학의 전통이 있다.수학의 서양 철학은 '모든 것이 수학이다'(수학적 이론), 피타고라스를 패러디하고 수학적 사물의 존재론적 지위를 연구한 플라톤, 무한과 관련된 논리와 이슈(실제 대 잠재력)를 연구한 아리스토텔레스까지 거슬러 올라간다.

수학에 대한 그리스 철학은 그들의 기하학 연구에 큰 영향을 받았다.예를 들어, 한 때 그리스인들은 1(1)은 숫자가 아니라, 오히려 임의의 길이의 단위라는 의견을 견지했다.숫자는 다수의 숫자로 정의되었다.따라서, 예를 들어, 3은 특정한 다수의 단위를 나타냈으며, 따라서 숫자가 "정확히" 되지 않았다.또 다른 시점에서는 2가 숫자가 아니라 쌍의 기본 개념이라는 비슷한 주장이 나왔다.이러한 견해는 그리스인들의 매우 기하학적인 직선-가장자리-비교적인 관점으로부터 온다. 기하학적 문제에서 그려진 선들이 첫 번째 임의로 그려진 선에 비례하여 측정되는 것처럼, 숫자 선 위의 숫자도 임의의 첫 번째 "숫자" 또는 "하나"^{[citation needed]}에 비례하여 측정되는 것이다.

숫자에 대한 이러한 초기의 그리스 사상은 후에 두 개의 제곱근의 불합리성이 발견됨으로써 더욱 발전되었다.피타고라스의 제자 히파수스는 단위 사각형의 대각선이 그 (단위 길이) 가장자리와 상통할 수 없다는 것을 보여주었다. 즉, 그는 단위 사각형의 가장자리까지의 대각선의 비율을 정확하게 나타내는 현존 (합리적) 숫자가 없음을 증명했다.이로 인해 그리스 수학철학에 대한 상당한 재평가가 이루어졌다.전설에 따르면, 동료 피타고라스는 이 발견으로 너무나 충격을 받아 히파수스가 이단적인 생각을 퍼뜨리는 것을 막기 위해 히파수스를 살해했다고 한다.사이먼 스테빈은 16세기에 그리스 사상에 도전한 최초의 유럽인 중 한 명이었다.라이프니츠를 시작으로 수학과 논리의 관계로 초점이 강하게 옮겨갔다.이러한 관점은 프레지 시대와 러셀 시대를 거치면서 수학의 철학을 지배하였으나, 19세기 후반과 20세기 초반의 전개에 의해 문제 삼게 되었다.

현대 철학

수학철학의 영원한 이슈는 논리와 수학의 공동기초와의 관계에 관한 것이다.20세기 철학자들이 이 글의 앞부분에서 언급된 질문들을 계속하는 동안, 20세기 수학의 철학은 형식논리, 세트이론(순진한 세트이론과 자명하게 세트이론 둘 다), 그리고 기초이론에 대한 지배적인 관심으로 특징지어졌다.

한편으로는 수학적인 진리가 어쩔 수 없는 필연성을 가지고 있는 것처럼 보이지만, 한편으로는 그들의 '진실성'의 근원은 여전히 밝혀지지 않고 있다는 심오한 퍼즐이다.이 문제에 대한 조사는 수학 프로그램의 근간으로 알려져 있다.

20세기 초, 수학 철학자들은 이미 이 모든 문제에 대해 다양한 사상의 학교로 나누기 시작했는데, 수학 인식론과 온톨로지 그림으로 크게 구분된다.형식주의, 직관주의, 논리주의 등 3개 학교가 이 시기에 등장했는데, 이는 수학이 서 있는 그대로의 걱정, 특히 분석은 당연하게 여겨졌던 확실성과 엄격성의 기준에 부응하지 못했다는 우려가 점점 널리 퍼지고 있는 데 부분적으로 대응한 것이다.각 학교는 그 당시 표면화된 문제들을 해결하려고 시도하거나 수학이 가장 신뢰할 수 있는 지식으로서 그것의 지위를 가질 자격이 없다고 주장하면서 다루었다.

20세기 초 형식논리와 세트이론의 놀랍고 반직관적인 발전은 전통적으로 수학의 기초라고 불리던 것에 관한 새로운 질문으로 이어졌다.세기가 전개되면서 초기의 관심의 초점은 수학의 근본적인 공리들에 대한 공개적인 탐구, 즉 기원전 300년경 유클리드 시대부터 수학의 자연적 기초로서 자명적인 접근을 당연한 것으로 여겨져 왔다.공리, 명제, 증명에 대한 개념뿐만 아니라 명제가 수학적 사물에 대한 진실이라는 개념도 공식화하여, 그것들을 수학적으로 취급할 수 있게 했다(Assignment 참조).세트 이론에 대한 제르멜로-프렌켈 공리는 많은 수학적인 담론이 해석될 개념적 프레임워크를 제공하는 공식화되었다.수학에서도 물리학에서와 마찬가지로 새롭고 예상치 못한 생각이 생겨났고 중대한 변화가 오고 있었다.괴델 번호 매기기를 통해 명제는 자신이나 다른 명제를 지칭하는 것으로 해석될 수 있어 수학 이론의 일관성을 조사할 수 있다.검토 중인 이론이 "수학적 연구의 대상이 되는" 이 반성적 비평은 힐베르트가 그러한 연구를 변성론이나 증명 이론이라고 부르도록 이끌었다.^[3]

세기 중반에 범주 이론으로 알려진 사무엘 아일렌베르크와 손더스 맥 레인에 의해 새로운 수학 이론이 만들어졌고, 수학적 사고의 자연 언어의 새로운 경쟁자가 되었다.^[4]그러나 20세기가 진행되면서 세기의 초창기에 제기되었던 기초에 대한 의문들이 얼마나 근거가 있는가에 대한 철학적 의견이 분분해졌다.힐러리 푸트남은 세기의 마지막 3분의 1에 대한 한 가지 공통된 견해를 다음과 같이 요약했다.

철학이 과학에서 뭔가 잘못된 것을 발견했을 때, 때때로 과학은 바뀌어야 한다. - 실제 극소수에 대한 버클리의 공격처럼, 러셀의 역설도 떠오르지만, 더 자주 바뀌어야 하는 것은 철학이다.나는 철학이 오늘날 고전 수학에서 발견하는 어려움들이 진정한 어려움이라고 생각하지 않는다; 나는 우리가 모든 손에 제시되고 있는 수학에 대한 철학적인 해석은 잘못되었다고 생각한다, 그리고 '철학적 해석'은 수학이 필요로 하지 않는 것이라고 생각한다.^{[5]: 169–170}

오늘날 수학철학은 수학철학자, 논리학자, 수학자에 의한 여러 가지 다른 탐구행위에 따라 진행되고 있으며, 그 주제에 관한 많은 사상학파들이 있다.그 학교들은 다음 섹션에서 별도로 다루어져 있으며, 그들의 가정은 설명되어 있다.

주요 테마

수학적 사실주의

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수학적 현실주의는 일반적으로 현실주의와 마찬가지로 수학적 실체는 인간의 마음과는 독립적으로 존재한다는 것을 쥐고 있다.따라서 인간은 수학을 발명하지 않고 오히려 수학을 발견하며, 우주에 있는 다른 지적인 존재들도 아마 그렇게 했을 것이다.이런 관점에서 볼 때, 실제로 발견될 수 있는 수학의 한 종류가 있다; 예를 들어 삼각형은 인간의 정신의 창조물이 아니라 실제 실체다.

많은 일하는 수학자들은 수학적인 현실주의자였다; 그들은 그들 자신을 자연적으로 발생하는 물체의 발견자로 본다.그 예로는 폴 에르디스와 쿠르트 괴델이 있다.괴델은 지각과 유사한 방식으로 지각될 수 있는 객관적 수학 현실을 믿었다.어떤 원칙(예를 들어, 어떤 두 가지 대상에 대해 정확히 그 두 가지 대상으로 구성된 개체의 집합이 있다)은 사실인 것으로 직접 볼 수 있지만, 연속 가설 추측은 그러한 원칙에 근거하는 것만으로 불복설임이 증명될 수 있다.괴델은 그러한 추측을 합리적으로 추정할 수 있는 충분한 증거를 제공하기 위해 준유해적 방법론을 사용할 수 있다고 제안했다.

현실주의 내에는 어떤 종류의 존재로 하여금 수학적 실체를 갖게 하고, 그 실체를 우리가 어떻게 알게 하느냐에 따라 구별이 있다.수학 현실주의의 주요 형태로는 플라톤주의와 아리스토텔레스주의가 있다.

수학 반현실주의

수학적 반실리주의는 일반적으로 수학적 진술이 진리값을 가지지만, 중요하지 않거나 선동적이지 않은 실체의 특수한 영역에 대응함으로써 그렇게 하지 않는다고 주장한다.수학적인 반현실주의의 주요한 형태는 형식주의와 허구주의를 포함한다.

현대 사상의 학교

예술적

수학이 가정들의 미적 결합이라고 주장하는 견해, 그리고 수학이 예술이라고 주장하는 견해.영국인 G. H. 하디라고 주장하는 유명한 수학자.^[6]하디에게 있어서 수학자의 사과라는 책에서 수학의 정의는 개념의 미적 결합에 더 가까웠다.^[7]

플라톤주의

수학 플라톤주의는 수학적 실체가 추상적이고, 주티오템포럴이나 인과적 특성이 없으며, 영원하고 불변하다는 것을 암시하는 현실주의의 한 형태다.이것은 종종 대부분의 사람들이 숫자에 대해 가지고 있는 견해라고 주장한다.플라톤주의라는 용어는 플라톤의 형태론과 플라톤의 동굴 우화에서 묘사된 "사상의 세계"(그리스어: eidos (εἶδδ ()) : 일상 세계는 불완전하게 불변하고 궁극적인 현실과 근사할 수 밖에 없기 때문에 사용된다.플라톤의 동굴과 플라톤주의 둘 다 단순히 피상적인 연결고리가 아니라 의미가 있다. 왜냐하면 플라톤의 사상이 앞서고 아마도 세계는 상당히 문자 그대로 숫자에 의해 생성된다고 믿었던 고대 그리스의 엄청나게 유명한 피타고라스인들의 영향을 받았기 때문이다.

수학적 플라톤리즘에서 고려되는 주요 질문은: 정확히 수학적 실체는 어디에 어떻게 존재하며, 그 실체들에 대해 우리가 어떻게 알 수 있는가?우리의 물리적인 것과 완전히 분리된, 수학적 실체들이 차지하고 있는 세계가 있을까?어떻게 하면 이 분리된 세계에 접근할 수 있고 실체에 대한 진실을 발견할 수 있을까?한 가지 제안된 답은 수학적으로 존재하는 모든 구조들이 그들 자신의 우주에도 물리적으로 존재한다고 가정하는 이론인 Ultimate Ansembles이다.

커트 괴델의 플라톤주의는^[8] 우리가 수학적 사물을 직접 지각할 수 있게 하는 특별한 종류의 수학 직관을 상정한다.(이 견해는 후셀이 수학에 대해 말한 많은 것과 유사성을 지니고 있으며, 수학은 합성 선험이라는 칸트의 사상을 뒷받침한다.)데이비스와 허쉬는 1999년 저서 '수학적 경험'에서 대부분의 수학자들은 플라톤주의자인 것처럼 행동한다고 제안했지만, 조심스럽게 그 자리를 지키도록 압력을 받으면 형식주의로 후퇴할 수도 있다.수학자 알렉산더 그로텐디크도 플라톤주의자였다.

전혈 플라톤주의는 플라톤주의의 현대적인 변형으로, 채택된 공리와 추론 규칙(예: 배제된 중간 법칙, 선택이라는 공리)에 따라 서로 다른 수학적 실체 집합이 존재한다는 것이 증명될 수 있다는 사실에 반하는 것이다.그것은 모든 수학적인 실체가 존재한다고 주장한다.그것들은 모두 하나의 일관된 공리 집합에서 도출될 수 없더라도 증명될 수 있을 것이다.^[9]

페넬로페 매디가 옹호하는 '세트-이론적 사실주의(set-theetic platonism, set-theoretic Platonism)'^[10]는 세트 이론이 하나의 세트의 우주에 관한 것이라는 견해다.^[11]이 입장(수학적 플라톤주의의 귀화판이기 때문에 귀화 플라톤주의라고도 한다)은 폴 베나케라프의 인식론적 문제에 근거하여 마크 발라거에게 비판을 받아왔다.^[12]플라톤화된 자연주의라고 불리는 비슷한 견해는 나중에 스탠포드-에드먼턴 학파에 의해 옹호되었다: 이 견해에 따르면, 더 전통적인 종류의 플라톤주의는 자연주의와 일치한다; 그들이 옹호하는 전통적인 종류의 플라톤주의는 추상적인 물체의 존재를 주장하는 일반적인 원칙에 의해 구별된다.^[13]

수학주의

맥스 테그마크의 수학적 우주 가설(또는 수학론)은 모든 수학적 물체가 존재할 뿐만 아니라 다른 것은 존재하지 않는다고 주장하는 플라톤주의보다 더 나아가고 있다.Tegmark의 유일한 가설은: 수학적으로 존재하는 모든 구조는 물리적으로도 존재한다.즉, "자아의 인식 하부구조[그들]를 포함할 수 있을 만큼 복잡한 [세계]에서 [그들]은 물리적으로 '실제' 세계에 존재하는 것으로 주관적으로 인식하게 될 것이다"라는 점에서 말이다.^[14][15]

논리주의

논리주의는 수학이 논리로 축소될 수 있고, 따라서 논리의 일부에 지나지 않는다는 논리다.^{[16]: 41} 논리학자들은 수학은 선험적으로 알려져 있을 수 있다고 주장하지만, 수학에 대한 우리의 지식은 일반적으로 논리에 대한 지식의 일부일 뿐이며, 따라서 분석적이며, 수학적 직관력의 어떤 특별한 능력도 요구하지 않는다.이 견해에서 논리는 수학의 적절한 기초가 되며, 모든 수학적인 진술은 필요한 논리적인 진실이다.

루돌프 카르나프(1931)는 논리학 논문을 두 부분으로 나누어 제시한다.^[16]

1. 수학의 개념은 명시적 정의를 통한 논리적 개념에서 도출될 수 있다.
2. 수학의 이론은 순전히 논리적 추론을 통한 논리적 공리에서 도출될 수 있다.

Gottlob Frege는 논리주의의 창시자였다.그는 그의 세미날 다이 그룬제츠 데어 산술(산술의 기본법칙)에서 일반적인 이해원리를 가진 논리 체계로부터 산수를 쌓았는데, 이것을 그는 "기본법 V"라고 불렀다(개념 F와 G의 경우 F의 연장은 모든 사물이 Fa와 Ga일 경우에만 G의 연장과 같으며, 모든 사물이 Fa는 Fa와 Ga의 연장과 같음), 그가 받아들여야 할 원칙이다논리의 일부분으로 삼다

프레지의 건설은 결함이 있었다.베르트랑 러셀은 기본법 5가 일관성이 없다는 것을 발견했다(이것이 러셀의 역설이다).프레지는 이 일이 있은 직후 논리학 프로그램을 포기했지만 러셀과 화이트헤드에 의해 계속되었다.이들은 역설의 원인을 '악의적인 순환성'으로 돌리고 이를 다루기 위해 이른바 '반격형 이론'을 구축했다.이 체계에서 그들은 결국 현대 수학의 많은 부분을 축적할 수 있었지만, 변형되고 지나치게 복잡한 형태(예를 들어, 각 유형마다 다른 자연수가 있었고, 무한히 많은 유형들이 있었다)로 쌓을 수 있었다.그들은 또한 "축소성 축"과 같은 수학을 많이 개발하기 위해 여러 가지 타협을 해야 했다.심지어 러셀도 이 공리는 정말로 논리에 속하지 않는다고 말했다.

현대의 논리학자(밥 헤일, 크리스핀 라이트, 그리고 아마도 다른 사람들)는 프레지스에 더 가까운 프로그램으로 돌아왔다.그들은 흄의 원칙과 같은 추상화 원리에 찬성하여 기본법 V를 포기했다(F의 연장, G의 연장 등을 일대일 대응으로 넣을 수 있는 경우에 한하여 F의 개수가 개념 G에 해당하는 개체 수와 같다).프레게는 기본법 5호가 숫자에 대한 명시적인 정의를 내릴 수 있도록 요구했지만, 숫자의 모든 성질은 흄의 원칙에서 도출될 수 있다.프레지에게는 이것만으로는 충분하지 않았을 것이다. (그의 말을 빌리자면) 숫자 3이 사실 줄리어스 카이사르일 가능성을 배제하지 않기 때문이다.게다가, 기본법 5를 대체하기 위해 채택해야 했던 약화된 원칙들 중 많은 것들이 더 이상 명백하게 분석적이지 않고, 따라서 순수하게 논리적으로 보인다.

형식주의

이 절은 출처를 인용하지 않는다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 섹션을 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다.(2015년 11월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

형식주의는 수학적인 진술이 특정 끈 조작 규칙의 결과에 대한 진술로 생각될 수 있다고 주장한다.예를 들어 유클리드 기하학의 "게임"("axioms"라고 불리는 어떤 현과 주어진 현으로부터 새로운 현을 생성하기 위한 일부 "추론의 규칙"으로 구성되는 것으로 보여지는)에서는 피타고라스 정리가 보유하고 있음을 증명할 수 있다(즉, 피타고라스 정리에 해당하는 현을 생성할 수 있다).형식주의에 따르면 수학적 진리는 숫자와 집합, 삼각형 등에 관한 것이 아니다. 사실 그것들은 전혀 "에 관한" 것이 아니다.

형식주의의 또 다른 버전은 종종 연역주의라고 알려져 있다.연역주의에서 피타고라스적 정리는 절대적인 진리가 아니라 상대적 진리: 게임의 규칙이 참이 되는 방식으로 현에 의미를 부여한다면(즉, 참된 진술은 공리에 할당되고 추론의 규칙은 진리를 보존하는 것이다), 그 정리는 반드시 받아들여야 한다, 또는 오히려 자신이 가지고 있는 해석을 받아들여야 한다.그게 진실된 진술임에 틀림없어다른 모든 수학적 진술에도 동일하게 적용된다.그러므로 형식주의는 수학이 무의미한 상징적 게임에 지나지 않는다는 것을 의미할 필요는 없다.일반적으로 게임의 룰이 지켜지는 어떤 해석이 존재하기를 희망한다.(이 입장을 구조주의에 비교)그러나 그것은 일하는 수학자가 자신의 일을 계속 할 수 있게 하고 그러한 문제들을 철학자나 과학자에게 맡길 수 있게 한다.많은 형식주의자들은 실제로 연구해야 할 공리계는 과학의 요구나 수학의 다른 분야에 의해 제시될 것이라고 말할 것이다.

공식주의의 주요한 초기 지지자는 데이비드 힐버트였는데, 그의 프로그램은 모든 수학의 완전하고 일관된 공리화를 의도했다.^[17]힐버트는 '최종 산술'(철학적으로 논란의 여지가 없는 것으로 선택되는 양의 정수의 통상적인 산술의 하위 시스템)이 일관된다는 가정으로부터 수학 시스템의 일관성을 보여주는 것을 목표로 삼았다.힐베르트의 완전하면서도 일관된 수학 체계를 만들려는 목표는 충분히 표현된 일관성 있는 공리 체계로는 결코 자신의 일관성을 증명할 수 없다는 괴델의 불완전성 이론의 두 번째에 의해 심각하게 훼손되었다.어떤 그러한 공리계통도 하위계통으로서 미세한 산수를 포함할 것이기 때문에 괴델의 정리는 그것과 비교해서 시스템의 일관성을 증명하는 것은 불가능할 것이라는 것을 암시했다(그때는 괴델이 보여주었던 그 자체의 일관성을 증명할 것이기 때문이다).따라서 수학의 어떤 자칭적 체계가 사실상 일관성이 있다는 것을 보여주기 위해서는 먼저 일관성이 입증되기 위해서는 어떤 의미에서 시스템보다 강한 수학 체계의 일관성을 가정할 필요가 있다.

힐버트는 처음에는 연역자였지만, 위에서 분명히 알 수 있듯이 본질적으로 의미 있는 결과를 산출하기 위한 어떤 변성법을 고려했고, 미세한 산술에 관해서는 현실주의자였다.이후 해석과 상관없이 다른 의미 있는 수학은 전혀 없다는 의견을 고수했다.

루돌프 카르나프, 알프레드 타르스키, 하스켈 카레와 같은 다른 형식주의자들은 수학을 형식적인 공리체계의 조사로 간주했다.수학적 논리학자들은 형식적인 시스템을 연구하지만 형식주의자들만큼이나 종종 현실주의자들이다.

형식주의자들은 비교적 관대하고 논리학, 비표준 수 체계, 새로운 집합 이론 등에 대한 새로운 접근방식에 초대한다.우리가 더 많은 게임을 공부하면 할수록 더 좋다.그러나, 이 세 가지 예 모두, 동기는 기존의 수학적 또는 철학적 관심에서 도출된다."게임"은 대개 임의적이지 않다.

형식주의에 대한 주된 비판은 수학자를 점유하고 있는 실제 수학사상이 위에서 언급한 끈 조작 게임과는 거리가 멀다는 것이다.따라서 형식주의적인 관점에서 다른 것보다 더 의미 있는 것은 없기 때문에 어떤 공리 체계를 연구해야 하는가에 대한 질문에는 공식주의가 침묵하고 있다.

최근, 일부^[who?] 형식주의 수학자들은 수학적 증명들의 자동화된 증명 확인과 수학적 이론과 컴퓨터 소프트웨어의 개발에서 증명되는 상호 작용의 정리의 사용을 용이하게 하기 위해 우리의 모든 형식적인 수학 지식을 컴퓨터가 읽을 수 있는 형식으로 체계적으로 암호화해야 한다고 제안했다.컴퓨터 과학과 밀접한 관련이 있기 때문에, 이 아이디어는 "컴퓨팅 능력" 전통의 수학 직관학자들과 구성론자들에 의해서도 주창된다. 일반적인 개요는 QED 프로젝트를 참조하라.

관습주의

프랑스의 수학자 앙리 푸앵카레는 전통주의 관점을 가장 먼저 밝힌 인물 중 한 명이었다.푸앵카레는 미분방정식에 대한 연구에서 비유클리드 기하학을 사용한 것은 유클리드 기하학을 선험적 진리로 간주해서는 안 된다는 것을 확신시켰다.그는 기하학의 공리는 물리적 세계에 대한 인간의 직관과의 명백한 일관성을 위해서가 아니라 그들이 만들어내는 결과에 대해 선택되어야 한다고 주장했다.

직감주의

수학에서 직감주의는 방법론적 개혁의 프로그램인데, 그의 좌우명은 "경험이 없는 수학적 진리는 없다"(L. E. J. 브루어)이다.이 발판으로부터 직감론자들은 존재, 존재, 존재, 직관, 지식이라는 칸트적 개념에 따라 수학의 결정 가능한 부분이라고 간주하는 부분을 재구성하려고 한다.이 운동의 창시자인 브루워는 수학적인 물체는 경험적 물체의 인식을 알리는 선험적 형태의 물체에서 나온다고 주장했다.^[18]

직관주의의 주요 세력은 L. E. J. 브루어였는데, 그는 수학에 대한 어떤 종류의 정형화된 논리의 유용성을 거부했다.그의 제자 아렌드 헤이팅은 전통적인 아리스토텔레스적 논리와는 다른 직관적 논리를 가정했다; 이 논리는 배제된 중간 법칙을 포함하고 있지 않고 따라서 모순에 의한 증거에 눈살을 찌푸린다.선택의 공리는 일부 버전에서는 받아들여지지만 대부분의 직관적 집합론에서도 거부된다.

직관주의에서는 '명백한 건설'이라는 용어가 깨끗하게 정의되어 있지 않고, 그것이 비판으로 이어지고 있다.튜링머신이나 계산 가능한 함수의 개념을 이용해 이 공백을 메우려는 시도가 있어, 유한 알고리즘의 거동에 관한 문제만 의미가 있고 수학에서 조사해야 한다는 주장이 제기되었다.이것은 앨런 튜링에 의해 처음 소개된 계산 가능한 숫자의 연구로 이어졌다.놀랄 것도 없이, 그렇다면, 수학에 대한 이러한 접근은 때때로 이론 컴퓨터 과학과 관련이 있다.

구성주의

직관주의와 마찬가지로 구성주의도 어떤 의미에서 명시적으로 구성할 수 있는 수학적 실체만을 수학적 담론에 인정해야 한다는 규제적 원리를 수반한다.이런 관점에서 수학은 인간의 직관력을 발휘하는 것이지 무의미한 상징을 가지고 하는 게임이 아니다.그 대신 정신활동을 통해 우리가 직접 만들어낼 수 있는 실체에 관한 것이다.게다가 이들 학교의 일부 신봉자들은 모순에 의한 증거와 같은 비건설적인 증거를 거부한다.중요한 작업은 Errett Bishop에 의해 수행되었는데, 그는 1967년 건설적 분석의 기초에서 건설적 분석으로 실제 분석에서 가장 중요한 이론들의 버전을 증명할 수 있었다.^[19]

순수주의

순수주의는 극단적인 형태의 구성주의로, 수학적 개체는 한정된 수의 스텝에서 자연수로 구성될 수 있지 않는 한 존재하지 않는다.세트 이론의 철학이라는 책에서, 메리 타일즈는 셀 수 없이 무한한 물체를 허용하는 사람들을 고전적인 피니티스트로서, 그리고 셀 수 없이 무한한 물체까지도 부정하는 사람들을 엄격한 피니티스트로서 특징지었다.

가장 유명한 친유대주의 지지자는 레오폴트 크로네커였는데,^[20] 그는 다음과 같이 말했다.

신은 자연수를 창조하셨고, 다른 모든 것은 인간의 일이다.

초친중주의는 훨씬 더 극단적인 버전의 친유대주의로, 이용 가능한 자원으로 구성될 수 없는 부정성뿐만 아니라 유한한 양을 배척한다.존 펜 메이베리가 저서 '세트 이론 수학의 기초'에서 개발한 시스템인 유클리드 산술도 또 다른 변종이다.^[21]메이베리의 시스템은 일반적인 영감에서는 아리스토텔레스주의적이며, 수학의 기초에서 운영주의나 실현가능성을 위한 어떤 역할에도 강한 거부감에도 불구하고, 예를 들어, 초우량화는 합법적인 미세화 함수가 아니라는 것과 같은 다소 유사한 결론에 도달한다.

구조주의

구조주의는 수학적 이론이 구조를 기술하고 있으며, 수학적 물체는 그러한 구조에서 그 위치에 의해 철저하게 정의되어 결과적으로 본질적인 성질이 없다는 입장을 고수하고 있다.예를 들어 숫자 1에 대해 알아야 할 모든 것은 숫자 0 이후 첫 번째 정수라는 것을 유지할 것이다.마찬가지로 다른 모든 정수는 구조, 즉 숫자 선에 있는 위치에 의해 정의된다.수학적 객체의 다른 예로는 기하학의 선과 평면 또는 추상 대수학의 원소와 연산을 포함할 수 있다.

구조주의는 수학적 진술이 객관적 진리 값을 갖는다는 점에서 인식론적으로 현실적인 견해다.그러나, 그것의 중심 주장은 수학적인 물체가 어떤 종류의 실체인지에 관한 것일 뿐, 존재 수학적 물체나 구조가 어떤 종류의 실체를 가지고 있는지는 관련이 없다(다시 말해, 그들의 존재론에 관한 것이 아니다).존재 수학적 객체의 종류는 분명히 그것들이 내재된 구조물의 그것들에 의존할 것이다; 구조주의의 다른 하위 영역들은 이와 관련하여 다른 존재론적 주장을 한다.^[22]

ante rem 구조주의("사물 앞에")는 플라톤주의와 유사한 존재론을 가지고 있다.구조물은 실재하지만 추상적이고 중요하지 않은 존재를 가지기 위해 보유된다.이와 같이 추상적인 구조와 육혈 수학자 사이의 상호작용을 설명하는 표준 인식론적 문제에 직면한다(베나케라프의 식별 문제 참조).

인 레 구조주의("사물 안에")는 아리스토텔레스의 현실주의와 동등한 것이다.구조물은 어떤 콘크리트 시스템이 그것을 예시하기 때문에 그 속에 존재하도록 유지된다.이것은 완전히 합법적인 일부 구조물은 우연히 존재하지 않을 수도 있고, 유한한 물리적 세계는 다른 합법적인 구조물을 수용할 만큼 충분히 "크지" 않을 수도 있다는 일반적인 문제를 야기한다.

사후 렘 구조주의("사물 뒤에")는 명목주의와 유사한 방식으로 구조에 대한 반현실주의다.명목론과 마찬가지로 사후 렘 접근법은 관계 구조에서 그들의 위치 이외의 속성을 가진 추상적인 수학 개체의 존재를 부정한다.이 견해에 따르면, 수학적 시스템이 존재하며, 구조적인 특징을 공통으로 가지고 있다.만약 어떤 구조가 사실이라면, 그것은 그 구조를 예시하는 모든 시스템들이 사실일 것이다.그러나, 시스템들 사이에 "공통적으로 유지"되고 있는 구조들에 대해 말하는 것은 단지 중요한 것일 뿐이다: 그것들은 사실 독립된 존재를 가지고 있지 않다.

구체화된 정신 이론

구체화된 정신 이론들은 수학적인 사고가 우리의 물리적 우주에서 자신을 발견하는 인간의 인지 기구의 자연적인 성장이라고 주장한다.예를 들어, 숫자의 추상적인 개념은 이산형 물체를 세는 경험에서 비롯된다.수학은 보편적이지 않으며 인간의 두뇌 이외의 어떤 실제적인 의미에서도 존재하지 않는다고 한다.인간은 수학을 구성하지만 발견하지는 못한다.

이러한 견해로, 물리적 우주는 수학의 궁극적인 토대라고 볼 수 있다: 그것은 뇌의 진화를 이끌었고 나중에 이 뇌가 조사할 가치가 있는 문제를 결정할 것이다.그러나 인간의 정신은 현실에 대한 특별한 주장이나 수학으로 만들어진 접근법이 없다.오일러의 정체성과 같은 구성물이 사실이라면, 그것들은 인간의 마음과 인식의 지도로서 참된 것이다.

구체화된 정신 이론가들은 수학의 효과를 이렇게 설명한다. 수학은 이 우주에서 효과적이 되기 위해 뇌에 의해 구성되었다.

이러한 관점에서 가장 접근하기 쉽고, 유명하며, 악명 높은 처사는 조지 라코프와 라파엘 E의 수학이 어디에서 오는가이다. 누녜스. 게다가 수학자 키스 데블린은 신경과학자 스타니슬라스 드헤인이 그의 저서 <수학 본능>과 비슷한 개념들을 연구했다.이러한 관점에 영감을 준 철학적 사상에 대한 자세한 내용은 수학의 인지과학을 참조하십시오.

아리스토텔레스식 사실주의

아리스토텔레스주의 현실주의는 수학이 문자 그대로 물리적 세계(또는 존재하는 다른 세계)에서 실현될 수 있는 대칭성, 연속성, 질서와 같은 성질을 연구한다고 주장한다.수학과 같은 수학의 대상이 '추상적'의 세계에 존재하는 것이 아니라 물리적으로 실현될 수 있다는 고정관념에서 플라톤주의와 대비된다.예를 들어, 숫자 4는 앵무새 더미와 더미를 그렇게 많은 앵무새로 나누는 보편적인 "앵무새가 되는 것" 사이의 관계에서 실현된다.^[23]아리스토텔레스적 현실주의는 수학철학에서 제임스 프랭클린과 시드니 학파에 의해 옹호되며, 달걀 상자를 열면 세 개의 난자 집합(즉, 물리적 세계에서 실현된 수학 실체)이 인식된다는 페넬로페 매디의 견해에 가깝다.^[24]아리스토텔레스적 현실주의의 문제는 물리적 세계에서는 실현 가능하지 않을 수도 있는 더 높은 불의를 어떤 식으로 설명해야 하는가에 있다.

존^[21] 펜 메이베리가 저서 '세트 이론 수학의 기초'에서 개발한 유클리드 산수도 아리스토텔레스 현실주의 전통에 속한다.메이베리는 유클리드 다음으로 숫자를 단순히 "런던 심포니 오케스트라의 단원"이나 "버남 나무의 나무"와 같이 자연에서 실현된 "확실한 다수의 단위"라고 여긴다.유클리드 공통 개념 5(전체가 부분보다 큼)에 실패하여 결과적으로 무한으로 간주되는 단위가 확실한 다수가 있는지 여부는 본질적으로 메이베리를 위한 질문이며 어떤 초월적 추정을 수반하지 않는다.

심리학

수학 철학에서의 심리학은 수학 개념과/또는 진리가 심리학적 사실(또는 법률)에서 파생되거나 설명되는 위치다.

존 스튜어트 밀은 시그와트, 에르드만과 같은 19세기 독일 논리학자뿐만 아니라 과거와 현재, 예를 들어 구스타브 르 본과 같은 다수의 심리학자들과 마찬가지로 일종의 논리적 심리학의 옹호자였던 것 같다.심리학은 그의 <산술의 기초>에서 프레지로부터 유명한 비판을 받았으며, 후셀의 <산술철학>에 대한 평론 등 그의 작품과 에세이의 많은 부분을 평했다.에드먼드 후셀은 '순수한 논리의 프로레고메나'로 불리는 자신의 논리조사 제1권에서 정신신학을 철저히 비판하고 그것으로부터 거리를 두려고 했다.'프로레고메나'는 프레게의 비판보다 더 간결하고 공정하며 철저한 심리학 반박으로 여겨지고 있으며, 또한 오늘날 많은 사람들에 의해 심리학에 결정적인 타격을 입힌 것에 대한 기억에 남는 반박으로 여겨지고 있다.심리학도 찰스 샌더스 피르체와 모리스 멀러포니에 의해 비판받았다.

경험주의

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수학 경험론은 수학이 선험적으로 전혀 알려져 있지 않다는 것을 부정하는 현실주의의 한 형태다.그것은 우리가 다른 과학의 어떤 사실들과 마찬가지로 경험적 연구를 통해 수학적인 사실을 발견한다고 말한다.20세기 초에 주창했던 고전적인 세 가지 입장 중 하나가 아니라 주로 세기의 중반에 생겨난 것이다.그러나 이와 같은 견해의 중요한 초기 지지자는 존 스튜어트 밀이었다.밀의 견해는 널리 비판되었는데, A.J. Ayer와 같은 비평가들에 따르면,^[25] "2 + 2 = 4"와 같은 진술들이 불확실하고 조건 없는 진리로 나오도록 하기 때문인데, 우리는 두 쌍이 모여서 4중주를 이루는 것을 관찰해야만 알 수 있다.

칼 포퍼는 수학의 경험적 측면을 지적한 또 다른 철학자로, "대부분의 수학 이론은 물리학이나 생물학 이론과 마찬가지로 저차원적 미학이다: 그러므로 순수한 수학은 심지어 최근에 보여진 것 보다 추측인 자연과학에 훨씬 더 가깝다는 것이 밝혀진다"^[26]고 말했다.포퍼는 또한 "경험에 의해 시험될 수 있는 경우에만 시스템을 경험적 또는 과학적으로 채택할 것"^[27]이라고 언급했다.

W. V. O. Quine과 Hilary Putnam에 의해 정립된 현대 수학 경험론은 주로 필수불가결한 논거에 의해 지지를 받고 있다: 수학은 모든 경험적 과학에 없어서는 안 되며, 만약 우리가 과학에 의해 기술된 현상의 실상을 믿으려면, 우리는 또한 fo가 요구하는 실체들을 믿어야 한다.이 설명.즉, 물리학은 왜 전구가 전자가 하는 대로 행동하는지를 말하기 위해 전자에 대해 이야기해야 하기 때문에, 그렇다면 전자가 존재해야 한다.물리학은 그 설명 중 어떤 것을 제공하는 데 있어서 숫자에 대해 이야기할 필요가 있기 때문에, 그 숫자들은 반드시 존재해야 한다.Quine과 Putnam의 전반적인 철학에 따라, 이것은 자연주의적인 주장이다.그것은 경험에 대한 가장 좋은 설명으로서 수학 실체의 존재를 주장하기 때문에 수학이 다른 과학과 구별되는 것을 박탈한다.

푸트남은 플라톤리스트라는 용어를 어떤 실제적인 의미에서도 수학적 실천에 필요치 않은 지나치게 구체적인 온톨로지(ontology)를 암시하는 것으로 강하게 거부했다.그는 신비한 진리의 관념론을 거부하고 수학에서 준 현실주의를 많이 수용하는 '순수한 현실주의'의 형태를 주창했다.이는 수학의 어떤 기초도 존재한다는 것을 증명할 수 없다는 20세기 후반의 점점 더 널리 알려진 주장에서 비롯되었다.일부에 의해 과부하가 걸리고 다른 사람들에 의해 모욕적인 것으로 여겨지지만, 때때로 "수학에서는 포스트모더니즘"이라고도 불린다.준제국주의는 수학자들이 연구를 하면서 가설을 시험하고 이론도 증명한다고 주장한다.수학적인 주장은 거짓을 결론에서 결론으로 진실을 전달할 수 있는 것처럼 결론에서 전제로 전달할 수 있다.푸트남은 어떤 수학적인 사실주의 이론도 준감정적 방법을 포함할 것이라고 주장해 왔다.그는 수학을 하는 외계 종들이 아마도 계산의 실패의 위험성이 다소 높더라도 종종 엄격하고 자명한 증거를 기꺼이 버리고 여전히 수학을 하고 있는, 주로 준영광적인 방법에 의존할 수 있다고 제안했다.그는 뉴디렉션에서 이것에 대해 상세히 논했다.^[28]준제국주의도 임레 라카토스에 의해 발전되었다.

수학의 경험적 관점에 대한 가장 중요한 비판은 밀에 대해 제기된 것과 거의 같다.만약 수학이 다른 과학들과 마찬가지로 경험적이라면, 이것은 수학의 결과가 그들의 것과 마찬가지로 틀릴 수 있고, 조건부라는 것을 암시한다.밀의 경우 경험적 정당성은 직접적으로 오는 반면, 콰인의 경우 그것은 간접적으로, 우리 과학 이론 전체의 일관성을 통해, 즉 E.O 이후의 일치성을 통해 오는 것이다. 윌슨.Quine은 수학이 우리의 믿음의 거미줄에서 하는 역할이 매우 중심적이기 때문에 완전히 확실해 보이고, 불가능하지는 않지만 그것을 수정하는 것은 매우 어려울 것이라고 제안한다.

콰이네와 괴델의 접근방식의 일부 단점을 각각의 측면을 취함으로써 극복하려는 수학 철학으로는 페넬로페 매디의 수학 현실주의를 엿볼 수 있다.현실주의 이론의 또 다른 예는 구현된 정신 이론이다.

인간 유아가 초등 산수를 할 수 있다는 실험 증거는 브라이언 버터워스를 참조하라.

허구주의

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수학적인 허구주의는 1980년 하트리 필드가 '숫자 없는 과학'을 출판하면서 유명해졌는데,^[29] 이 출판물은 퀴인의 필수불가결한 주장을 거부하고 실제로 뒤집었다.콰인이 수학이 우리의 최고의 과학 이론에 없어서는 안 될 것이며, 따라서 독자적으로 현존하는 실체에 대해 이야기하는 진리의 몸통으로 받아들여야 한다고 제안했던 곳에서는, 필드는 수학은 불필요한 것이므로, 따라서 실재하지 않는 허위의 몸통으로 보아야 한다고 제안했다.그는 숫자나 함수에 전혀 언급이 없는 뉴턴 역학의 완전한 공리화를 주어 이렇게 했다.그는 공간을 조정하지 않고 특징짓기 위해 힐베르트의 공리의 "중간성"에서 출발하여, 벡터장이 이전에 행했던 일을 하기 위해 포인트 사이에 추가적인 관계를 추가했다.힐버트의 기하학은 추상적인 점을 이야기하기 때문에 수학적인 것이지만, 필드의 이론에서 이러한 점들은 물리적인 공간의 구체적인 점들이기 때문에 특별한 수학적인 물체는 전혀 필요하지 않다.

숫자를 사용하지 않고 과학을 하는 방법을 보여준 필드는 수학의 재활을 일종의 유용한 소설로 진행하였다.그는 수학물리학이 자신의 비수학물리학(즉, 수학물리학에서 증명할 수 있는 모든 물리적 사실은 이미 필드의 시스템에서 증명할 수 있다)의 보수적인 연장선상이므로 수학 자체의 진술이 거짓임에도 불구하고 물리적인 적용이 모두 사실인 신뢰할 수 있는 과정이라는 것을 보여주었다.그러므로, 수학을 할 때, 우리는 마치 숫자가 존재하는 것처럼 말하면서 일종의 이야기를 하는 우리 자신을 볼 수 있다.필드의 경우, "2 + 2 = 4"와 같은 진술은 "셜록 홈즈가 221B 베이커 가에 살았다"와 마찬가지로 허구이지만, 관련 소설에 따르면 둘 다 사실이다.

또 다른 허구주의자 메리 렝은 수학과 물리 세계 사이의 어떤 겉으로 보이는 연관성을 "행복한 우연"으로 치부함으로써 그 관점을 간결하게 표현한다.이 거절은 허구주의를 다른 형태의 반현실주의와 분리시킨다. 반현실주의는 수학 자체를 인위적이지만 어떤 면에서는 여전히 현실에 묶여 있거나 적합하다고 본다.^[30]

이 때문에 수학에 특별한 형이상학적 문제나 인식론적 문제는 없다.남은 걱정거리는 비수학물리학에 대한 일반적인 걱정과 일반적으로 허구에 대한 걱정뿐이다.필드의 접근은 매우 영향력이 있었지만 널리 거부되고 있다.이는 부분적으로 그의 축소를 수행하기 위해 2차 논리학의 강한 파편이 필요하기 때문이며, 보수성명은 추상적인 모델이나 공제보다 정량화가 필요한 것으로 보이기 때문이다.

사회구성주의

이 섹션은 검증을 위해 추가 인용구가 필요하다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. 출처 찾기: "수학의 철학" – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR (1919년 8월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 학습)

사회 구성주의는 수학을 주로 문화의 산물로서 수정과 변화의 대상이 되는 사회 구성물로 본다.다른 과학과 마찬가지로, 수학은 끊임없이 평가되고 버려질 수 있는 경험적 노력으로 간주된다.그러나 경험주의자의 견해에 따르면 그 평가는 "실현성"과 어느 정도 비교되는 반면, 사회 구성주의자들은 수학 연구의 방향은 그것을 수행하는 사회 집단의 유행이나 그것에 자금을 대는 사회의 필요에 의해 결정된다고 강조한다.그러나 그러한 외부의 힘이 일부 수학 연구의 방향을 바꿀 수도 있지만, 역사적으로 정의된 규율을 보존하기 위해 작용하는 강한 내부적 제약, 즉 수학자들이 융합된 수학 전통, 방법, 문제, 의미와 가치들이 있다.

이것은 수학이 어떤 면에서 순수하거나 객관적이라는 일하는 수학자들의 전통적인 믿음과 배치된다.그러나 사회 구성론자들은 수학은 사실 많은 불확실성에 근거하고 있다고 주장한다: 수학 연습이 진화함에 따라 이전 수학의 상태는 의심에 던져지고, 현재의 수학 공동체가 요구하거나 원하는 정도로 수정된다.이는 라이프니츠와 뉴턴의 미적분 재검사에서 나온 분석의 발달에서 볼 수 있다.그들은 더 나아가 완성된 수학은 종종 너무 많은 지위가 주어지고, 민속 수학은 자명적인 증명과 연습으로서의 동료 검토에 대한 지나친 강조로 인해 충분하지 않다고 주장한다.

수학의 사회적 본성은 그 하위문화에서 강조된다.주요 발견은 수학의 한 분야에서 이루어질 수 있고 다른 분야와 관련이 있지만, 수학자들 사이의 사회적 접촉이 부족하여 그 관계는 발견되지 않고 있다.사회 구성주의자들은 각각의 특수성이 그들만의 인식론적 공동체를 형성하고 있으며 종종 의사소통에 큰 어려움을 겪거나 수학의 다른 영역과 관련될 수 있는 추측들을 통일시키는 조사의 동기를 부여한다고 주장한다.사회 구성주의자들은 "수학을 한다"는 과정을 실제로 의미를 창조하는 것으로 보는 반면, 사회 현실주의자들은 인간의 추상화 능력이나 인간의 인지 편향성 또는 수학자들의 집단적 지능의 결핍을 수학 사물의 실제 우주의 이해를 막는 것으로 본다.사회 구성주의자들은 때때로 수학의 기초를 찾는 것이 반드시 실패하거나 무의미하거나 심지어 무의미하다고 거부한다.

이 학교에 대한 기부는 임레 라카토스와 토마스 티모츠코에 의해 이루어졌지만, 어느 한쪽이 이 타이틀을 지지할지는 확실하지 않다.^{[clarification needed]}더 최근에 폴 어니스트는 수학의 사회 구성주의 철학을 명시적으로 공식화했다.^[31]어떤 사람들은 폴 에르드스의 연구가 (개인적으로 그것을 거부했음에도 불구하고) 이 관점을 발전시켰다고 전체로 간주하고 있는데, 이는 다른 사람들이 에르드 수(Erdős 수)를 통해 "사회 활동으로서의 수학"을 보고 연구하도록 자극했다.르우벤 허쉬는 또한 수학에 대한 사회적 견해를 장려하면서, 수학에 대한 사회적 관점을 앨빈 화이트와 비슷하지만 전혀 같지 않은 ^[32]"인문주의적" 접근법이라고 불렀고,^[33] 허쉬의 공동저자인 필립 J. 데이비스도 사회관에 공감을 표시했다.

전통적인 학교들 너머

불합리한 효과

수학적 진리의 본성에 대한 좁은 논쟁이나 심지어 증거와 같은 수학자 특유의 연습에 초점을 맞추기보다는, 1960년대부터 1990년대까지 점점 커져가는 운동은 왜 수학이 작용하는지에 대한 기초를 찾거나 하나의 옳은 답을 찾으려는 생각에 의문을 품기 시작했다.그 출발점은 유진 위그너의 1960년 유명한 논문 '자연과학에서의 수학의 불합리한 효과'로, 수학과 물리학의 행복한 우연이 너무나 잘 맞아떨어지는 것이 불합리하고 설명하기 어려운 것 같다고 주장했다.

포퍼의 숫자 진술에 대한 두 가지 감각

현실주의적이고 구성주의적인 이론은 보통 반론적인 것으로 받아들여진다.그러나 칼 포퍼는^[34] "사과 2개 + 사과 2개 = 사과 4개"와 같은 숫자 진술은 두 가지 의미로 받아들일 수 있다고 주장했다.어떤 의미에서 그것은 반박할 수 없고 논리적으로 사실이다.두 번째 의미에서는 그것은 사실적으로 사실이고 위조할 수 있다.이것을 넣는 또 다른 방법은 하나의 숫자 진술이 두 가지 명제를 표현할 수 있다고 말하는 것이다. 하나는 구성주의 노선에서 설명할 수 있고 다른 하나는 현실주의 노선에서 설명할 수 있다.^[35]

언어철학

20세기 언어철학의 혁신은 흔히 말하는 것처럼 수학이 과학의 언어인가에 대한 관심을 새롭게 했다.비록 일부 수학자와 철학자들이 "수학은 언어"라는 말을 받아들이겠지만, 언어학자들은 그러한 진술의 함의가 반드시 고려되어야 한다고 믿는다.예를 들어 언어학의 도구는 일반적으로 수학의 기호 체계에는 적용되지 않는다. 즉, 수학은 다른 언어와 현저하게 다른 방법으로 연구된다.수학이 언어라면 자연어와는 다른 유형의 언어다.실제로 명확성과 구체성이 필요하기 때문에 수학의 언어는 언어학자들이 연구하는 자연어보다 훨씬 제약이 많다.그러나 수학적 언어 연구를 위해 프레게와 타르스키가 개발한 방법은 타르스키의 제자 리차드 몬태규와 다른 언어학자들이 수학적 언어와 자연 언어의 구분이 보이는 것만큼 크지 않을 수 있다는 것을 보여주기 위해 형식적인 의미론에서 일하는 것에 의해 크게 확장되었다.

모한 가네실링엄은 공식 언어학에서 나온 도구를 사용하여 수학 언어를 분석했다.^[36]가네실링엄은 수학적 언어(시제 등)를 분석할 때 자연 언어의 일부 특징이 필요하지 않지만, 동일한 분석 도구(텍스트 없는 그래머 등)를 많이 사용할 수 있다고 지적한다.한 가지 중요한 차이점은 수학적인 물체들이 명확하게 정의된 유형을 가지고 있다는 것인데, 이것은 텍스트로 명시적으로 정의될 수 있다: "효과적으로, 우리는 문장의 한 부분에 단어를 도입할 수 있고, 다른 부분에는 언어의 일부를 선언할 수 있다; 그리고 이 연산에는 자연 언어의 아날로그가 없다."^{[36]: 251}

논쟁들

현실주의를 위한 필수불가결한 주장

윌러드 콰인, 힐러리 푸트남과 연관된 이 주장은 스티븐 야블로(Stephen Yablo)에 의해 숫자와 집합과 같은 추상적인 수학 실체의 존재의 수용에 찬성하는 가장 도전적인 주장 중 하나로 간주된다.^[37]주장의 형식은 다음과 같다.

1. 사람은 최상의 과학 이론에 없어서는 안 되는 모든 실체와 그 실체에만 존재론적 약속을 해야 한다.
2. 수학적 실체는 최고의 과학 이론에 없어서는 안 된다.그러므로
3. 사람은 수학적 실체에 대한 존재론적 약속이 있어야 한다.^[38]

첫 번째 전제에 대한 정당성이 가장 논란이 되고 있다.푸트남과 퀴네 둘 다 자연주의를 발동하여 모든 비과학적 실체들의 배제를 정당화하고, 따라서 "전부 그리고 유일한" 부분을 방어한다.숫자를 포함한 과학 이론에 상정된 "모든" 실체는 실제로 받아들여야 한다는 주장은 확인 홀리리즘에 의해 정당화된다.이론은 단편적으로 확정되는 것이 아니라 전체적으로 확정되기 때문에 잘 확인된 이론에 언급된 실체를 제외할 명분이 없다.이것은 세트와 비유클리드 기하학의 존재를 배제시키되 쿼크와 다른 물리학의 탐지 불가능한 실체의 존재를 포함시키기를 원하는 명목론자를 예를 들어 어려운 위치에 놓이게 한다.^[38]

현실주의에 반대하는 인식론적 주장

플라톤주의에 반대하는 반현실주의 "진실론적 주장"은 폴 베나케라프와 하트리 필드가 만들었다.플라톤주의는 수학적인 물체가 추상적인 실체라고 주장한다.일반적인 합의에 의해 추상적 실체는 구체적인 물리적 실체와 인과적으로 상호작용할 수 없다("수학적 주장의 진가는 시공간을 벗어난 영역에 거주하는 플라토닉 실체와 관련된 사실에 의존한다").^[39]구체적이고 물리적인 물체에 대한 우리의 지식은 그것을 인지하는 능력에 기초하지만, 따라서 그것들과 인과적으로 상호작용하기 위해, 수학자들이 추상적인 물체에 대한 지식을 어떻게 갖게 되는가에 대한 평행한 설명은 없다.^[40][41][42]또 다른 요점을 짚는 방법은 플라토닉 세계가 사라진다면, 수학자들이 증거를 만들어내는 능력 등에는 아무런 차이가 없을 것이라는 것인데, 이것은 이미 그들의 두뇌의 물리적 과정 측면에서 전적으로 책임이 있다.

필드는 자신의 견해를 허구주의로 발전시켰다.베나케라프는 또한 수학 구조주의 철학을 발전시켰는데, 그 철학에 따르면 수학적인 물체는 존재하지 않는다.그럼에도 불구하고, 구조주의의 일부 버전은 현실주의의 일부 버전과 양립할 수 있다.

그 주장은 두뇌의 작용에 관한 사고 과정에 대한 만족스러운 자연주의적 설명이 다른 모든 것과 함께 수학적인 추론에 주어질 수 있다는 생각에 달려 있다.한 방어의 선은 이것이 거짓이라는 것을 유지하는 것이다. 그래서 수학적인 추론은 플라토닉 영역과의 접촉을 포함하는 어떤 특별한 직관을 사용한다.이 논쟁의 현대적인 형태는 로저 펜로즈 경에 의해 주어진다.^[43]

또 다른 방어선은 추상적인 물체가 수학적인 추론과 무관하며, 지각과 유사하지 않은 방식으로 관련성이 있다는 것을 유지하는 것이다.이 주장은 제롤드 카츠가 2000년 저서 '현실적 합리주의'에서 전개한 것이다.

보다 급진적인 방어는 물리적인 현실, 즉 수학적 우주 가설의 부정이다.그 경우에 수학자의 수학 지식은 다른 것과 접촉하는 수학적 대상이다.

미학

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연습하는 많은 수학자들은 그 과목에서 감지하는 아름다움 때문에 그들의 과목에 끌렸다.사람들은 때때로 수학자들이 철학자들에게 철학을 맡기고 수학으로 돌아가고 싶어한다는 정서를 듣는다. 아마도 아름다움이 놓여 있는 곳일 것이다.

신성한 비례에 관한 그의 작품에서 H.E. 훈틀리는 다른 사람의 수학 정리에 대한 증거를 읽고 이해하는 감정을 예술의 걸작을 보는 사람의 것과 연관시킨다. 즉, 증명서를 읽는 사람은 증명서의 원저자와 마찬가지로 이해에 있어서도 비슷한 흥분감을 가지고 있다.ce는 원래 화가나 조각가와 비슷한 흥분을 가지고 있다.실제로 문학으로서 수학적, 과학적인 글을 공부할 수 있다.

필립 J. 데이비스와 르우벤 허쉬는 실천하는 수학자들 사이에서 수학적인 아름다움의 감각이 보편적이라고 평했다.예를 들면 √2의 불합리성에 대한 두 가지 증거를 제시한다.첫째는 유클리드라고 하는 모순에 의한 전통적인 증거다. 둘째는 그들이 주장하는 문제의 핵심에 도달하는 산술의 근본적인 정리와 관련된 보다 직접적인 증거다.데이비스와 허쉬는 두 번째 증거가 문제의 본질에 가까워지기 때문에 수학자들이 더 미적으로 매력적이라고 생각한다.

폴 에르디스는 가장 우아하거나 아름다운 수학적 증거를 담고 있는 가상의 "책"에 대한 개념으로 잘 알려져 있었다.결과가 "가장 우아한" 증거를 갖는다는 것에 대한 보편적인 동의는 없다; 그레고리 차이틴은 이 생각에 반대한다고 주장해왔다.

철학자들은 때때로 수학자들의 아름다움이나 우아함에 대한 감각을 기껏해야 모호하게 진술한 존재라고 비판해 왔다.그러나 같은 징표로, 수학 철학자들은 두 가지 모두 논리적으로 건전할 때 어떤 것이 다른 것 보다 더 바람직한 증거를 만드는지를 특성화하려고 노력해왔다.

수학에 관한 미학의 또 다른 측면은 수학자들이 비윤리적이거나 부적절하다고 여겨지는 목적을 위해 수학을 사용할 수 있는 것에 대한 견해다.이러한 관점에 대한 가장 잘 알려진 해설은 G. H. 하디의 <수학자의 사과>에서 나오는데, 하디는 순수한 수학은 전쟁이나 비슷한 목적을 위해 사용될 수 없기 때문에 응용 수학보다 정확하게 미학에서 우월하다고 주장한다.

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• 철학 매티매틱스 저널
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• 과학의 역사와 철학
• 수학의 역사
• 철학의 역사

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외부 링크

Wikiquote는 수학철학과 관련된 인용구를 가지고 있다.

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• 런던 철학 연구 가이드는 학생이 주제에 익숙함에 따라 무엇을 읽어야 하는지에 대한 많은 제안을 제공한다.
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